高三物理建模典型习题Word格式.docx

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推论：

物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等．

如图乙．

典例1】如图所示，

位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°

，C是圆轨道的圆心．已知在同一时刻，a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；

c球由C点自由下落到M点．则（）．

A．a球最先到达M点

B．b球最先到达M点

C．c球最先到达M点

D．c、a、b三球依次先后到达M点

图AB是一个倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假设其光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？

解析借助“等时圆”理论，可以过P点作圆，要求该圆与输送带AB相切．如图所示，

C为切点，O为圆心，PO为竖直方向的半径．

显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆的圆周上所用时间相等．因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着

θPC弦建立管道．由几何关系可得：

PC与竖直方向间的夹角等于2.

2、.小船渡河模型

（1）模型概述在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一

个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变方向在180°

范围内（不变的速度所在

直线的一侧）变化．我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究．这样的运动系统可看作“小船渡河模型”．

（2）模型特点

1船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．

2三种速度：

v1（船在静水中的速度）、v2（水的流速）、v（船的实际速度）．

3三种情景a．过河时间最短：

船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝vd（d为河宽）．b．过河路径最短（v2<

v1时）：

合速度垂直于河岸，航程最短，x短＝d.

c.过河路径最短（v2>

v1时）：

合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：

如图414所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．

由图可知：

sinθ＝v，最短航程：

x短＝d＝vd.

v2sinθv1

一条小船位于200m宽的河正中A点处，从这里向下游1003m处有一危险区，当时水流速度为4m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是（）．

解析

如图选取临界情况进行研究，假设小船刚好避开危险区沿直线到达对岸B点处，根据

3.双星模型

1.模型概述：

在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．

2．模型特点：

（1）两颗行星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供，故

F1＝F2，且方向相反，分别作用在m1、m2两颗行星上．

（2）由于两颗行星之间的距离总是恒定不变的，所以两颗行星的运行周期及角速度相等．

（3）由于圆心在两颗行星的连线上，所以r1＋r2＝L.

【典例1】宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起．

（1）试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．

（2）设两者的质量分别为m1和m2，两者相距L，试写出它们角速度的表达式．

解析

（1）证明两天体绕同一点做匀速圆周运动的角速度ω一定要相同，它们做匀速

圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，所以两天体与它们的圆心总是在一条直

线上．

设两者的圆心为O点，轨道半径分别为R1和R2，如图所示．对两天体，由万有引力定

律可分别列出GmL1m22＝m1ω2R1①

GmL1m22＝m2ω2R2②

R1m2v1R1ωR1m2

所以RR2＝mm1，所以vv21＝R2ω＝RR2＝mm1，

即它们的轨道半径、线速度之比都等于质量的反比．

6400B．1∶80C．80∶1D．6400∶1

【典例2】

（2010·

重庆理综，16）月球与地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为（）．

A．1

2

＝mωr2，

4.机车的启动模型

（1）模型概述

物体在牵引力（受功率和速度制约）作用下，从静止开始克服一定的阻力，最后达到最大速度的整个加速过程，可看作“机车的启动”模型．

（2）模型特点“机车启动”模型可分为两种情况．①恒定功率启动．机车先做加速度逐渐减小的加速运动，最后匀速，其v--t图线如

所示．

②恒定加速度启动．机车先做匀加速运动，再做加速度逐渐减小的变加速运动，最后匀速，其v--t图线如图所示．

【典例】（2009·

四川理综）如图所示为修建高层建筑常用的塔式起重机．在起重机将质量m＝5×

103kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02m/s的匀速运动．取g＝10m/s2，不计额外功．求：

F，

P，

（1）起重机允许输出的最大功率；

（2）重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功率．

解析

（1）设起重机允许输出的最大功率为P0，重物达到最大速度时，拉力F0的大小等于重力．P0＝F0vm①

F0＝mg②

代入数据，有：

P0＝5.1×

104W③

（2）匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为

速度为v1，匀加速运动经历时间为t1，有：

P0＝Fv1④

F－mg＝ma⑤

v1＝at1⑥

由③④⑤⑥，代入数据，得：

t1＝5s⑦

当时间为t＝2s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度的大小为v2，输出功率为则v2＝at⑧

P＝Fv2⑨

由⑤⑧⑨，代入数据，得：

P＝2.04×

104W.

5.传送带模型

一个物体以速度v0（v0≥0）在另一个匀速运动的物体上开始运动的力学系统可看做“传

送带”模型，如图（a）、（b）、（c）所示．

物体在传送带上运动时，往往会牵涉到摩擦力的突变和相对运动问题．当物体与传送带相对静止时，物体与传送带间可能存在静摩擦力也可能不存在摩擦力．当物体与传送带相对滑动时，物体与传送带间有滑动摩擦力，这时物体与传送带间会有相对滑动的位移．．

【典例1】水平传送带AB以v＝200cm/s的速度匀速运动，如图339所示，A、B相距0.011km，一物体（可视为质点）从A点由静止释放，物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，则物体从A沿传送带运动到B所需的时间为多少？

（g＝10m/s2）

统一单位：

v＝200cm/s＝2m/s，x＝0.011km＝11m．开始时，物体受的摩擦力为Ff

＝μmg，由牛顿第二定律得物体的加速度

设经时间t物体速度达到2m/s，由v＝at得：

v2t1＝＝s＝1s.

a2

11

此时间内的位移为：

x1＝2at12＝2×

2×

12m＝1m<

11m.

此后物体做匀速运动，所用时间：

x－x111－1

t2＝

s＝5s.

