高中数学黄金100题系列第63题空间平行关系的证明文.docx

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高中数学黄金100题系列第63题空间平行关系的证明文

第63题空间平行关系的证明

I．题源探究·黄金母题

【例1】如图，在空间四边形中，分别是的中点，求证：

（1）平面；

（2）平面；．

【解析】

（1）∵分别为的中点，

∴为的中位线，∴，

∵平面，平面，

∴平面．

（2）∵分别为的中点

∴为的中位线，∴．

∵平面，平面，

∴平面．

II．考场精彩·真题回放

【例2】【2017课标II文18】如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面,

（1）证明：

直线平面;

（2）若△面积为，求四棱锥的体积.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】分析：

（1）先由平几知识得BC∥AD，再利用线面平行判定定理证结论，

（2）取AD的中点M，利用面面垂直性质定理证明PM⊥底面ABCD，得四棱锥的高，再通过平几计算得底面直角梯形面积，最后代入椎体体积得体积.

解析：

（1）在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC∥AD.又，，故BC∥平面PAD.

（2）取AD的中点M，连结PM，CM，由及BC∥AD，∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.

因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为，所以PM⊥CM.，设BC=x，则CM=x，CD=，PM=，PC=PD=2x.取CD的中点N，连结PN，则PN⊥CD，所以因为△PCD的面积为，所以，解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=，所以四棱锥P-ABCD的体积.

【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

【例3】【2016年全国Ⅲ卷】如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．

（1）证明平面；

（2）求四面体的体积.

【解析】

（1）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，．又，故，四边形为平行四边形，于是．

因为平面，平面，所以平面．

（2）因为平面，为的中点，

所以到平面的距离为．

取的中点，连结.

由得，．

由得到的距离为，故，

所以四面体的体积．

【例4】【2016年江苏高考】如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点F在侧棱上，且，.

求证：

（1）直线平面；

（2）平面平面．

【解析】1）在直三棱柱中，．在三角形中，因为分别为的中点，所以，于是．

又因为平面平面，

所以直线平面．

（2）在直三棱柱中，．

因为平面，所以．

又因为，

，，

所以平面，

因为平面，所以．

又因为，

，，

所以．

因为直线，

所以．

精彩解读

【试题来源】人教版A版必修二第79页复习参考题B组第2题．

【母题评析】本题是以正方体为载体考查空间直线与平面的垂直关系，这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力．这在高考中常常出现在解答题的第1小题位置．

【思路方法】两平面平行（或垂直）问题常转化为直线与直线平行（或垂直），而直线与平面平行（或垂直）又可转化为直线与直线平行（或垂直），所以在解题时应注意“转化思想”的运用。

这种转化实质上就是：

将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”．

【命题意图】本类题主要考查空间空间直线、平面间的平行与垂直关系的证明和判断，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、转化能力．

【考试方向】这类试题在选择题中，主要考查空间直线、平面间的平行与垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的平行与垂直，主要出现在第1小题中．

【难点中心】求空间直线、平面间位置关系的证明的主要难点：

（1）对几何体结构认识不透，空间想象能力较差，难以下手；

（2）不能正确利用条件中中点、垂直关系实施有效的转化．

III．理论基础·解题原理

考点　直线、平面平行的判定及其性质

定理

定理内容

符号表示

分析解决问题的常用方法

直线与平面

平行的判定

平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行

在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。

即将“空间问题”转化为“平面问题”

平面与平面

平行的判定

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

判定的关键：

在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。

即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”

直线与平面

平行的性质

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

平面与平面

平行的性质

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

IV．题型攻略·深度挖掘

【考试方向】

在选择题中，主要考查空间直线、平面间的平行与垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的平行与垂直，主要出现在第1小题中．

【技能方法】

（1）证明线线平行转化为证明线面平行或面面平行；

（2）证明线面平行转化为证明线线平行（垂直）或面面平行；

（3）证明面面平行转化为证明线线平行（垂直）或线面平行．

【易错指导】

（1）忽视定理的关键条件，如忽视平面与平面平行的判定定理中，两条直线相交的条件；

（2）胡乱推广平面几何的结论而用于证明空间问题；

（3）受定势思维的影响，凭直觉思维主观臆断而误导结论．

V．举一反三·触类旁通

考向1　空间直线与平面平行的证明

【例1】【2017课标1文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是

A．B．

C．D．

【答案】A

【例2】【2017宁夏石嘴山三中上期月考】　如图，四棱锥中，底面，底面是正方形，分别是边上的中点，且=．

（1）求平面；

（2）求四棱锥的表面积．

【解析】

（1）△中，分别是边上的中点，，又

又面，面，平面

（2）连接．因为底面，底面是正方形，

从而△，△为全等的直角三角形，所以.

