陕西省安康市学年高三上学期阶段性考试文科数学试题.docx
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陕西省安康市学年高三上学期阶段性考试文科数学试题
陕西省安康市2020-2021学年高三上学期12月阶段性考试文科数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.若复数,则()
A.B.C.1D.2
2.设集合,,则()
A.B.
C.D.
3.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中,任取2种进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为()
A.B.C.D.
4.若α是第二象限角,且,则()
A.B.C.D.
5.已知,,,则()
A.B.C.D.
6.已知x,y满足不等式组,则的最大值为()
A.2B.C.1D.
7.函数的部分图象大致为()
A.B.
C.D.
8.执行如图所示的程序框图,输出的值为()
A.32B.33C.31D.34
9.若曲线在点处的切线过点,则函数的单调递增区间为()
A.B.C.D.
10.已知数列,满足,,,则数列的前10项的和为()
A.B.C.D.
11.向量,且,则与所成角的余弦值是()
A.B.C.D.0
12.已知函数,,若方程有四个不等的实数根,则实数的取值范围是()
A.B.
C.D.
二、填空题
13.已知满足约束条件,若可行域为三角形,则的取值范围为____.
14.某校高三年级有400名学生,在一次数学测试中,成绩都在(单位:
分)内,其频率分布直方图如图,则这次测试数学成绩不低于100分的人数为_____.
15.在中,内角所对的边分别为,若,,,则__________.
16.已知函数,则的最大值为______.
三、解答题
17.已知等差数列的前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
18.已知,.
(1)若,求的值;
(2)若,将函数的图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象,求函数的表达式及的最小正周期.
19.在平面直角坐标系中,设的内角所对的边分别为,且,.
(1)求;
(2)设,,且,与的夹角为,求的值.
20.某单位40岁以上的女性职工共有60人,为了调查一下体重和年龄的关系,将这60人随机按1~60编号,用系统抽样的方法从中抽取10人,测量一下体重.
(1)若被抽出的号码其中一个为7,则最后被抽出的号码是多少?
(2)被抽取的10个人的体重(单位:
),用茎叶图表示如图,求这10人体重的中位数与平均数;
(3)从这10个人中体重超过的人中随机抽取2人,参加健康指导培训,求体重为的人被抽到的概率.
21.已知函数.
(1)求函数的图象在点处的切线方程;
(2)若在上有解,求的取值范围;
(3)设是函数的导函数,是函数的导函数,若函数的零点为,则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值.
22.已知函数.
(1)解关于的不等式;
(2)若关于的不等式有解,求的取值范围.
23.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设曲线与曲线交于点,,求的长.
参考答案
1.C
【解析】
【分析】
根据复数模长的性质直接求解即可.
【详解】
因为,故.
故选:
C
【点睛】
本题主要考查了复数模长的性质,属于基础题型.
2.D
【解析】
【分析】
用列举法写出B集合,再求交集。
【详解】
,
故选D
【点睛】
集合的运算--交集:
取两个集合共同的元素。
3.B
【分析】
先求出基本事件总数,再求《红楼梦》被选中包括的基本事件个数,由此可计算出任取2种进行阅读,取到《红楼梦》的概率。
【详解】
4本名著选两本共有种,选取的两本中含有《红楼梦》的共有种,
所以任取2种进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为。
故选B.
【点睛】
本题考查古典概型,属于基础题。
4.D
【分析】
根据角的范围可确定,利用同角三角函数的平方关系和商数关系可求得结果.
【详解】
是第二象限角
本题正确选项:
【点睛】
本题考查同角三角函数值的求解问题,属于基础题.
5.A
【分析】
根据对数函数和指数函数单调性,利用临界值和可得到所处的大致范围,从而得到结果.
【详解】
本题正确选项:
【点睛】
本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题,关键是能够确定临界值,利用临界值确定所求式子所处的大致区间.
6.D
【分析】
作出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义即可求解.
【详解】
由题意,作出约束条件的可行域,如下图:
由可得,
由图可知,当直线过可行域内的时,
直线在轴上的截距最大,即,
的最大值为.
故选:
D
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题,解题的关键是作出约束条件的可行域、理解目标函数表示的几何意义,属于基础题.
7.B
【分析】
图像分析采用排除法,利用奇偶性判断函数为奇函数,再利用特值确定函数的正负情况。
【详解】
,故奇函数,四个图像均符合。
当时,,,排除C、D
当时,,,排除A。
故选B。
【点睛】
图像分析采用排除法,一般可供判断的主要有:
奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。
8.B
【分析】
将利用累加改写赋值表达式,再分析当的情况即可.
【详解】
由图即.
故当有.
当时,,下一步得.此时满足
下一步,下一步得.不满足退出.此时.
故选:
B
【点睛】
本题主要考查了框图与对数运算的综合问题,可将类的累加求和改写成和的结果的形式分析即可.属于中等题型.
9.A
【分析】
利用导数的几何意义求解,取切线斜率列方程,求解参数,再求解单调区间。
【详解】
,
求导
解得
,则当时,。
则的单调递增区间是。
故选A
【点睛】
导数几何意义:
函数在某点处的导数等于切线的斜率。
已知两点坐标也可求斜率。
本题还考察了导数在研究函数性质中的应用。
10.C
【分析】
根据等差数列、等比数列定义以及通项公式确定数列,通项公式,再根据分组求和法以及等比数列求和公式求结果.
