全等三角形辅助线举例试题与解析答案文档格式.docx

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二.填空题（共1小题）

2.△ABC中，AB=7,AC=3，贝UBC边的中线AD的取值范围是2VADV5.

如图，延长AD至E,使DE=AD，就可以得出△ADB耳△EDC，就可以得出CE=AB，在△ACE中，由三角形的三边关系就可以得出结论.

如图，延长AD至E,使DE=AD,

•/D是BC的中点，

•••BD=CD.

在厶ADC和△EDB中，

fAD=ED

彳ZADOZEDB,

ICD=BD

•△ADC◎△EDB（SAS）

•AC=EB.

•/AC=3,

•EB=3.

•7-3VAE/7+3,

•4V2ADV10,

•2vADV5.

故答案为：

2VADV5.

本题考查了中线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形三边关系的运用，解答时运用三角形全等将线段转化在同一三角形中是关键.

三.解答题（共13小题）

3.以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE,/BAD=/CAE=90°

连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究：

AM与DE的位置关系及数量关系.

（1）如图①当厶ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是AM丄DE，线段AM与DE的数量关系是—DE=2AM；

（2）将图①中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转0°

0V9<

90）后，如图②所示，

（1）问中得到的两个结论是否发生改变？

并说明理由.

证明题.

（1）ED=2AM,AM丄ED.延长AM到G,使MG=AM，连BG,贝UABGC是平行四边形，再结合已知条件可以证明△DAEABG，根据全等三角形的性质可以得到DE=2AM,/BAG=/EDA，再延长MG交DE于

H，因为/BAG+/DAH=90°

所以/HDA+/DAH=90。

这样就证明了AM丄ED;

（2）延长CA至F，使FA=AC,FA交DE于点P,并连接BF，证出△FAB◎△EAD，利用全等三角形的性质得到

BF=DE,/F=ZAEN,从而证出/FPD+/F=/APE+/AEN=90°

得到FB丄DE，根据AM//FB,可得到AM=£

FB.

（1）ED=2AM,AM丄ED;

证明：

延长AM到G,使MG=AM，连BG,贝UABGC是平行四边形，再延长MA交DE于H.

•••AC=BG,/ABG+/BAC=180又•//DAE+/BAC=180°

•/ABG=/DAE.再证：

△DAE△ABG

•DE=2AM,/BAG=/EDA.延长MA交DE于H,

•//BAG+/DAH=90°

•/HDA+/DAH=90°

•AM丄ED.

（2）结论仍然成立.

如图，延长CA至F，使FA=AC,FA交DE于点P,并连接BF.

•/DA丄BA,EA丄AF,

•/BAF=90°

/DAF=/EAD.

•••在△FAB和厶EAD中，

i7a=ae

ZBAF=ZEAD〔BA=DA

•△FAB◎△EAD（SAS）

•BF=DE,/F=/AEN,

•/FPD+/F=ZAPE+/AEN=90°

•FB丄DE.

又•/CA=AF,CM=MB.

•AM//FB，且AM=」FB,

•AM丄DE，皿丄DE，

本题考查了旋转的性质和相似三角形的性质，利用旋转不变性找到三角形全等的条件•此题综合性较强,要注意观察图象的特点.

4.已知：

如图，△ABC中AC二丄AB,AD平分/BAC，且AD=BD.求证：

CD丄AC•

专题：

过D作DE丄AB于E，根据等腰三角形性质推出AE^-AB,/DEA=90°

求出AE=AC，根据SAS证

△DEADCA，推出/ACD=/AED即可.

解：

过D作DE丄AB于E,

•/AD=BDDE丄AB

•••AE=」AB,/DEA=90°

•/AC=-AB

•AE=AC

•/AD平分/BAC

•/BAD=/CAD,

在△DEA和△DCA中,

Cae=ac

ZBAD^ZCAD,

[ad二AD

•△DEA◎△DCA,

•/ACD=/AED,

•/ACD=90°

•AC丄DC.

