线段和差最值问题Word格式文档下载.docx
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m,n
的内侧，在直线
n、m
分别上求点
D、E
点，使得围成的四边形
ADEB
周长最短.
D
E
变式二：
A
的内侧,
P、Q
点
PA+PQ+QA
A"
二、一个动点，一个定点：
（一）动点在直线上运动：
B
n
上运动，在直线
上找一点
最小（在图中画出点
P
和点
B）
1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
（二）动点在圆上运动：
在⊙O
1、点与圆在直线两侧：
O
O
2、点与圆在直线同侧：
三、已知
是两个定点，P、Q
是直线
上的两个动点，P
在
Q
的左侧,且
PQ
间长度恒定,在直线
上要求
两
点，使得
的值最小。
（原理用平移知识解）
C
过
点作
AC∥m,且
AC
长等于
长，连接
BC,交直线
于
Q,Q
向左移动
长，即为
点，此时
即为所求的点。
同侧：
四、求两线段差的最大值问题（运用三角形两边之差小于第三边）
PA
与
PB
的差最大；
异侧：
作关于直线
的对称点
B’,连接
AB’交点直线
P,此时
PB=PB’，PA-PB
最大值为
AB’
Ⅰ．专题精讲
最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．
Ⅱ．典型例题剖析
一．归入“两点之间的连线中，线段最短”
Ⅰ．“饮马”几何模型：
条件：
如下左图，A、B
l
同旁的两个定点．
问题：
上确定一点
PA＋PB
的值最小．
l
模型应用：
1．如图，正方形
ABCD
的边长为
2，E
为
AB
的中点，P
是
上一动点．则
PB+PE
的最小值是．
2．如图，⊙O
的半径为
2，点
A、B、C
上，OA⊥OB，∠AOC=60°
，P
OB
上一动点，则
PA+PC
的最小值是
．
．如图，在锐角ABC
中，AB＝42，∠BAC＝45°
，∠BAC
的平分线交
BC
于点
D，M、N
分别是
AD
和
上的动点，则
BM+MN
第
1
题第
2
3
4
题
4．如图，在直角梯形
中，∠ABC＝90°
，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点
上一个动点，当
PC＋PD
的
和最小时，PB
的长为__________．
5．如图，等腰梯形
中，AB＝AD＝CD＝1，∠ABC＝60°
是上底，下底中点
EF
直线上的一点，则
的最小
值为．
6．如图，MN
是半径为
的⊙O
的直径，点
上，∠AMN＝30°
，B
AN
弧的中点，P
是直径
MN
上一动点，则
的最小值为．
5
6
7
7．已知
A（－2，3），B（3，1），P
点在
x
轴上，若
长度最小，则最小值为．若
PA—PB
长度最大，
则最大值为．
8．已知：
如图所示，抛物线
y＝－x2＋bx＋c
轴的两个交点分别为
A（1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点
在该抛物线上滑动，且满足条件
PAB＝1
的点
有几个？
并求出所有点
的坐标；
（3）设抛物线交
y
轴于点
C，问该抛物线对称轴上是否存在点
，使得MAC
的周长最小？
若存在，求出点
M
若不存在，请说明理由．
Ⅱ．台球两次碰壁模型
m，n
点，使
变式：
1．如图，∠AOB=45°
是∠AOB
内一点，PO=10，Q、R
OA、OB
上的动点，求△PQR
周长的最小值．
2．如图，已知平面直角坐标系，A，B
两点的坐标分别为
A（2，－3），B（4，－1）
设
M，N
分别为
轴和
轴上的动点，请问：
是否存在这样的点
M（m，0），N（0，n）,使四边形
ABMN
的周长最短？
若存
在，请求出
m＝______，n
＝
______（不必写解答过程）；
中考赏析：
1．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路
X
同侧，AB=50km、B
到直线
X
的距离分别为
10km
40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区
P，向
两景区运送游客．小民设计了两种方案，
图
（1）是方案一的示意图（AP
与直线
垂直，垂足为
P），P
到
的距离之和
S1＝PA＋PB，图
（2）是方案二的示
意图（点
关于直线
的对称点是
，连接
BA'
交直线
S2＝PA＋PB．
（1）求
S1、S2，并比较它们的大小；
（2）请你说明
S2＝PA＋PB
的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路
Y
与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B
的距离为
30km，请你在
旁和
旁各修建一服务区
P、A、B、Q
组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
3
18
2．如图，抛物线
y＝5x
2－
x＋3
轴的交点为
A，M
OA
的中点，若有一动点
P，自
点处出发，沿直线运动到
轴上的某点（设为点
E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点
F），最后又沿直线运动到点
A，求使点
运动的总路程最短的点
E，点
F
的坐标，并求出这个最短路程的长．
Ⅲ．已知
的左侧，且
的值最小．（原理用平移知识解）
（2）点
1
1.
