全国中考数学资料包文档格式.docx

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∵EG=EF，

∴∠G=∠EFD，

∴∠EFD=∠BAD，

∴EF∥AB．

中点问题

将三角形的中线延长一倍构造全等三角形或平行四边形，即倍长中线法．或将三角形的中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形．

有以线段中点为端点的线段时，常倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形．

有三角形中线时，可过中点所在的边的两端向中线作垂线，构造全等三角形．

如图，在△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB至D，使BD=AB．

CD=2CE．C

AD

取AC的中点F，连接BF，

∵AB=AC，点E，F分别是AB，AC的中点，

∴AE=AF，

在△ABF和△ACE中

⎧AF=AE

⎨

⎪∠A=∠A，

⎪AB=AC

∴△ABF≌△ACE（SAS），

∴BF=CE，

∵BD=AB，AF=CF，

∴DC=2BF，

∴DC=2CE

截长补短

【知识点夯实】截长补短法

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系．截长补短法有多种方法．

截长法：

（1）过某一点作长边的垂线；

（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等．

补短法：

（1）延长短边；

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起．

正△ABC中，E在AB上，F在AC上∠EDF=60︒．DB=DC，∠BDC=120︒．请

问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？

A

B

延长AC到M,使CM＝BE

连结DMD

∵ΔABC是等边三角形

∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°

又DC＝DB∠BDC＝120°

∴∠DBC＝∠DCB＝30°

∴∠ABD＝∠ACD＝90°

在ΔDBE和ΔDCM中

∴ΔDBE≌ΔDCM（SAS）

∴∠CDM＝∠BDE,DM＝DE

∵∠BDC＝120°

∠EDF＝60°

∴∠BDE＋∠CDF＝60°

∴∠CDM＋∠CDF＝60°

∴∠FDM＝∠FDE＝60°

在ΔFDM和ΔFDE中,有：

DF＝DF,∠FDM＝∠FDE,DM=DE

∴ΔFDM≌ΔFDE（SAS）

∴EF＝FM＝CM＋CF

∴EF＝BE＋CF

角平分线+互补

∠A+∠C=180︒，BD是∠ABC的平分线，则AD=CD．

A

BC

【典型好题】

已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA

绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180︒．

（1）利用图1，求证：

PA=PB；

（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB=3S△PCB时，求PB与PC的比值；

（3）若∠MON=60︒，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD=∠ABO，

请借助图3补全图形，并求OP的长．

（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F

∵四边形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°

，

∴∠EPF+∠MON=180°

，已知∠APB+∠MON=180°

∴∠EPF=∠APB，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB，

∴∠EPA=∠FPB，

由角平分线的性质，得PE=PF，

∴△EPA≌△FPB，即PA=PB；

（2）∵S△POB=3S△PCB，

∴PO=3PC，

由

（1）可知△PAB为等腰三角形，则∠PBC=1（180︒-∠APB）=1∠MON=∠BOP，

22

又∵∠BPC=∠OPB（公共角），

∴△PBC∽△POB，

∴PB=PC，即PB2=PO⋅PC=3PC2，∴PB=

POPBPC

（3）作BH⊥OT，垂足为H，

当∠MON=60°

时，∠APB=120°

由PA=PB，得∠PBA=∠PAB=1（180︒-∠APB）=30︒，

2

又∵∠PBD=∠ABO，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°

∴∠ABO=1（180︒-30︒）=75︒，则∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°

在△OBP中，∵∠BOP=30°

，∴∠BPO=45°

在Rt△OBH中，BH=1OB=1,OH=3,

在Rt△PBH中，PH=BH=1，

∴OP=OH+PH=3+1．

半角

过等腰△ABC（AB=AC）顶角顶点（设顶角为A），引两条射线且它们的夹角为2；

这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点M、N，则BM，MN，NC之间必存在固定关系．这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关．