△DEA也△DCA，主要培养

本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好，难度适中.

EB分别平分/DAB,/CBA,CD过点E,求证：

AB=AD+BC.

考点专题分析

先过E作EF//AD，交AB于F，则/DAE=/AEF,/EBC=/BEF，因为EA、EB分别平分/DAB和/CBA,

所以AF=EF=FB，再根据梯形中位线定理得出AB=AD+BC.

过E作EF/AD,交AB于F,

贝U/DAE=/AEF,/EBC=/BEF,

•/EA、EB分别平分/DAB和/CBA,

•••/EAF=/AEF,/EBF=/BEF,

•••AF=EF=FB,

又•/EF//AD//BC,

•EF是梯形ABCD的中位线,

.匚匚AD+BC

--EF=,

•AF+FB=2EF,AB=AD+BC.

主要考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是平行线的判定和梯形中位线定理，解题的关键是要灵活运用已知条件求出EF=i

6.如图，△ABC内，/BAC=60°

/ACB=40°

P,Q分别在BC,CA上，并且AP,BQ分别是/BAC,/ABC的平分线，求证：

BQ+AQ=AB+BP.

延长AB到D,使BD=BP,连接PD•则/D=/5.由已知条件不难算出：

/仁/2=30°

/3=/4=40°

/C•于是QB=QC.又/D+/5=/3+Z4=80°

故/D=40°

于是△APD也△APC（AAS）,所以AD=AC.即AB+BD=AQ+QC,等量代换即可得证.

证明：

延长AB至UD，使BD=BP，连接PD.则/D=/5.

•/AP,BQ分别是/BAC,/ABC的平分线，/BAC=60°

•••/仁/2=30°

/ABC=180°

-60°

-40°

80°

/3=/4=40°

/C.

--QB=QC,

又/D+/5=/3+/4=80°

•/D=40°

在厶APD与厶APC中，

AP=AP,

/1=/2,/D=/C=40°

•△APD◎△APC（AAS）,

•AD=AC.

即AB+BD=AQ+QC,

本题实际是以角平分线AP为对称轴将△APC翻折成△APD.利用对称变换解题常常选择角平分线，某一线段的垂直平分线作为对称轴.作辅助线构造全等三角形是关键.

7.如图，在四边形ABCD中，BC>

BA,AD=CD,BD平分/ABC,

求证：

/A+/C=180°

角平分线的性质；

首先过点D作DE丄BC于E,过点D作DF丄AB交BA的延长线于F,由BD平分/ABC，根据角平分线

的性质，即可得DE=DF，又由AD=CD，即可判定Rt△CDE也Rt△ADF，则可证得：

过点D作DE丄BC于E,过点D作DF丄AB交BA的延长线于F,

•/BD平分/ABC,

•DE=DF,/DEC=/F=90°

在RtCDE和Rt△ADF中，

Tcd=ad,

1DE=DF，

•••Rt△CDE也Rt△ADF（HL）,

•••/FAD=/C,

此题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质•此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用.

如图，在四边形ABCD中，AD//BC,点E是AB上的一个动点，若/B=60°

AB=BC，且/DEC=60°

判断AD+AE与BC的关系并证明你的结论.

动点型.

此题连接AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三

角形全等解决它们的问题.

有BC=AD+AE.

连接AC,过E作EF//BC交AC于F点.

•/ZB=60°

AB=BC,ABC为等边三角形，

•••EF//BC,AEF为等边三角形.

即AE=EF,ZAEF=ZAFE=60°

所以ZCFE=120°

（3分）

又•••AD//BC,ZB=60。

故ZBAD=120°

又tZDEC=60°

ZAEF=60°

•ZAED=ZFEC.（1分）

在厶ADE与厶FCE中，

irZ5AD=ZCFE

tAE=E?

、ZAED=ZFEC

•△ADE◎△FCE.

