（3）如果函数f（x）（x∈D）在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B（b,0）（a≠b），那么函数f（x）是周期函数，且周期T＝4|b－a|.
注：
对于
（1）
（2）（3）中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．
1．思维辨析（在括号内打“√”或“×”）．
（1）函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上关于坐标原点对称．（ √ ）
（2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0.（ × ）
（3）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）关于直线x＝a对称．（ √ ）
（4）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）关于点（b,0）中心对称．（ √ ）
解析
（1）正确．根据函数奇偶性的定义，知f（x），f（－x）必须同时有意义，故具备奇偶性的函数首先其定义域关于坐标原点对称，但定义域关于坐标原点对称的函数未必具有奇偶性．
（2）错误．若函数f（x）在点x＝0处没有定义，如f（x）＝，则f（0）不存在．
（3）正确．函数y＝f（x＋a）关于直线x＝0对称，则函数y＝f（x）关于直线x＝a对称．
（4）正确．函数y＝f（x＋b）关于点（0,0）中心对称，则函数y＝f（x）关于点（b,0）中心对称．
2．下列函数为偶函数的是（ D ）
A．f（x）＝x－1 B．f（x）＝x2＋x
C．f（x）＝2x－2－x D．f（x）＝2x＋2－x
解析 易判断A，B项中的函数为非奇非偶函数；对于C项，f（－x）＝2－x－2x＝－（2x－2－x）＝－f（x）为奇函数；对于D项，f（－x）＝2－x＋2x＝f（x）为偶函数．故选D．
3．（2017·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）＝2x3＋x2，则f
（2）＝__12__.
解析 依题意得，f（－2）＝2×（－2）3＋（－2）2＝－12，由函数f（x）是奇函数，得f
（2）＝－f（－2）＝12.
4．函数f（x）的定义域为R，且对于x∈R，恒有f（x＋2）＝f（x）．当x∈[2,4]时，f（x）＝x2－2x，则f（2019）＝__3__.
解析 由f（x＋2）＝f（x），知f（x）是周期T＝2的周期函数．
因为x∈[2,4]时，f（x）＝x2－2x，
所以f（2019）＝f（1008×2＋3）＝f（3）＝32－2×3＝3，
即f（2019）＝3.
5．若f（x）＝ln（e3x＋1）＋ax是偶函数，则a＝__－__.
解析 函数f（x）＝ln（e3x＋1）＋ax为偶函数，
故f（－x）＝f（x），
即ln（e－3x＋1）－ax＝ln（e3x＋1）＋ax，
故ln＝2ax，即lne－3x＝2ax，则－3x＝2ax，
∴a＝－.
一 函数奇偶性的判断
判断函数奇偶性的方法
（1）判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f（－x）与f（x）的关系作出判断．
（2）分段函数指在定义域的不同子集上有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f（－x）＝f（x）或f（－x）＝－f（x）成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
【例1】
（1）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（ C ）
A．f（x）g（x）是偶函数 B．|f（x）|g（x）是奇函数
C．f（x）|g（x）|是奇函数 D．|f（x）g（x）|是奇函数
（2）判断下列各函数的奇偶性．
①f（x）＝（x＋1）；
②f（x）＝；
③f（x）＝
解析
（1）f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，故f（x）g（x）为奇函数，f（x）|g（x）|为奇函数，|f（x）|g（x）为偶函数，|f（x）g（x）|为偶函数．故选C．
（2）①由得定义域为（－1,1]，关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数．
②由得定义域为（－1,0）∪（0,1），关于原点对称．
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f（x）＝.
又∵f（－x）＝＝－＝－f（x），
∴函数f（x）为奇函数．
③显然函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．
当x<0时，－x>0，则f（－x）＝－（－x）2－x＝－x2－x＝－f（x）；
当x>0时，－x<0，则f（－x）＝（－x）2－x＝x2－x＝－f（x）．
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f（－x）＝－f（x）成立，∴函数f（x）为奇函数．
二 函数奇偶性的应用
与函数奇偶性有关的问题及解决方法
（1）已知函数的奇偶性，求函数值．将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
（2）已知函数的奇偶性求解析式．将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f（x）的解析式．
（3）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值．常常利用待定系数法：
由f（x）±f（－x）＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．
（4）应用奇偶性画图象和判断单调性．利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象并判断另一区间上的单调性．
【例2】
（1）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f
（1）＋g
（1）＝（ C ）
A．－3 B．－1
C．1 D．3
（2）已知函数f（x）＝ax3＋bsinx＋4（a，b∈R），f[lg（log210）]＝5，则f[lg（lg2）]＝（ C ）
A．－5 B．－1
C．3 D．4
解析
（1）用“－x”代替“x”，得f（－x）－g（－x）＝（－x）3＋（－x）2＋1，化简得f（x）＋g（x）＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f
（1）＋g
（1）＝1.故选C．
（2）∵f（x）＝ax3＋bsinx＋4，①
∴f（－x）＝a（－x）3＋bsin（－x）＋4，
即f（－x）＝－ax3－bsinx＋4，②
①＋②得f（x）＋f（－x）＝8.③
又∵lg（log210）＝lg＝lg（lg2）－1＝－lg（lg2），
∴f[lg（log210）]＝f[－lg（lg2）]＝5，
又由③式，知f[－lg（lg2）]＋f[lg（lg2）]＝8，
∴5＋f[lg（lg2）]＝8，∴f[lg（lg2）]＝3.
三 函数的周期性
函数周期性的判断与应用
（1）判断函数的周期性只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：
若T是函数的周期，则kT（k∈Z，且k≠0）也是函数的周期．
【例3】定义在R上的函数f（x）满足f（x＋6）＝f（x）．当－3≤x<－1时，f（x）＝－（x＋2）2；当－1≤x<3时，f（x）＝x.则f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（2018）＝（ C ）
A．337 B．338
C．339 D．2018
解析 由f（x＋6）＝f（x）可知，函数f（x）的周期为6，由已知条件可得f
（1）＝1，f
（2）＝2，f（3）＝f（－3）＝－1，f（4）＝f（－2）＝0，f（5）＝f（－1）＝－1，f（6）＝f（0）＝0，所以在一个周期内有f
（1）＋f
（2）＋…＋f（6）＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f
（1）＋f
（2）＋…＋f（2018）＝f
（1）＋f
（2）＋336×1＝1＋2＋336＝339.
四 函数性质的综合应用
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
（1）单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
（3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
【例4】
（1）已知定义域为（－1,1）的奇函数f（x）是减函数，且f（a－3）＋f（9－a2）<0，则实数a的取值范围是（ A ）
A．（2，3） B．（3，）
C．（2，4） D．（－2,3）
（2）已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0,2）时，f（x）＝log2（x＋1），则f（－2017）＋f（2018）＝__1__.
解析
（1）由f（a－3）＋f（9－a2）<0，得f（a－3）<－f（9－a2）．又奇函数满足f（－x）＝－f（x），得f（a－3）（2）∵函数f（x）是（－∞，＋∞）上的偶函数，∴f（－x）＝f（x）．
又∵对于x≥0都有f（x＋2）＝f（x），∴f（x）的周期T
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