解决方法：

以点A为中心，把△ACN（顺时针或逆时针）旋转角A度，至△ABN'

，连接MN'

；

结论：

1．△AMN全等于△AMN'

，MN=MN'

2．关注BM，MN'

，N'

B（=NC），若共线，则存在x+y=z型的关系；

若不共线，则△BMN'

中，∠MBN'

必与∠A相关，于是由勾股定理（有时需要作垂线）或用三角函数可得三者关系．

N'

BMNC

（2014•浙江绍兴,第23题6分）

（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，

CD上，∠EAF=45︒，延长CD到点G，使DGBE=，连结EF，AG．求证：

EF=FG．

（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90︒，AB=AC，点M，N在边BC

上，且∠MAN=45︒，若BM=1，CN=3，求MN的长．

（1）证明：

在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB，

⎧AD=AB

在△ABE和△ADG中，⎪∠ABE=∠ADG

⎪DG=BE

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，

⎧AE=AG

∴∠EAG=90°

，在△FAE和△GAF中，⎪∠EAF=∠FAG=45︒，

⎪AF=AF

∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF=FG；

（2）如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．

∵AB=AC，∠BAC=90°

，∴∠B=∠ACB=45°

．

∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°

⎧AB=AC

在△ABM和△ACE中，⎪∠B=∠ACE，

⎪BM=CE

∴△ABM≌△ACE（SAS）．

∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．

∵∠BAC=90°

，∠MAN=45°

，∴∠BAM+∠CAN=45°

于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°

⎧AM=AE

在△MAN和△EAN中，⎪∠MAN=∠EAN，

⎪AN=AN

∴△MAN≌△EAN（SAS）．

∴MN=EN．

在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．

∴MN2=BM2+NC2．

∵BM=1，CN=3，

∴MN2=12+32，

∴MN=

共线三等角

三个角相等，角的顶点在同一条直线上，这种模型简称共线三等角！

D

C

AOB

已知：

∠A=∠COD=∠B，基本结论：

△ACO∽△BOD

当点O为线段AB的中点时，△ACO∽△OCD∽△BOD，注意对应！

在Rt△ABC中，∠BAC=90︒，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作

∠ADE=45︒（A．D．E按逆时针方向），如图，点D在线段BC上运动，DE交AC

于E．

（1）求证：

△ABD∽△DCE；

（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

E

45︒

DC

，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°

∴∠BAD+∠ADB=135°

，∵∠ADE=45°

∴∠ADB+∠EDC=135°

，∴∠BAD=∠EDC，

∴△ABD∽△DCE；

（2）分三种情况：

①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°

时，

∴∠DAE=90°

，点D、E分别与B、C重合，∴AE=AC=2；

②当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE，

∵AD=DE，△ABD≌△DCE，

∴AB=CD=2，∴BD=CE=22-2，∴AE=AC-CE=4-22；

③当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°

=∠C，

∴∠ADC=∠AED=90°

∴AE=DE=1AC=1

母子型和射影定理

直角三角形的射影定理，主要记住以下的一些结论！

（可借助相似三角形来证明）

ADC

BD

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90︒，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

（1）DB2=DA⋅DC

（2）AB2=AD⋅AC

（3）CB2=CD⋅CA

利用等面积，还可以得到一个重要的等式：

AB⋅BC=AC⋅BD

射影定理的推广！

如图，∠A=∠DBC

重要结论：

DB2=DC⋅DA

如图，在∆ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，

FD2=FB⋅FC．

BDCF

连接AF，∵EF垂直平分AD，

∴FA=FD．∠FAD=∠FDA，

∴∠BAD=∠CAD．

在△FAC和△FBA中，

∠AFC=∠BFA，

∠ACF=∠B+2∠BAD=∠FDA+∠BAD=∠FAD+∠BAD=∠BAF．

∴△ACF∽△BAF，

CF=AFAFBF

∴AF2=BF•FC．又∵FA=FD

∴FD2=FB•FC．