概率论与数理统计知识点总结免费超详细版docWord格式.docx
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3.频率与概率
定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事
件A发生的频数，比值nA：
n称为事件A发生的频率
概率：
设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A）,称为事件的概率
1•概率P（A）满足下列条件：
（1）非负性：
对于每一个事件A0P（A）1
（2）规范性：
对于必然事件SP（S）1
（3）可列可加性：
设Ai,A2,,An是两两互不相容的事件，有P（Ak）P（Ak）（n可
k1k1
以取）
2.概率的一些重要性质：
（i）P（）0
（iii）设A，B是两个事件若AB，则P（BA）
（iv）对于任意事件A，P（A）1
（v）P（A）1P（A）（逆事件的概率）
（vi）对于任意事件A，B有P（AB）P（A）P（B）P（AB）
4等可能概型（古典概型）
等可能概型：
试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同
若事件a包含k个基本事件，即a{兔}{^2}{ek}，里
，ik是12n中某k个不同的数，则有
5.条件概率
（1）定义：
设A,B是两个事件，且P（A）0，称P（B|A）P（AB）为事件A发生的条
P（A）
件下事件B发生的条件概率
（2）条件概率符合概率定义中的三个条件
1。
非负性：
对于某一事件B，有P（B|A）0
2。
规范性：
对于必然事件S，P（S|A）1
3可列可加性：
设B1,B2,是两两互不相容的事件，则有
P（BiA）P（BiA）
i1i1
（3）乘法定理设P（A）0，则有P（AB）P（B）P（A|B）称为乘法公式
（4）全概率公式：
P（A）
6.独立性定义设A,B是两事件，如果满足等式P（AB）P（A）P（B），则称事件A,B相互独立
定理一
设A,B是两事件，且P（A）0,若A,B相互独立，则P（B|A）PB
定理二
若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：
A与B,A与B,A与B
第一章
随机变量及其分布
1随机变量
定义设随机试验的样本空间为S{e}.XX（e）是定义在样本空间S上的实值单值函数，称XX（e）为随机变量
2离散性随机变量及其分布律
1.离散随机变量：
有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量
P（XXk）Pk满足如下两个条件
（1）Pk0,
（2）Pk=1
k1
2.三种重要的离散型随机变量
（1）（0-1）分布
设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是P（Xk）pk（1-p）1-k,k0,1（0p1），则称X服从以P为参数的（0-1）分布或两点分布。
（2）伯努利实验、二项分布
设实验E只有两个可能结果：
A与A，则称E为伯努利实验•设P（A）p（0p1）,此时P（A）1-p.将e独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。
P（Xk）npkqn-k,k0,1,2,n满足条件
（1）Pk0,
（2）Pk=1注意
kk1
到npkqn-k是二项式（pq）n的展开式中出现pk的那一项，我们称随机变量X服从参数
k
为n，p的二项分布。
（3）泊松分布
设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为
ke-
P（Xk）——,k0,1,2,其中0是常数，则称X服从参数为的泊松分布记为
k!