，所以，

从而△，△为全等的直角三角形.

所以，四棱锥的表面积

．

【解法指导】一般地，对于用判定定理证明，即证明平面内的某条直线与已知直线平行，可根据题设条件去寻找这条“目标直线”，从而达到线线与线面的转化．若借助面面平行的性质来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此“目标平面”的寻找多借助“中位线”来完成．

【跟踪练习】

1.【2017广东海珠区上期调研】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点分别为和的中点．

（1）求证：

直线平面；

（2）求三棱锥的体积.

∵平面，平面，∴直线平面.

（2）连接，在中，，，，

∴，

∴，∴，∴.

平面，平面，∴，

，平面，平面，∴平面.

，

∴三棱锥的体积．

考向2　空间平面与平面平行的证明

【例1】（2017山西省临汾一中高三3月月考）如图，四棱锥中，底面是正方形，是四棱锥的高，，点分别是的中点．

（1）求证：

平面；

（2）求四面体的体积．

（2）因为是四棱锥的高，

由知是三棱锥的高，且，

所以

【点睛】面面平行问题其实质是将其转化为线面平行或线线平行问题，而线面问题可转化为线线平行的问题或面面平行问题，线线平行问题又可转化为线面平行或面面平行问题．因此，线线平行、线面平行、面面平行三者之间关系非常紧密，它们可相互进行转化证明．

【跟踪练习】

1.【2016郑州一中考前冲刺三】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，与交于点，点分别在线段上，.

（1）求证：

平面平面；

（2）若平面平面，，且，求几何体的体积.

（2）在中，，

∴，即．

又平面平面，∴平面．

又由

（1）知，∴平面，且．

在梯形中，，，∴，

∴的面积，∴几何体的体积．

考向3　空间垂直与平行综合

【例1】【2017山东，文18】由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,

（Ⅰ）证明：

∥平面B1CD1;

（Ⅱ）设M是OD的中点,证明：

平面A1EM平面B1CD1.

【答案】①证明见解析.②证明见解析.

（II）因为,，分别为和的中点,所以,

因为为正方形,所以,

又平面,平面

所以因为

所以又平面，.

所以平面又平面,所以平面平面.

【例2】【2017太原市高三二模】　如图，在多面体中，四边形是正方形，是正三角形，，，.

（1）求证：

平面；

（2）求多面体的体积.

（2）在正方形中，，又是等边三角形，所以,

所以，，

于是，，又，∴平面，∴，

又，，∴平面，

于是多面体是由直三棱柱和四棱锥组成.

又直三棱柱的体积为，

四棱锥的体积为，

故多面体的体积为.

【点睛】圆柱与圆锥的组合主要有两种方式：

（1）圆柱内有一棱锥，圆柱与圆锥底面重合、圆锥顶点为圆柱底面中点，解答时抓住它们有相同的高和底面即可建立相关关系；

（2）圆锥内接一个圆柱，圆柱一底面在圆锥底面上，另一底面在圆锥侧面上，解答时主要作轴截面，通常利用三角形相似等知识来解决．

【跟踪练习】

1.【2016湖南长郡中学一检】如图，在直角三棱柱中，，点是的中点．

（1）求证：

；

（2）求异面直线与所成角的余弦值.

（2）连接，由题意知，点分别为和的中点，．

又平面平面

平面．

2.【2017北京文18】如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．

（Ⅰ）求证：

PA⊥BD；

（Ⅱ）求证：

平面BDE⊥平面PAC；

（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．

【答案】详见解析

解析：

证明：

（I）因为，，所以平面，

又因为平面，所以.

（II）因为，为中点，所以，

由（I）知，，所以平面，所以平面平面.

（III）因为平面，平面平面，

所以.因为为的中点，所以，.

由（I）知，平面，所以平面.

所以三棱锥的体积.

3.【2018衡水金卷】如图1，平行四边形中，，，现将△沿折起，得到三棱锥（如图2），且，点为侧棱的中点.

（Ⅰ）求证：

平面平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积；

（Ⅲ）在的角平分线上是否存在点，使得∥平面？

若存在，求的长；若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

解析：

（Ⅰ）证明：

在平行四边形中，有，

又因为为侧棱的中点，所以；

又因为，，且，所以平面.

又因为平面，所以；

因为，所以平面，

又因为平面，所以平面平面．

（Ⅱ）解：

因为，平面，所以是三棱锥的高，

故，又因为，,，

所以，

所以有.

（Ⅲ）解：

取中点，连接并延长至点，使，

连接，，.因为，所以射线是角的角分线.

又因为点是的中点，所以∥，

因为平面，平面，

所以∥平面.因为、互相平分，

故四边形为平行四边形，有∥.

又因为，所以有，

又因为，故.