八年级数学上册第十三章轴对称133等腰三角形1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质教案新版新人教版Word格式文档下载.docx
《八年级数学上册第十三章轴对称133等腰三角形1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质教案新版新人教版Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《八年级数学上册第十三章轴对称133等腰三角形1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质教案新版新人教版Word格式文档下载.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
作一条直线L,在L上取点A,在L外取点B,作出点B关于直线L的对称点C,连结AB、BC、CA,则可得到一个等腰三角形.
[生乙]在甲同学的做法中,A点可以取直线L上的任意一点.
[师]对,按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形.现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀,按自己设计的方法,也可以用课本P138探究中的方法,剪出一个等腰三角形.
……
[师]按照我们的做法,可以得到等腰三角形的定义:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.
[师]有了上述概念,同学们来想一想.
(演示课件)
1.等腰三角形是轴对称图形吗?
请找出它的对称轴.
2.等腰三角形的两底角有什么关系?
3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?
4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?
底边上的高所在的直线呢?
[生甲]等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两腰相等,所以把这两条腰重合对折三角形便知:
等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.
[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠,找出它的对称轴,并看它的两个底角有什么关系.
[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后,发现等腰三角形的两个底角相等.
[生丙]我把等腰三角形折叠,使两腰重合,这样顶角平分线两旁的部分就可以重合,所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线.
[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折,可以看到它两旁的部分互相重合,说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴.
[生戊]老师,我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴.
[师]你们说的是同一条直线吗?
大家来动手折叠、观察.
[生齐声]它们是同一条直线.
[师]很好.现在同学们来归纳等腰三角形的性质.
[生]我沿
等腰三角形的顶角的平分线对折,发现它两旁的部分互相重合,由此可知这个等腰三角形的两个底角相等,而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线,也是底边上的高.
[师]很好,大家看屏幕.
等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).
[师]由上面折叠的过程获得启发,我们可以通过作出等腰三角形的对称轴,得到两个全等的三角形,从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手来写出这些证明过程).
(投影仪演示学
生证明过程)
[生甲]如右图,在△ABC中,AB=AC,作底边BC的中线AD,因为
所以△BAD≌△CAD(SSS).
所以∠B=∠C.
[生乙]如右图,在△ABC中,AB=AC,作顶角∠BA
C的角平分线AD,因为
所以△BAD≌△CAD.
所以BD=CD,∠BDA=∠CDA=
∠BDC=90°
.
[师]很好,甲、乙两同学给出了等腰
三角形两个性质的证明,过程也写得很条理、很规范.下面我们来看大屏幕.
[例1]如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,
求:
△ABC各角的度数.
[师]同学们先思考一下,我们再来分析这个题.
[生]根据等边对等角的性质,我们可以得到
∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,
再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.
再由三角形内角和为180°
,就可求出△ABC的三个内角.
[师]这位同学分析得很好,对我们以前学过的定理也很熟悉.如果我们在解的过程中把∠A设为x的话,那么∠ABC、∠C都可以用x来表示,这样过程就更简捷.
(课件演示)
[例]因为AB=AC,BD=BC=AD,
所以∠ABC=∠C=∠BDC.
∠A=∠ABD(等边对等角).
设∠A=x,则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中,有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°
,
解得x=36°
在△ABC中,∠A=35°
,∠ABC=∠C=72°
[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识.
Ⅲ.随堂练习
(一)课本P51练习1、2、3.
练习
1.如下图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.
答案:
(1)72°
(2)30°
2.如右图,△ABC是等腰直角三角形(AB=AC,∠BAC=90°
),AD是底边BC上的高,标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数,图中有哪些相等线段?
∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°
;
AB=AC,BD=DC=AD.
3.如右图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°
,求∠B和∠C的度数.
答:
∠B=77°
,∠C=38.5°
(二)阅读课本P138~P140,然后小结.
Ⅳ.课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简
单的应用.等腰三角形是轴对称图形,它的两个底角相等(等边对等角),等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线,并且它的顶角平分线既是底边上的中线,又是底边上的高.
我们通过这节课的学习,首先就是要理解并掌握这些性质,并且能够灵活应用它们.