X~（）
3随机变量的分布函数
定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F（x）P{Xx},-x
称为X的分布函数
分布函数F（x）P（Xx）,具有以下性质
（1）F（x）是一个不减函数
（2）
0F（x）1,且F（）0,F（）1（3）F（x0）F（x）,即F（x）是右连续的
4连续性随机变量及其概率密度
连续随机变量：
如果对于随机变量X的分布函数F（x）,存在非负可积函数f（x），使
x
对于任意函数x有F（x）f（t）dt,则称x为连续性随机变量，其中函数f（x）称为X
的概率密度函数，简称概率密度
1概率密度f（x）具有以下性质，满足
（1）f（x）
2,三种重要的连续型随机变量
（1）均匀分布
均匀分布•记为X~U（a，b）
（2）指数分布
服从参数为的指数分布。
（3）正态分布
（X）2
型随机变量X的概率密度为f（x）1一，
（）厅
（0）为常数，则称X服从参数为，的正态分布或高斯分布，记为
，2）
5随机变量的函数的分布
1二维随机变量
的随机变量，称XX（e）为随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y）叫做二维随机变量
设（X，Y）
是二
维随机变量，对于任意实数x，y，
二元函数
F（x，y）P{（Xx）
（Y
y）｝记成P｛Xx，丫y｝称为二维随机变量（
X，Y）的
分布函数
如果二维随机变量
（X，
Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，
则称（X，
Y）是离散型的随机变量。
我们称P（Xxi
，Y
yj）Pij，i，j1,2，为二维离散型随机变量（
分布律。
对于二维随机变量
（X,Y）的分布函数F（x，y），如果存在非负可积函数
f（x,y），
yx
使对于任意x,y有f（x，y）f（u，v）dudv,则称（X,Y）是连续性的随机变量，
函数f（x，y）称为随机变量（X，Y）的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密
度。
2边缘分布
二维随机变量（X，Y）作为一个整体，具有分布函数F（x，y）•而X和Y都是随机
变量，各自也有分布函数，将他们分别记为FX（x）,FY（y），依次称为二维随机变量（X，Y）
关于X和关于Y的边缘分布函数。
Pi?
PijP{XXi},i1,2,
j1
分别称pi?
P?
j为（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布律。
fY（y）为X,Y关于X和关于Y的边缘概率密度。
3条件分布
为在XXi条件下随机变量X的条件分布律。
fY（y）〉°
，则称f（x,y）为在Y=y的条件下X的条件fy（y）
概率密度，记为fX|y（xy）=f（x,y）
1J（y）
4相互独立的随机变量
定义设F（x，y）及FX（x），FY（y）分别是二维离散型随机变量（X，Y）的分布函
数及边缘分布函数若对于所有x,y有P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy}，即
F{x,y}Fx（x）Fy（y），则称随机变量X和Y是相互独立的。
对于二维正态随机变量（X，Y），X和Y相互独立的充要条件是参数0
5两个随机变量的函数的分布
1，Z=X+Y的分布
设（X,Y）是二维连续型随机变量，它具有概率密度f（X,y）.则Z=X+Y仍为连续性
随机变量，其概率密度为fX丫⑵f（zy,y）dy或fXY（z）f（x,zx）dx
又若X和Y相互独立，设（X,Y）关于X,Y的边缘密度分别为fX（x）,fY（y）则
fxY（z）fx（zy）fY（y）dy和fx丫⑵fx（x）fy（zx）dx这两个公式称为
fx,fY的卷积公式
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布
Y
2，Z的分布、ZXY的分布
X
设（X,Y）是二维连续型随机变量，它具有概率密度f（x,y），则Z，ZXY
仍为连续性随机变量其概率密度分别为fYx（z）xf（x,xz）dx
fxY（z）]1f（x,-）dx又若x和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别
XX
为fx（x）,fY（y）则可化为fYx（z）fx（x）fY（xz）dx
3Mmax{X，Y}及Nmin{X,Y}的分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为
Mmax{X，Y}不大于z等价于X和Y都不大于z故有P{Mz}P{X乙丫z}又