如图，抛物线
y＝－4x
2－xError!
No
bookmark
name
given.＋2
的顶点为
A，与
轴交于点
B．
（1）求点
A、点
（2）若点
轴上任意一点，求证：
PA－PB≤AB；
（3）当
PA－PB
最大时，求点
的坐标.
2.
如图，已知直线
y＝
2
x＋1
D，
抛物线
y＝
＋bx＋c
与直线交于
A、E
两点，与
轴交于
B、C
两点，且
点坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上找一点
M，使|AM－MC|的值最大，求出点
的坐标．
y
DO
x
3.
如图，直线
y＝－3x＋2
C，与
B，点
轴正半轴上的一点，⊙A
经过点
O，
直线
交⊙A
D．
D
（2）过
O，C，D
三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点
P，使线段
PO
PD
之差的值最大？
若存在，请求
出这个最大值和点
的坐标．若不存在，请说明理由．
4.
已知：
如图，把矩形
OCBA
放置于直角坐标系中，OC＝3，BC＝2，取
的中点
M，连接
，把MBC
沿
轴的负方
向平移
OC
的长度后得到△DAO．
（1）试直接写出点
（2）已知点
与点
在经过原点的抛物线上，点
在第一象限内的该抛物线上移动，过点
作
PQ⊥x
Q，连接
OP．若以
O、P、Q
为顶点的三角形与△DAO
相似，试求出点
（3）试问在
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点
T，使得|TO－TB|的值最大？
若存在，则求出点
T
点的坐标；
若不
存在，则说明理由．
1．归入“三角形两边之差小于第三边”
1.直线
2x-y-4=0
上有一点
P，它与两定点
A（4，-1）、B（3，4）的距离之差最大，则
点的坐标是.
2.已知
两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点
P）在
轴上行驶．试确定下列情况下汽车
（点
P）的位置：
（1）求直线
的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到
两村距离之差最大？
（2）汽车行驶到什么点时，到
两村距离相等？
好题赏析：
原型：
是边长为
的正方形
内的一点，求
PA＋PB＋PC
的最小值．
例题：
如图，四边形
是正方形，△ABE
是等边三角形，M
为对角线
BD（不含
点）上任意
一点，将
BM
绕点
逆时针旋转
60°
得到
BN，连接
EN、AM、CM．
（
）求证：
AMB≌△ENB；
（2）①当
点在何处时，AM＋CM
的值最小；
②当
点在何处时，AM＋BM＋CM
的值最小，并说明理由；
AM＋BM＋CM
的最小值为3＋1
时，求正方形的边长．
如图四边形
是菱形，且∠ABC＝
，ABE
点）上任意一点，将
BM
EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（ ）
①若菱形
1，则
AM＋CM
的最小值
1；
②△AMB≌△ENB；
③S
四边形
AMBE=S
ADCM；
④连接
AN，则
AN⊥BE；
⑤当
的最小值为
3时，菱形
2．
A．①②③B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤
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