复变函数及其基本问题docxWord格式文档下载.docx

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例5指出z=ocosf+ibsiiu表示什么曲线?

=1椭圆。

22解•/z=x+yi,:

.x=acost,y=hsint,=＞罕+厶cTb~

⑵曲线类型:

简单曲线z二z（J,te[a,b]：

z（/）wC[o,对且片iw（a,b）时，zCJhz&

z）。

又称为约当曲线。

若Z（a）=Z0）,称为简单闭曲线，如图：

光滑曲线Z=z（t）:

兀'

（/）,yQ）ec[a,b]且兀;

2+”2丰0。

；

±

：

1°

.导数连续：

•・•%；

2+v；

2=0«

x；

=y；

=0n岂

2

光滑非光滑、按段光滑

2°

.切线连续变化，几何如图：

相接各节光滑的曲线称为按段光滑曲线。

⑶单连通域和多连通域

单连通域对任简单闭曲线CuD，总有/（C）oDo否则，称D为多连通域或复连通域。

注：

单连通域的几何特征：

无洞！

三、复变函数的极限与连续

1.极限概念及性质

定义4limjf（z）=A：

Vg>

0,»

>

O,O<

|z~zo<

^,|/（z）-A<

£

。

复函数极限定义本质和表述与一元实函数完全相同，但ZTZ。

的方式是任意的——同二元函数相同。

运算性质设lim/（z）,limg（z）存在，贝【J

（1）lim[/（z）±

g（z）]=lim/（z）±

limg（z）；

（2）lim/（z）・g（z）=lim/（z）•limg（z）;

ZTSZ->

ZoZTS

“Jlim/他、

（3）lim牛=一心（、limg（z）H0o

f0g⑵limg（z八f丿

—%

定理1设f（z）=u+vi,A=w0+ivQ,z（）=x0+iy{},则

lim/（z）=Aolimm（x,y）=w（plimv（x,）'

）=「（）。

乙一>

5X->

X（）XTX0

）fo

证明利用定义见教材。

2.连续概念及性质

定义5函数/（z）在点5处连续：

lim/（z）=/（s）。

若/（z）在区域D上处处连续，称/（z）在区域D上连续。

例6证明：

argz在原点及负实轴上不连续。

证明当z=0时，argz无定义，故不连续;

当zhO时，•••一;

rvargzS%,对负实轴上的点z=x<

0：

limarg^===^,而limarg^=^==o/.limargz不存在，故不连续;

ZTX若y>

0ZTX若）y0ZTX

综上讨论知，argz在原点及负实轴上不连续。

定理2函数f（z）=u+vi在点z0=x0+iyQ处连续ow（x,y）,v（x,y）在点（无0，儿）处连续。

运算性质连续函数的和、差、积、商（分母不为零处）及复合函数仍为连续函数。

例7指出函数/（z）=ln（x2+y2）+z（x3-y）的连续区域。

解要使其实部与虚部连续，则需〉（）0兀,）,不同时为0。

从而，函数的连续域为z平面除z=0外的区域。

第二章解析函数

1解析函数的概念与充要条件

导数与微分

1•定义及运算

定义设zoeD（/）,若lim/（5+“）-/（5）古则称/（"

在点

A-->

0AztO

s处可导，其值称为/（z）在5处的导数，记为广（知）或也

Z=Zo

dz

/（z）在区域Q内可导o/C）在区域D内处处可导。

例1证明：

（丄'

丿

z2

证明

=lim

Azt（）

/（z+Az）-/（z）_恤蛊zl=Hm-1_L

山t（）Az&

t（）z（z+Az）v

Az

-1

二丿

由导数的定义式，与一元函数完全相同，借鉴例1,可以证明，实函数的求导公式及其运算法则，如四则求导法则、复合求导法则、反函数求导法则等对于复变函数均成立。

例2设/（z）=（z?

+2z—l）'

+A，求广（z）。

z

解广（z）=5（Z?

+2z-1）4（3才+2）一丰=5（3/+2&

+2z-1）4-三。

zz

但是，Az^o或"

5+&

t5：

方向任意，方式无穷。

使得复函数多不可导。

例3讨论/（z）=Z的可导性

解•・•/（z）=Z=x-yi,

Ax+/Ay

1,沿实轴t=0）,

-1,沿虚轴Tz（Ar=0）°

・lim于（z+△"

_/（?

）=Hm（兀+山）_心+0）_（兀-刃）Az->

（）AyAattO

iAy->

Ax-zAy

=lim=

Ar+iAy

从而，/（z）=1处处不可导。

2.可导、可微与连续的关系性质可导必连续,但反之不然.

证明对Vz0,设厂（5）存在，则lim‘匕）=广（5）,

AztO&

lima=0

>

o

/（5+Az）-/（勺）=广匕）+jiimQ=°

）

△znz->

o1

/（“+Az）-/（Zo）=广（5）"

+a△（*）

lim/（z0+Az）=/（z0）,即f（z）在点5处连续。

&

t0

反之，如/（z）=z•・•lim/（z0+Az）=lim（x04-Ar）-i（y0+Ay）=x0-iyQ=zQt

Az->

0Ar->

Ay->

即/（z）=z处处连续,但由例3的讨论知道，/（z）=z处处不可导。

定义2设如=/（"

在点5处可导，则由（*）式知

△w=广Co）Az+o（Az）

成立，称广（s）Az为/（z）在点5处的微分，记为dw=广（s）Az。

此时也称/（z）在5处可微。

由定义知道，可导o可微。

特别地，・・・dz=l・Az,・・・又记dw=/'

（zo）dz。

/⑺在区域D内可微o/（"

在区域Q内处处可微。

3.可微或可导的充分必要条件

du

dvdu

dv

dx'