故所求时间t＝t1＋t2＝1s＋5s＝6s.

典例2】传送带与水平面夹角为37

皮带以12m/s的速率沿顺时针方向转动，如图所示．今在传送带上端A处无初速度地放上一个质量为m的小物块，它与传送带间的动摩擦因数为0.75，若传送带A到B的长度为24m，g取10m/s2，则小物块从A运动到B的时间为多少？

解析小物块无初速度放在传送带上时，所受摩擦力为滑动摩擦力，方向沿斜面向下，对小物块用牛顿第二定律得

mgsinθ＋μmgcosθ＝ma解得a＝12m/s2

设小物块加速到12m/s运动的距离为x1，所用时间为t1

由v2－0＝2ax1得x1＝6m

由v＝at1得t1＝1s

当小物块的速度加速到12m/s时，因mgsinθ＝μmcgosθ，小物块受到的摩擦力由原

来的滑动摩擦力突变为静摩擦力，而且此时刚好为最大静摩擦力，小物块此后随皮带一起做匀速运动．

设AB间的距离为L，则L－x1＝vt2解得t2＝1.5s

从A到B的时间t＝t1＋t2解得t＝2.5s.

6.类平抛模型

（1）模型概述有些物体的运动与平抛运动很相似，也是在与初速度方向垂直的恒定外力作用下运动，我们把这种运动称为类平抛运动，这样的运动系统可看作“类平抛”模型．

（2）处理方法首先，利用类平抛运动的特点判断物体的运动是否为类平抛运动；

其次，在解决此类问题时，方法完全等同于平抛运动的处理方法，即将类平抛运动分解为两个互相垂直且相互独立的分运动，然后按运动的合成与分解的方法来求解．

7.竖直平面内圆周运动的绳、杆模型

（1）模型概述

在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类．一是无支撑（如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等），称为“绳（环）约束模型”，二是有支撑（如球与杆连接，在弯管内的运动等），称为“杆（管道）约束模型”．

（2）临界问题分析物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现就两种模型分析比较如下：

8.

轻杆模型

轻绳模型

（4）当v>

gr时，v2

FN＋mg＝mr，FN指向圆心并随v的增大而增大

9.机械能守恒定律应用中的几种模型

机械能守恒定律属于高考的高频考点，在实际问题中我们如果能正确建立几种典型的机械能守恒的模型．将有利于对此类问题的分析和解决．

（1）轻连绳模型

此类问题要认清物体的运动过程，注意物体运动到最高点或最低点时速度相同这一隐

含条件．

M和m，且M>

m，不计摩擦，系

【典例1】如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体统由静止开始运动过程中（）．

A．M、m各自的机械能分别守恒

B．M减少的机械能等于m增加的机械能

C．M减少的重力势能等于m增加的重力势能

D．M和m组成的系统机械能守恒解析M下落过程中，绳的拉力对M做负功，M的机械能减少；

m上升过程，绳的拉力对m做正功，m的机械能增加，A错误；

对M、m组成的系统，机械能守恒，易得

B、D正确；

M减少的重力势能并没有全部用于m重力势能的增加，还有一部分转变成M、m的动能，所以C错误．

（2）轻连杆模型这类问题应注意在运动过程中各个物体之间的角速度、线速度的关系等．

【典例2】质量分别为m和M（其中M＝2m）的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，在杆的中点O处有一个固定转轴，如图所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置的过程中，下列有关能量的说法正确的是（）．

A．Q球的重力势能减少、动能增加，Q球和地球组成的系统机械能守恒B．P球的重力势能、动能都增加，P球和地球组成的系统机械能不守恒C.P球、Q球和地球组成的系统机械能守恒

D．P球、Q球和地球组成的系统机械能不守恒解析Q球从水平位置下摆到最低点的过程中，受重力和杆的作用力，杆的作用力是Q

球运动的阻力（重力是动力），对Q球做负功；

P球是在杆的作用下上升的，杆的作用力是动力（重力是阻力），对P球做正功．所以，由功能关系可以判断，在Q球下摆过程中，

P球重力势能增加、动能增加、机械能增加，Q球重力势能减少、机械能减少；

由于P球和Q球整体只有重力做功，所以系统机械能守恒．本题的正确答案是B、C.

答案BC

（3）轻弹簧模型此类问题应注意物体与弹簧组成的系统机械能守恒，不同的过程中弹性势能的变化一般是相同的．

【典例3】如图所示为某同学设计的节能运输系统．斜面轨道的倾角为37°

，木箱与

轨道之间的动摩擦因数μ＝0.25.设计要求：

木箱在轨道顶端时，自动卸货装置将质量m＝2kg的货物装入木箱，木箱载着货物沿轨道无初速滑下，当轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，接着再重复上述过程．若g取10m/s2，sin37°

＝0.6，cos37°

＝0.8.求：

（1）离开弹簧后，木箱沿轨道上滑的过程中的加速度大小；

（2）满足设计要求的木箱质量．

解析

（1）设木箱质量为m′，对木箱的上滑过程，由牛顿第二定律有：

m′gsin37°

＋μm′gcos37°

＝m′a

代入数据解得：

a＝8m/s2.

（2）设木箱沿轨道下滑的最大距离为L，

弹簧被压缩至最短时的弹性势能为Ep，根据能量守恒定律：

货物和木箱下滑过程中有：

（m′＋m）gLsin37°

＝μ（m′＋m）gLcos37°

＋Ep

木箱上滑过程中有

Ep＝m′gLsin37°

＋μm′gLcos37°

联立代入数据解得：

m′＝m＝2kg.