新版概率论与数理统计知识点总结.docx

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新版概率论与数理统计知识点总结

第1章随机事件及其概率

（1）排列组合公式

P：

、-加从m个人中挑出n个人进行排列也许数。

（m-n）!

-从m个人中挑出n个人进行组合也许数。

//!

（/«-77）!

（2）加法和乘法原理

加法原理（两种办法均能完毕此事）：

m+n

某件事由两种办法来完毕，第一种办法可由m种办法完毕，第二种办法可由n种办法来完毕，则这件事可由m+n种办法来完毕。

乘法原理（两个环节分别不能完毕这件事）mXn

某件事由两个环节来完毕，第一种环节可由m种办法完毕，第二个环节可由n种办法来完毕，则这件事可由mXn种办法来完毕。

（3）某些常用排列

重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一种）

顺序问题

（4）随机实验和随机事件

如果一种实验在相似条件下可以重复进行，而每次实验也许成果不止一种，但在进行一次实验之前却不能断言它浮现哪个成果，则称这种实验为随机实验。

实验也许成果称为随机事件。

本样和基'间

5）件空件{领本事

在一种实验下，不论事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具备如下性质：

1每进行一次实验，必要发生且只能发生这一组中一种事件：

2任何事件，都是由这一组中某些事件构成。

这样一组事件中每一种事件称为基本领件，用©来表达。

基本领件全体，称为实验样本空间，用Q表达。

一种事件就是由。

中某些点（基本领件构成集合。

通惯用大写字母A,B,C,…表达事件，它们是£1子集。

C为必然事件，0为不也许事件。

不也许事件（0）概率为零，而槪率为零事件不一定是不也许事件；同理，必然事件（Q）概率为1,而概率为1事件也不一宦是必然事件。

（6）事件关系与运

1关系：

如果事件A构成某些也是事件B构成某歧，G发生必有事件B发生）：

AaB

如果同步有AuB,BnA,则称事件虫与事件3等价，或称川等于月：

A=Bc

A.3中至少有一种发生事件：

SU3或者卅民

属于兔而不属于万某些所构成事件，称为A与B差，记为也可表达为人如或者ABf它表达兔发生而方不发生事件。

A.方同步发生：

或者肋。

AnB=0,则表达A与B不也许同步发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。

基本领件是互不相容。

O-A称为事件A逆事件，或称A对立事件，记为刁。

它表达A不发生事件。

互斥未必对立。

2运算：

结合率：

A（BC）=（AB）CAU（BUC）=（AUB）UC

分派率：

（AB）UC=（AUC）A（BUC）（AUB）nC=（AC）U（BC）

德摩根率：

7IA\JB=AQB9aC\b=a\jb

（7）概率公理化定义

设。

为样本空间，A为事件，对每一种事件A均有一种实数P（A）,若满足下列三个条件：

1Q0WP（A）£l,

2°P（Q）=1

3°对于两两互不相容事件A,人2,…有

X\x

PCk卜乞叫）

/=|/1=1

常称为可列（完全）可加性。

则称P（A）为事件A概率。

（8）古典概型

rg={®®・・®},

2°/>（©）*（◎）=・・・P（®）=_L

n

设任一事件A，它是由©,血2…©“构成，则有

尸⑷二{（©）11（®）U…U（%）}二P（®）+P@2）++P（%）

_m_A所包含的基本事件数

n基本事件总数

（9）几何概型

若随机实验成果为无限不可数并且每个成果浮现也许性均匀，同步样本空间中每一种基本领件可以使用一种有界区域来描述，则称此随机实验为几何概型。

对任一事件A,

P（A）—L（A）o其中L为几何度量（长度、而积、体积）o

L（G）

（10）加法公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

当AB不相容P（AB）=0时，P（A+B）=P（A）+P⑻

当AB独立，P（AB）=P（A）P（B）,P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）

（11）减法公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当BuA时，P（A-B）=P（A）-P（B）当A二Q时，P（B）=1-P（B）

（12）条件概率

定义设A、B是两个事件，且P（A）>0,则称牛也为事件A发生条件下，事件B发生条件概率，记为P（B/A）=^io

P（A）

条件概率是概率一种，所有概率性质都适合于条件概率。

例如P（Q/B）=1=>P（B/A）=1-P（B/A）

（13）乘法公式

乘法公式：

P（AB）=P（A）P（B/A）

更普通地,对事件A“也…若P（AA・・・・）>0,则有

P（A\Ai…An）=P（Ai）P（A21Ai）P（A31A\Ai）P（An1A1A2…

-J。

（14）独立性

①两个事件独立性

设事件A、B满足P（AB）=P（A）P（B）,则称事件A、B是互相独立。

若事件A、3互相独立，且P（A）>0,则有p（b\aJab）」（a）p（b）=p（b）

P（A）P（A）

若事件q.3互相独立，则可得到入与3.A与入与万也都互相

独立。

必然事件。

和不也许事件0与任何事件都互相独立。

0与任何事件都互斥。

②各种事件独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立条件，

P（AB）=P（A）P（B）；P（BC）=P（B）P（C）：

P（CA）=P（0P（A）并且同步满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）那么A、B.C互相独立。

