小学六年级奥数专题训练Word文档格式.docx
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谁取到最后一枚棋子为胜。
如果甲先取,他一定能获胜吗?
例3:
在一张有40个小方格的棋盘上(如图1),甲持黑子置于A处,乙持白子置于B处,随后两人轮流走,每次可沿一条横线或一条纵线至少走一格,并要遵守如下规则:
(1)不可和对方的棋子处在同一条线上;
(2)走时不能越过对方所在棋子的线。
轮到谁无路可走就算失败。
怎样才能取胜?
例4:
甲乙两人轮流地往一张圆桌面上放一枚伍分硬币,规定任何硬币不能重叠。
谁放完一枚之后而使得对方无法再往桌子面上放硬币时,谁就是胜利者。
设想甲放第一枚硬币,问:
甲有没有一种稳操胜券的策略?
1、两人轮流从1开始,依次报数,每人每次只能报1个数或2个数,谁先报到30获胜。
2、有200枚棋子放在盒子里,甲、乙两人轮流各取1枚或2枚,取到最后1枚的为胜。
必胜的策略是什么?
3、黑板上有一排数:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
甲乙两人轮流划掉任意相邻的两个数。
如果甲划过之后乙再也划不成了,甲就算胜了。
甲有必胜的方法吗?
4、有1996个球,甲乙两人进行取球比赛,规则是两人轮流取,每人每次最少取1个,最多取4个,取到最后一个球的人为胜。
如果甲先取,如何取法才能保证取胜?
5、有三行棋子如图两人轮流取,每人每次必须在同一
行中至少取走1枚,谁最后取完为胜。
试问:
要想获
胜应先取还是后取?
6、一盘糖果,一共有1997粒,两人轮流从中取糖果,每次最多取7粒,可以少取,但不能不取,取得最后一粒糖果为胜,是先取者胜,还是后取者胜?
怎样取法才能保证获胜?
博弈问题2
09
【1】有1001根火柴放在盒子里,甲、乙两人轮流各取1根或2根,取到最后一根者为胜。
必胜的最佳对策是什么?
【2】在黑板上写下一列连续的自然数:
2、3、4、…、1999、2000,甲先擦去其中一个数,然后乙再擦去一个数。
如此轮流地擦下去。
若最后剩下两个质数时,甲取胜;
若最后剩下两个数不互质时,乙取胜。
这个游戏中谁取胜的可能性最大?
【3】两人轮流在圆桌面上摆硬币,每次摆一枚,各个不能互相重叠,也不能有一部分在桌面的边缘以外。
这样经过反复多次以后,谁先摆不下硬币就算输。
谁有必胜的策略?
取胜的策略是什么?
【4】请你参加一种游戏:
有1996个棋子,两人轮流取棋子,每次允许取其中2个、4个或8个,谁最后把棋子取完,就算获胜。
如果你先取,那么第一次你取多少个?
先取的人有一个必胜的方法,如果你已想出这个办法,请写出来。
【5】桌子上有a颗棋子,甲、乙两人轮流拿棋子,他们规定:
假如甲先拿,可以拿任意颗棋子,但不能拿光。
接着乙拿,乙拿的棋子数最多只能比甲拿的多一个。
接着甲拿,最多只能比乙刚才拿的数目多一个。
接着乙拿,最多只能比甲刚才拿的数目多一个。
如此下去,最后一步谁把棋子拿光就算胜者。
【6】两人按自然数轮流报数,每人每次只能报1或2个数,比如第1个人可以报1,第2个人可以报2或2、3;
第1个人也可以报1、2,第2个人可以报3或3、4,这样继续下去,谁报到30,谁就胜。
请问谁有必胜的策略?
【7】 甲、乙两人在计算机上玩如下游戏,两人轮流从数中减去该数的一个非零数字得一个数,然后再从新数中减去它的一个非零整数,重复以上过程直至一人无数可减时,则此人为负,试,最终是先开始游戏的人获胜还是后开始的人获胜?
有无必胜的对策?
【8】 n个“一”排成一行,甲、乙轮流改写“-”为“+”,每次只准改一个或相邻的两个,先得全部“+”者胜,若甲先改,请问甲是否有必胜的策略?
【9】 m、n是自然数,甲、乙二人轮番在m×
n的方棋盘的每个格内放棋子,甲先放第一个棋子,乙只能在与上述棋子相邻的某格内放棋子(相邻格指有一条公共边的两个格),甲再放时又必须在与乙所放的棋子相邻的某格内放棋子,以后轮番放棋子时也遵守这个规则,谁无法放棋子时谁失败,为避免失误,你愿意先放还是后放?
【10】 在n×
n的方格盘中,把其中n-1个方格染成黑色,其余中不染色,染完后,允许按下述操作把某些未染色的方格染上黑色,规则是:
只要是某个未染色的方格与两个黑色方格相邻(如果两个方格有一条公共边,就称这两个方格相邻),就把这个方格染黑,证明:
按照这种规则操作下去,不能把整个棋盘全染成黑色。
博弈问题3
06
例1100名同学按编号1~100号从右到左顺次排成一行,然后“1、2”报数,凡是报1的就出队,剩下的50人向右看齐再从头开始1、2报数,报1的再出队……这样继续下去,问报了几轮后只留下1人,他是几号?