【详解】
为以1为首项,2为公差的等差数列,所以
为以1为首项,2为公比的等比数列,所以
因此
所以其前10项的和为
故选:
C
【点睛】
本题考查等差数列、等比数列定义以及通项公式,考查分组求和以及等比数列求和,考查基本分析求解能力,属中档题.
11.B
【分析】
将两边平方,再利用得出即可得模长与夹角的关系,再求与所成角的余弦值即可.
【详解】
两边平方有
.又有
设夹角为则,故.
因为,故且夹角.
不妨设.故
设与所成角为则
故选:
B
【点睛】
本题主要考查了向量的基本运算,若已知模长关系与角度关系,可以直接利用向量的坐标表示进行计算从而简化运算量.属于中等题型.
12.D
【分析】
由方程有四个不等的实数根,分,和三种情况分类讨论,结合二次函数的图象与性质,即可求解,得到答案.
【详解】
由题意,当时,由,解得或,
又由,可得或,
此时方程有两解,
方程要有两解时,,解得,
当时,由,即,可得只有一解,
当时,由得或,
又由化为或,方程有两解,
只要两解,即方程有两解,则,解得.
综上,.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用,其中解答中正确理解题意,合理利用二次函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与计算能力,属于中档试题.
13.
【分析】
先作图,再根据图象确定的取值范围.
【详解】
作图如下,则
故答案为:
【点睛】
本题考查利用可行域求参数取值范围,考查基本分析求解能力,属中档题.
14.220
【分析】
根据先由总频率为1计算出a的值,再频率分布直方图计算出数学成绩不低于100分的频率,再乘总人数即可.
【详解】
根据频率分布直方图知:
;
计算出数学成绩不低于100分的频率为:
;
所以这次测试数学成绩不低于100分的人数为人
【点睛】
本题考查频率分布直方图,需要注意的是频率分布直方图的纵坐标为频率组距.属于基础题
15.
【分析】
由题已知角度的关系可求得,再根据正弦定理求即可.
【详解】
由且可求得,
.
故.
又由正弦定理.
故答案为:
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的运用以及和差角公式等.需要根据题中所给的信息决定所用的定理并计算,属于中等题型.
16.
【分析】
求得函数的导数,利用导数求得函数在一个周期内的单调性,进而求得函数的最值,得到答案.
【详解】
由题意,函数,则,
令,即,解得,
当时,的单调增区间为,单调减区间为,
又由,,
可得在一个周期内,函数最大值为,即函数的最大值为.
故答案为:
.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题,其中解答中熟记导数与原函数的单调性与极值(最值)之间的关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
17.
(1)
(2)
【分析】
(1)根据条件列首项与公差的方程组,解出结果代入等差数列通项公式即可,
(2)先判断成等比数列,再根据等比数列求和公式得通项公式,最后根据分组求和得结果.
【详解】
解:
(1)设的首项为,公差为,因为,
所以,,
即,
解得,
∴.
(2)因为是等差数列,所以,
即为以4为公比的等比数列.
所以
∴
【点睛】
本题考查等差数列定义与通项公式、等比数列定义与通项公式以及等比数列求和公式、分组求和等,考查基本分析求解能力,属中档题.
18.
(1)
(2),最小正周期为.
【分析】
(1)由向量平行求解,再求,利用齐次式求解。
(2)平面向量数量积运算求得解析式,经过图像平移,求解析式及周期。
【详解】
解:
(1)由,得,,∴,
∴.
(2),
,
∴,
最小正周期为.
【点睛】
(1)利用齐次式解决问题时候注意1的妙用。
(2)平面向量数量积运算,满足实数的乘法分配律,可直接进行化简。
19.
(1);
(2).
【分析】
(1)利用正弦定理得.再由平方与余弦定理求得进而求得即可.
(2)将
(1)所得的代入条件即可求得,.再利用平面向量的公式求解即可.
【详解】
(1)∵
∴
∴由正弦定理得
∵
∴
根据余弦定理得:
∴
(2)由
(1)知,代入已知,并结合正弦定理得
解得或(舍去)
所以,
∴
而
∴.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理角化边的用法以及余弦定理的用法等.同时也结合了向量的运用,属于中等题型.
20.
(1)
(2)中位数为,平均数为
(3)
【分析】
(1)根据系统抽样确定抽取的号码间隔,再确定结果,
(2)根据茎叶图确定中位数,根据平均数公式求平均数,
(3)先确定体重超过人数,再确定总事件数以及所求事件数,最后根据古典概型概率公式求结果.
【详解】
解:
(1)因为是系统抽样,60人中抽取10个人,所以把60个号码按顺序分成10组,每6个号码一组,每组抽取一个号码,每个被抽取的号码间隔为6,因为7号是第二组第一个号码,所以最后一个号码为第10组第一个号码,即最后一个号码为55.
(2)这10个人体重的中位数为71.5,
平均数为.
(3)10人中体重超过的有5人,从5个人中随机抽取2个人,共有10种不同的取法:
,,,,,,,,,.体重为的人被抽到的情况有,,,.
故所求概率为
【点睛】
本题考查系统抽样、古典概型概率以及茎叶图求中位,考查基本分析求解能力,属中档题.
2