•AD=FC.（1分）

贝UBC=AD+AE.（1分）

此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形解决问题.

9.已知△ABC的边BC上有两点D，E,且BD=CE，求证：

AB+AC>

AD+AE.

先连接AF并延长至G,使FG=AF，其中F是BC的中点，连接GB,GC,GD,GE•可知四边形ABGC,四边形ADGE是平行四边形，延长AD至H，交BG于H•运用三角形的三边关系：

两边之和大于第三边”即可进行证明.

连接AF并延长至G,使FG=AF，其中F是BC的中点，连接GB,GC,GD,GE,

•/BD=CE,

•••DF=EF,

•••四边形ABGC，四边形ADGE是平行四边形，

•BG=AC,DG=AE,

延长AD至H，交BG于H,

•/AB+BH>

AD+DH,DH+HG>

DG,

•AB+BH+DH+HG>

AD+DH+DG,

•・AB+BG>

AD+DG,即AB+AC>

AD+AE.

本题考查了三角形三边关系，将证明边的大小关系的问题转化为三角形三边关系问题是解题的关键•本题借助辅助线DH起枢纽作用.

10.已知：

如图△ABC中，/A=60°

BD、CE分别是/ABC和/ACB的平分线，相交于点F.求证:

（1）/BFE=60°

（2）FE=FD.

（1）证明/EBF=/CBF=a,/DCF=/BCF=求出a+3=60°

证明/BFE=a+3=60。

问题即可解决.

（2）证明/A+/EFD=180°

得到A、E、F、D四点共圆；

证明/EAF=/DAF，故FE=FD.

（1）•/BD、CE分别是/ABC和/ACB的平分线，

•/EBF=/CBF=a,/DCF=/BCF=3；

又•••/A=60°

•2a+23=180°

-60°

=120°

•a+3=60°

•/BFE=a+3=60°

（2）如图，连接AF;

•//BFE=60°

•••/EFD=120°

•••/A+/EFD=180°

•A、E、F、D四点共圆，设为OO;

由题意知在OO中，/EAF=/DAF,

•FE=FD（相等的圆周角所对的弦相等）

综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求.

11.如图，在△ABC中，AD平分/BAC,DG丄BC且平分BC于点G,DE丄AB于E,DF丄AC于F.

（1）证明：

BE=CF;

（2）如果AB=12,AC=8，求AE的长.

（1）连接DB、DC,证明Rt△BDE也Rt△CFD即可得出结论；

（2）由

（1）可得出CF=BE，且AE=AF=AC+CF，而CF=BE=AB-AE，代入可求得结果.解答：

（1）证明：

连接DB、DC,

•/AD平分/BAC,DE丄AB,DF丄AC,

•DE=DF,

•••DG丄BC且平分BC于点G,

•DB=DC,

在Rt△BDE和Rt△CFD中，

Tde=dp

1BD二CD，

•Rt△BDE也Rt△CDF（HL）,

•BE=CF;

（2）解：

由

（1）知BE=CF,

且在△ADE和△ADF中

irZEAD=FAD

〈ZDEA=ZDFA

〔AD二AD

•△ADE◎△ADF（AAS）,

•AE=AF=AC+CF,

而CF=BE=AB-AE,

•AE=AC+AB-AE,

•2AE=AC+AB=8+12=20,

•AE=10.

本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.

12.如图，点E为正方形ABCD的边AB上一点，点F为边BC上一点，EF=AE+CF

，试求/EDF的度数.

正方形的性质；

由四边形ABCD为正方形，可得DA=DC,/A=/DCB=90°

然后把△DAE绕点D顺时针旋转90°

得到△DCM，易证得△DFMDFE（SSS）,继而求得答案.