规定从排头报到尾算一轮。
练习:
1.甲、乙两人轮流报数,必须报大于6的自然数,把两个人报出的数依次加起来,谁报数后加起来的数是2000,谁就获胜,如果甲要取胜,是先报还是后报?
报几?
以后怎样报?
2.将例1中的100人改成30人,最后站出来的人是第几号?
如果是1994人,最后站出来的人是第几号?
例2将例1中的“1、2”报数改为“1、2、3”报数,凡报1、2的出队,问站在哪号位置上最后一个出队?
1991名同学从左到右按编号从1到1991排成一排,然后从左到右1~3报数,凡报2的同学留下,其余的同学都离开;
留下的同学按原顺序向左看齐后再1~3报数,凡报2的同学留下,其余的同学都离开。
……直到留下的同学的人数比3少为止。
问最后留下的同学原是多少号?
例3将例1中凡报1的出队,改为报2的出队,直到留下两个人为止,问这两个人的号码是多少?
例4哥哥拿着一副扑克牌对妹妹说:
“我会变魔术,你想要哪张牌我就给你剩下哪张牌”。
妹妹说:
“我要大王”。
哥哥洗好牌后让妹妹从下往上取出所有第奇数张牌,取完后哥哥手里还剩下27张牌,规定从下取到上算一轮;
哥哥又让妹妹从下往上取出手里牌的第奇数张牌……,这样继续下去,经过几轮后哥哥手里只剩下一张牌,妹妹一看果然是大王,你能帮妹妹算一算一共进行了几轮吗?
开始时哥哥把大王放在了从上往下数的第几张?
3轮后还剩下几张牌?
例5植树节到了,老师要从二
(1)班的45名同学中抽取若干人去平谷山区植树。
老师让这45名同学从左到右排成一排1、2、3报数,凡是报1的同学向前走1步;
报3的同学向后退一步;
报2的同学原地不动。
这时全班45名同学由1行变成了3行,老师又要这3行同学从左到右1、2、3报数。
老师最后说:
“在两次报数中都报1,都报2或者都报3的同学去植树,其余的同学在校内劳动”。
你知道有多少人去植树了吗?
小聪非常想去植树,报数前他应该站在哪些位置上?
例61994名学生从左至右按编号从1到1994排成一排,先今奇数号位上的学生离队,余下的学生顺序不变,向左靠拢后,再令偶数号位的学生离队(重新编队后的),余下的学生的顺序不变,向左靠拢,……如此反复,则最后留下的一个学生原编号是几?
1994名学生从左至右按编号从1到1994排成一排,先今偶数号位上的学生离队,余下的学生顺序不变,向左靠拢后,再令奇数号位的学生离队(重新编队后的),余下的学生的顺序不变,向左靠拢,……如此反复,则最后留下的一个学生原编号是几?
博弈问题4
04
例1 有130名战士被敌人俘虏了,敌人都今他们围成一个圆圈,编上号码1、2、3、……130,敌人先把1号,3号,5号~129号杀了,敌人是杀一个隔一个转着圈杀,最后只剩下一个人,问这个人是多少号?
例2 有一副扑克牌共54张,小明拿着它从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作:
把最上面的第1张牌舍去,把下一张牌放在这摞牌的最下面。
再把原来的第3张牌舍去,把下一张牌放在这摞牌的最下面……反复这样地做,直到手中只剩下一张牌,那么剩下的这张牌是原来那一摞牌的第几张?
例3 80枚棋子围成一个圆圈,依次编上号码1、2、3、……80,顺时针方向每隔一枚拿掉一枚,直到剩下一枚棋子为止,如果剩下的这枚棋子的号码是30,那么第一个被取走的棋子是多少号?
例4 85名同学排成一圈,进行1、2、3报数,凡报1、2的出队,报3的留下,报数一圈一圈地循环进行,直到只剩下一个人为止,问这个人与第一个报1的同学之间有多少名同学
例5 30多个小朋友围成一圈练习数数,按顺时针方向一圈一圈循环报数,如果报1和报100的是同一个人,问共有多少个小朋友?
例6 100个小朋友围成一圈,从某个小朋友开始进行1~15报数,如果报数一圈一圈地循环进行下去,问:
⑴ 有没有人1~15这15个数都报过?
⑵ 第1个小朋友报过几个数?
⑶ 数字1至多有几个人报过?
⑷ 是否有小朋友同时报过6和15?
作业
1.18个小朋友围成一圈,进行1~42报数,如果报数一圈一圈地循环下去,问报1和报几的小朋友是同一个人?
至少写出3个数。
2.把1~1000这1000个数依次均匀排成一个首尾相接的大圆圈,从1开始,留1划掉2,再留3划掉4,接下去把余下的数每隔一个划掉一个,转圈划下去,直到最后剩下一个数为止。
问最后剩下的这个数是几?