8y'

dy

dx

定理1函数f（z）=W+VI在点Zq=XO+iyQ处可微或可导ou{x.y\v（x,y）

在点（兀0,儿）可微且满足柯西——黎曼（C—R）方程:

FI

dxox

证明见教材。

特别注意在证明过程中，有结论厂（z）=8U，6V注：

1°

.判断弘，卩可微用其充分条件：

一阶偏导连续；

亠e加5vdudv亠

.C—R方程—=的记忆法：

dx8ydydx

例4讨论函数w=|才的可导性。

0,于是，

0,

22。

92

=对+厂二u=对+y,v=

Ux=2x,uy=2y;

vx=vy

易见，仅当x=y=0时，ux-Vytiy--vx且一阶偏导连续，

从而，函数在z=0处可导，除此之外，处处不可导。

例5

广G）。

证明函数f（z）=x2-y2-x+i（2xy-y）在复平面上处处可导，并求

u=x--x.v=2xy-y,

:

.ux=2x-l,uy=-2y;

vx=2y,vy=2x-l,显然，对Vx,y,恒有ux=v},wv=-Vv且一阶偏导连续，于是，函数/（z）在复平面上处处可导；

且广（z）=ux+ivx=2x-1+2iy=2z-1即为所求。

二、解析概念与运算性质

1.定义

定义3若/（z）在点5及其某邻域内处处可导，则称/G）在点勺处解析，否则称点5为/（"

的奇点。

/（z）在区域Q内解析O/⑺在区域D内点点解析，此时称/（込）是区域D内的解析函数。

./（z）在点％处解析n/（z）在点细处可导，但反之不然；

./（"

在区域D内解析o/G）在区域D内可导；

即解析是函数的区域性质。

3°

.解析函数必有解析点，可以有奇点。

如解析函数/（z）=丄有奇点z=0,但Z

是=w斗|等均非解析函数。

2.性质

例6研究函数/（"

=二二Z的解析性。

'

丿z2-l

解・・・"

1时，处）=「：

2吿-2）=4：

严*],・兀）在除点U2-1；

U2-1；

ZH±

1外处处可导，即/（Z）在其定义域内可导或解析。

而Z=±

l是其两个奇点。

由例6及其解析的定义注2,易知，解析函数有运算性质：

解析函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合函数仍为解析函数。

三、解析函数的充要条件与应用

由解析的定义注2及可导的充分必要条件知道：

定理2函数/（z）=u^vi在区域£

＞内解析«

＞u（x,y）,v（x,y）在£

＞内可微且满足柯西——黎曼（C-R）方程：

L学=_二。

dxdydydx

1•判断解析——正问题

例7判断下列函数的解析性：

（1）f（z）=x-iy2；

（2）f（z）=ex（cosy+isiny）

解

（1）vu=x.v=一）厂=>

ux=\,uv=0;

vx=0,vv=-2y,

当-2y=l,即y=~^时，满足C-R条件且一阶偏导连续，从而

f^=x-iy2在直线y=--±

处处可导，但由解析定义知，/（z）二兀-O’在2

复平面内处处不解析；

（2）•••u=excosy,v=exsiny,

ux=excosy,uv=-exsiny\vx=exsiny,vx=excosy,

.=vyuy=-vx且一阶偏导连续，于是，函数/（z）在复平面上处处解析。

并且广（z）=ex（cosy+isiny）=f（z）。

2.应用解析——反问题和逆问题

例8求常数a,b,使得函数/（^:

）=+ay+i（3x+by）在复平面内处处解析。

解•/w=x4-ay,v=3x+by=>

ux=1，uv=a;

vv=3°

）,=b,

又•・•/（z）解析，.•.由C—R条件ux=vyuy=-v¥

知，b=l,a=-3即为所求。

例9若/（z）解析且arg/（z）=常数，证明:

证明设/（z）=w+V/,Varg/（^）=常数，

.—=tan（arg/（z））=k,即v=kuu

VA.=kux,vv=kuyo又•・•/（z）解析，/.Ux=vyuy=-vA.,从而,

vx=kvy-k2ux=-k2vx,即（1+Z:

2）i\=0=>

vv=0,于是，有iiv="

）‘=x=°

，f=wiv=常数。

3.重要结论

推论1若广（z）三0o/（z）三C（常数）。

证明“U”显然；

cii=dv八

—+i—=0,从而，——=—=0odxdxdxdx

再由C-R条件,¥

，¥

=£

知普占=0»

=“（』常dxdydyoxdxoy

0=^>

V=v（x,y）三常数，即f（z）=u+vi=C常数。

dxdy

推论2若/（z）解析，则/（z）可表示为复变量z的表达式。

证明•/w=f{z）=u（x,y）+/v（x,y）=w

z+Z

"

T~

z-z

~2T）

+iv

解析…矢于是,

dxdydyox

dy.（dvdxdv莎、

•—+l1—

Idxdz8ydz丿1（du

31fixdy）

duoxdu

—=1

dzdxdzdydz

1du1cu.（1dv

p/

2dx2idy

15v、

2dx2idy丿

1dudv

H

2\^dydx

“=>

”・・・％）»

+诡解析,・・.广

（2）dU，dV

从而，w=/（z）=w（z,Z）仅是z的函数。

推论3若函数/（z）=w+rv解析，且广（Z）HO,则曲线厶:

w（x,y）=G与曲线L2:

v（x,y）=C2互相正交。

证明由隐函数求导公式知，二曲线在交点处的切线斜率：

心=k2=y=^

uyvy〜w.v-v.v

•//（z）=u+iv/.ux=vy,uy=-vx,于是，k^k2=-i.

从而，曲线厶：

w（x,y）=G与曲线厶：

v（x,y）=C2互相正交。