四边形ABCD为正方形，

•••DA=DC,/A=/DCB=90°

•••把厶DAE绕点D顺时针旋转90°

得到△DCM，如图，

•/A=/DCM=90°

DE=DM,/EDM=90°

AE=CM,

•••点M在BC的延长线上，

•MF=CF+CM,

•/EF=AE+CF,

•MF=EF,

在厶DFM和△DFE中

irDH=DE

〈DF=DF,

•△DFM◎△DFE（SSS）,

•/MDF=/EDF,

此题考查了正方形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质•此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

13.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，/BAC=90°

AB=AC.

（1）若D为BC的中点，过D作DM丄DN分别交AB、AC于M、N，求证：

DM=DN;

（2）若DM丄DN分别和BA、AC延长线交于M、N，问DM和DN有何数量关系，并证明.

（2）

團1圏2'

（1）连接AD，可得/ADM=/CDN，可证△AMD◎△CND，可得DM=DN;

连接AD，可得/ADM=/CDN，可证△AMD◎△CND，可得DM=DN.

（1）连接AD,

•/D为BC中点,

•//ADM+/ADN=90°

/ADN+/CDN=90°

•••/ADM=/CDN,

在厶AMD和厶CND中，

irZADM=ZCDN

tAD二CD,

、ZBAD=ZC

•△AMD◎△CND（ASA）,

•DM=DN.

（2）连接AD,•/D为BC中点，•AD=BD,/BAD=/C,

•//ADM+/MDC=90°

/MDC+/CDN=90°

•/ADM=/CDN,

•//MAD=MAC+DAC=135°

/NCD=180°

-/ACD=135在厶AMD和厶CND中，

AD二CD,

IZMAD=ZHCD

•△AMDg△CND（ASA）,

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AMD◎△CND是解题

的关键.

14.（2007?

牡丹江）已知四边形ABCD中，AB=BC,/ABC=120°

/MBN=60°

/MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于E,F.

当/MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1）,易证AE+CF=EF;

当/MBN绕B点旋转到AE毛F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；

若不成立，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明.

几何综合题；

根据已知可以利用SAS证明△ABES'

CBF，从而得出对应角相等，对应边相等，从而得出

/ABE=/CBF=30°

△BEF为等边三角形，利用等边三角形的性质及边与边之间的关系，即可推出AE+CF=EF.

同理图2可证明是成立的，图3不成立.

•/AB丄AD,BC丄CD,AB=BC,AE=CF,

在'

ABE和'

CBF中，

AB二EC

ZA=ZC=90c

;

AE=C?

••△ABES'

CBF（SAS）;

••/ABE=/CBF,BE=BF;

••/ABC=120°

••/ABE=/CBF=30°

•AE=」BE,CF=」BF;

••/MBN=60°

BE=BF,••△BEF为等边三角形；

•••AE+CF=^BE+gBF=BE=EF;

图2成立，图3不成立.证明图2.

延长DC至点K，使CK=AE，连接BK,在△BAE和△BCK中，

；

AB=CB

彳厶二二9L

IAE=CK

则厶BAESABCK,

•BE=BK,/ABE=/KBC,•••/FBE=60°

/ABC=120°

•/FBC+/ABE=60°

•/FBC+/KBC=60°

•/KBF=/FBE=60°

在厶KBF和厶EBF中，

pK=SI

4ZKBK=ZEBF

IBF=B?

•••△KBF◎△EBF,

•••KF=EF,

•KC+CF=EF,

即AE+CF=EF.

图3不成立，

AE、CF、EF的关系是AE-CF=EF.

本题主要考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS,SAS,AAS等，这些方法要求学生能够掌握并

灵活运用.

15.在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,DABC外一点，且/MDN=60°

/BDC=120°

BD=DC.探究：

当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系.

（1）如图1,当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN;

此

时鱼卫;

L_S-

I）问的两个结论还成立吗？

若成立请直接写

（2）如图2,点M、N在边AB、AC上，且当DMON时，猜想（出你的结论；

若不成立请说明理由.

（3）如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索

BM、NC、MN

之间的数量关系如何？

并给出证明.

等边三角

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