3.285名同学围成一圈,顺次从1编到285号,从1号开始“1、2、3”报数,凡报1、2的离开,报3的不动,直到剩下一个人为止,问这名同学一开始站在多少号位置上?
4.78个小朋友围成一圈,从某个小朋友开始进行1~18报数,如果报数一圈一圈地循环进行下去,问至多有多少个小朋友报过数字1?
有没有人同时报过8和18?
为什么?
5.500块积木围成一个大圆圈,依次编上号码1,2,……500,从某块积木开始顺时针方向每隔一块拿掉一块,直到剩下一块积木为止,剩下的这块积木的号码是50号,那么第一个被取走的积木是多少号?
博弈问题5
03
有3堆火柴,根数分别为12、9、6.。
甲乙两人轮番从其中一堆中取出1根或几根火柴,取到最后一根者获胜。
先取者还是后取者有必胜策略,如何取胜?
(1)两人从1开始轮流报数,每人每次可报一个数或两个连续的数,谁先报到30,谁就为胜方。
(2)两人从1开始轮流报数,每人每次可报一个数或两个连续的数,同时把两个人报出的所有数累加,谁先使这个累加数最先达到30,谁就为胜方。
解决最个问题的一般策略是用倒推法。
以
(1)为例,要抢到30,必须抢到27;
要抢到27,必须抢到24。
如此倒推回去,可得到一系列关键数30、27、24、21、18、……9、6、3。
根据以上分析,抢30游戏本身并不是一个公平的游戏,初始数和先后顺序已经决定了最后的结果,因为只有后报数者才能抢到3的倍数,后报数者有必胜策略。
1、桌上有30根火柴,两人轮流从中拿取,规定每人每次可取1~3根,且取最后一根者为赢。
问:
先取者如何拿才能保证获胜?
2、甲、乙二人轮流报数,甲先乙后,每次每人报1~4个数,谁报到第888个数谁胜。
谁将获胜?
怎样获胜?
3、有两堆枚数相等的棋子,甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取,取的枚数不限,但不能不取,谁取到最后一枚棋子谁获胜。
如果甲后取,那么他一定能获胜吗?
4、有三行棋子,分别有1,2,4枚棋子,两人轮流取,每人每次只能在同一行中至少取走1枚棋子,谁取走最后一枚棋子谁胜。
要想获胜是先取还是后取?
5、黑板上写着一排相连的自然数1,2,3,…,51。
甲、乙两人轮流划掉连续的3个数。
规定在谁划过之后另一人再也划不成了,谁就算取胜。
甲有必胜的策略吗?
博弈问题6
00
1.对于324和612,把第一个数加上3,同时把第二个数减3,这算一次操作,操作_____次后两个数相等.
2.对自然数n,作如下操作:
各位数字相加,得另一自然数,若新的自然数为一位数,那么操作停止,若新的自然数不是一位数,那么对新的自然数继续上面的操作,当得到一个一位数为止,现对1,2,3…,1998如此操作,最后得到的一位数是7的数一共有_____个.
3.在1,2,3,4,5,…,59,60这60个数中,第一次从左向右划去奇数位上的数;
第二次在剩下的数中,再从左向右划去奇数位上的数;
如此继续下去,最后剩下一个数时,这个数是_____.
4.把写有1,2,3,…,25的25张卡片按顺序叠齐,写有1的卡片放在最上面,下面进行这样的操作:
把第一张卡片放到最下面,把第二张卡片扔掉;
再把第一张卡片放到最下面,把第二张卡片扔掉;
…按同样的方法,反复进行多次操作,当剩下最后一张卡片时,卡片上写的是_____.
5.一副扑克共54张,最上面的一张是红桃K.如果每次把最上面的4张牌,移到最下面而不改变它们的顺序及朝向,那么,至少经过_____次移动,红桃K才会出现在最上面.
6.写出一个自然数A,把A的十位数字与百位数字相加,再乘以个位数字,把所得之积的个位数字续写在A的末尾,称为一次操作.
如果开始时A=1999,对1999进行一次操作得到19992,再对19992进行一次操作得到199926,如此进行下去直到得出一个1999位数为止,这个1999位数的各位数字之和是_____.
7.黑板上写有1987个数:
1,2,3,…,1986,1987.任意擦去若干个数,并添上被擦去的这些数的和被7除的余数,称为一个操作.如果经过若干次这种操作,黑板上只剩下了两个数,一个是987,那么,另一个数是_____.
8.黑板上写着8,9,10,11,12,13,14七个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减1.例如,擦掉9和13,要写上21.经过几次后,黑板上就会只剩下一个数,这个数是_____.
9.口袋里装有99张小纸片,上面分别写着1~99.从袋中任意摸出若干张小纸片,然后算出这些纸片上各数的和,再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中.经过若干次这样的操作后,袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是_____.
10.用1~10十个数随意排成一排.如果相邻两个数中,前面的大于后面的,就将它们变换位置.如此操作直到前面的数都小于后面的数为止.已知10在这列数中的第6位,那么最少要实行_____次交换.最多要实行_____次交换.