对于n个事件类似。

（15）全概公式

设事件BW,…,B“满足

1。

B,B2,,B“两两互不相容，P（B/）>0（i-1,2,■■•,«）,

n

AuUB

2°i,

则有

P（A）=P（B"P（A1Bi）+P（B2）P（A182）+・••+P（B"P（A1Bn）

o

全概率公式解决是各种因素导致成果问题，全概率公式题型：

将实验可当作分为两步做，如果规定第二步某事件概率，就用全概率公式；

（16）贝叶斯公式

设事件Bi,・・・,B”及A满足

1°B\,別，…，两两互不相容，P（B「）〉o,i_\,2,…，"，

2。

启,P（A）>0,

则

P（B"）=®）P（W）,i=1,2,

士P（BJP（A/BJ

>=i

此公式即为贝叶斯公式。

P（BJ,（i=l,2,…，"），普通叫先验概率。

P（BJA）,（，=1,2,••・，"），普通称为后验概率。

贝叶斯公式反映了“因果”概率规律，并作出了“由果朔因”推断。

将实验可当作分为两步做，如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件概率，就用贝叶斯公式。

（17）伯努利槪型

咱们作了”次实验，且满足

♦每次实验只有两种也许成果，A发生或A不发生：

♦"次实验是重复进行，即人发生概率每次均同样：

♦每次实验是独立，即每次实验A发生与否与其她次实验人发生与否是互不影响。

这种实验称为伯努利概型，或称为〃重伯努利实验。

用"表达每次实验a发生概率，则刁发生概率为\_p=q,用几伙）表达n重伯努利实验中A浮现

p伙）=C：

pkq"-*,k=0,1,2,•••,/?

c

第二章随机变量及其分布

（1、宜散型随机变戢分布律

设离散型随机变量X也许取值为Xjk=l,2,-）且取各个值槪率，即事件（X二XJ概率为

P（X=xJ=pk,k=l,2,•••,

则称上式为离散型随机变量X概率分布或分布律。

有时也用分布列形式给出：

P（X=Xk）p,"2,…，严,…

o

显然分布律应满足下列条件：

00

V严=1

（1）*=12…，⑵3o

持机布>随分

2型M度{续变密

设F（x）是随机变量X分布函数，若存在非负函数/（X）,对任意实数x,有F（x）=^f（x）dx

9

则称x为持续型随机变量。

/（X）称为X概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具备下面4个性质：

1、/心0°

cCfWclx=1

2、J-20°

3、P（Xj

4、P（x=a）=O,a为常数，持续型随机变量取个别值概率为0

（3）离散与持续型随机变量关系

P（X=x）aP（x

积分元f（x）dx在持续型随机变量理论中所起作用与P（X=也）=0在离散型随机变量理论中所起作用相类似。

（4）分布函数

设X为随机变量，x是任意实数，则函数F（x）=P（X

称为随机变量X分布函数，本质上是一种累积函数。

P（a

分布函数F（x）表达随机变量落入区间（-8,£内概率。

分布函数具备如下性质：

r0

2°F（x）是单调不减函数，即“V上时，有F（xi）

3°F（-oo）=limF（x）=0,F（+oo）=limF（x）=1；

X->-00

4。

F（a+0）=F（x）,即F（x）是右持续；

5QP（X=x）=F（x）-F（x-0）o

对于离散型随机变量，F（x）=J；pk:

X

对于持续型随机变量，f（x）=j/uy/xo

—30

（5）八大分布

0-1分布

P（X=l）=p,P（X=O）=q

二项分布

在九重贝努里实验中，设事件A发生概率为°。

事件A发生次数是随机变量，设为X,则X也许取值为0,1,2,…丿。

P（X=k）=PM）=C：

pkq",其中

q=1—p,0

则称随机变量X服从参数为”，p二项分布。

记为X〜B（n,p）。

当八=1时，P（X=k）=]•qi,£=0.1,这就是（0-1）分布，因此（0-1）分布是二项分布特例。

泊松分布

设随机变呈X分布律为

才•

P（X=k）=—宀2>0,k=0丄2…,

k\

则称随机变量X服从参数为2泊松分布，记为X〜兀（刃或者

P

（2）o

泊松分布为二项分布极限分布（np",n-oo

几何分布

均匀分布

P（X=£）=“》/人《=1,2,3,…，其中pMO,q=l-po随机变量X服从参数为P几何分布，记为G（p）。

设随机变疑X值只落在［a,b］内，其密度函数/（X）在［a,b］上为常数丄，即

b-a

fM=

1

b_a

0,

其她,

则称随机变量X在［a,b］上服从均匀分布,记为X-U（a,b）o分布函数为

0,xva,

x-a

iJaWx£b

I1，x>b。

当aWxKxWb时，X落在区间（习，勺）内概率为P（x1

指数分布

心x>0

9

0,XV0,

其中久>0,则称随机变量X服从参数为久指数分布。

X分布函数为

x>0

xvO“

记住积分公式:

+00

jxne^xdx=n\o

正态分布

设随机变量X密度函数为

1

=2卅，一QOVXV+OO,

兀b

•其中b〉°为常数，则称随机变量X服从参数为"、o-正态分布或高斯（Gauss）分布，记为X

/（X）具备如下性质：

1°/（X）