由于X和Y相互独立，得到Mmax{X，Y}的分布函数为Fmax（z）Fx（z）Fy（z）
Nmin{X,Y}的分布函数为Fmin（z）11Fx（z）1Fy（z）
第四章随机变量的数字特征
1•数学期望
Pk,k=1,2，…若级数XkPk绝对k1
收敛，则称级数XkPk的和为随机变量X的数学期望，记为E（X）,即E（X）xkPk
k1i
设连续型随机变量X的概率密度为f（X），若积分xf（x）dx绝对收敛，则称积分
xf（x）dx的值为随机变量X的数学期望，记为E（X），即E（X）xf（x）dx
定理设Y是随机变量X的函数Y=g（X）（g是连续函数）
（i）如果X是离散型随机变量，它的分布律为P{Xxk}pk,k=1,2，…若g（xk）pk
绝对收敛则有E（Y）E（g（X））g（xk）pk
（ii）如果X是连续型随机变量，它的分概率密度为f（x），若g（x）f（x）dx绝对收敛则
有E（Y）E（g（X））g（x）f（x）dx
数学期望的几个重要性质
1设C是常数，则有E（C）C
2设X是随机变量，C是常数，则有E（CX）CE（X）
3设X,Y是两个随机变量，则有E（XY）E（X）E（Y）;
4设X,Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）E（X）E（Y）
2方差
22
定义设X是一个随机变量，若E{XE（X）}存在，则称E{XE（X）}为X的方
2匚
差，记为D（x）即D（x）=E{XE（X）}，在应用上还引入量,D（x），记为（X）,称为标准差或均方差。
222
D（X）E（XE（X））2E（X2）（EX）2
方差的几个重要性质
1设C是常数，则有D（C）0,
2
2设X是随机变量，C是常数，则有D（CX）CD（X）,D（XC）D（X）
3设X,Y是两个随机变量，则有D（XY）D（X）D（Y）2E{（X-E（X））（Y-E（Y））}特
别，若X,Y相互独立，则有D（XY）D（X）D（Y）
4D（X）0的充要条件是X以概率1取常数E（X），即P{XE（X）}1
切比雪夫不等式：
设随机变量X具有数学期望E（X）2，则对于任意正数，不等式
P{X-}—成立
3协方差及相关系数
定义量E{[XE（X）][YE（Y）]}称为随机变量X与Y的协方差为Cov（X,Y），即
Cov（X,Y）E[（XE（X））（YE（Y））]E（XY）E（X）E（Y）
工Cov（X，Y）
而xy称为随机变量X和Y的相关系数
*」D（x）佢YT
对于任意两个随机变量X和Y,D（XY）D（X）D（Y）2Cov（X,Y）
协方差具有下述性质
lCov（X,Y）Cov（Y,X）,Cov（aX,bY）abCov（X,Y）
2Cov（X!
X2,Y）Cov（X!
Y）Cov（X2,Y）
定理1XY1
2XY1的充要条件是，存在常数a,b使P{Yabx}1
当xy0时，称X和Y不相关
附：
几种常用的概率分布表
分布
参数
分布律或概率密度
数学
期望
方差
两点分布
0p1
P{Xk）pk（1p）i,k0,1，
p
p（1p）
二项式分布
n1
P（Xk）Cnpk（1p）nk,k0,1,n，
np
np（1p）
泊松分布
ke
P（Xk）,k0,1,2,
几何分布
P（Xk）（1p）p,k1,2,
丄
1p
2p
均匀分布
ab
1.一、,axb
f（x）ba，
0，其他
（ba）2
12
指数分布
1X.c
f（x）_e,x0
0,其他
正态分布
1
f（x）—e2J2
第五章大数定律与中心极限定理
1.大数疋律
弱大数定理（辛欣大数定理）
设X1,X2…是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并
具有数学期望E（Xk）（k
1n
1,2,）•作前n个变量的算术平均一Xk，则对于任意
nk1
2中心极限定理
定理一（独立同分布的中心极限定理）
设随机变量
Xi,X2,,Xn相互独立，服从同一
分布，且具有数学期望和方差
E（XJ
D（Xk）
（k=1,2，…），则随机变量之和
n
E（Xk）k1
D（Xk）
Xkn
i1
n，
定理二（李雅普诺夫定理）
设随机变量Xi,X2,
Xn
…相互独立，它们具有数学期望
和方差E（Xk）
k，D（Xk）
k0,k1,2记Bn
定理三（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量n（n1,2,）服从参数为n,p（Op1）的
nnp
二项分布，则对任意x，有limP{
nv'
np（i__p）
X}
1et22dt
（x）
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