Ⅴ.课后作业
[来源:
Z,xx,k.Com]
(一)课本P56─1、3、4、8题.
(二)1.预习课本P51~P53.
2.预习提纲:
等腰三角形的判定.
Ⅵ.活动与探究
如右图,在△ABC中,过C作∠BAC的平分线AD的垂线,垂足为D,DE∥AB交AC于E.
求证:
AE=CE.
过程:
通过分析、讨论,让学生进一步了解全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质.
结果:
证明:
延长CD交AB的延长线于P,如右图,在△ADP和△A
DC中
∴△ADP≌△ADC.
∴∠P=∠ACD.
又∵DE∥AP,
∴∠4=∠P.
∴∠4=∠ACD.
∴DE=EC.
同理可证:
AE=DE.
∴AE=CE.
板书设计
§
12.3.1等腰三角形
(一)
一、设计方案作出一个等腰三角形
二、等腰三角形性质
1.等边对等角
2.三线合一
三、例题分析
四、随堂练习
五、课时小结
六、课后作业
备课资料
参考练习
一、选
择题
1.如果△ABC是轴对称图形,则它的对称轴一定是()
A.某一条边上的高;
B.某一条边上的中线
C.平分一角和
这个角对边的直线;
D.某一个角的平分线
2.等腰三角形的一个外角是100°
,它的顶角的度数是()
A.80°
B.20°
C.80°
和20°
D.80°
或50°
1.C2.C
二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm,并且它的周长为16cm.
求这个等腰三角形的边长.
解:
设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得
2(x+2)+x=16.
解得x=4.
所以,等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm.
§
12.3.1等腰三角形
(二)
探索等腰三角形的判定定理.
探索等腰三角形的判定定理,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念.
通过对等腰三角形的判定定理的探索,让学生体会探索学习的乐趣,并通过等腰三角形的判定定理的简单应用,加深对定理的理解.从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力.
等腰三角形的判定定理及其应用.
讲练结合法.[来源:
Z*xx*k.Com]
多媒体课件、投影仪.
[师]上节课我们学习了等腰三角形的性质,现在大家来回忆一下,等腰三角形有些什么性质呢?
[生甲]等腰三角形的两底角相等.
[生乙]等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
[师]同学们回答
得很好,我们已经知道了等腰三角形的性质,那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢?
这就是我们这节课要研究的问题.
[师]同学们看下面的问题并讨论:
思考:
如图,位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)?
在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系?
[生甲]应该能同时赶到出事地点.因为两艘救生船的速度相同,同时出发,在相同的时间内走过的路程应该相同,也就是OA=OB,所以两船能同时赶到出事地点.
[生乙]我认为能同时赶到O点的位置很重要,也就是∠A如果不等于∠B,那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点.
[师]现在我们把这个问题一般化,在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系?
Z_xx_k.Com]
[生丙]我想它们所对的边应该相等.
[师]为什么它们所对的边相等呢?
同学们思考一下,给出一个简单的证明.
[生丁]我是运用三角形全等来证明的.
(投影仪演示了同学证明过程)
[例1]已知:
在△ABC中,∠B=∠C(如图).
求证:
AB=AC.
作∠BAC的平分线AD.
在△BAD和△CAD中
∴△BAD≌△CAD(AAS).
∴AB=AC.
[师]太好了.从丁同学的证明结论来看,在一个三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边也是相等,也就说这个三角形就是等腰三角形.这个结论也回答了我们一开始提出的问题.也就是如何来判定一个三角形是等腰三角形.
等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
[师]下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用.
[例2]求证:
如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
[师]这个题是文字叙述的证明题,我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言,再根据题意画出相应的几何图形.
已知:
∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC(如图).
[师]同学们先思考,再分析.
[生]要证明AB=AC,可先证明∠B=∠C.
[师]这位同学首先想到我们这节课的重点内容,很好!
[生]接下来,可以找∠B、∠C与∠1
、∠2的关系.
[师]我们共同证明,注意每一步证明的理论根据.
(演示课件,括号内部分由学生来填)
∵AD∥BC,
∴∠1=∠B(两直线平行,同位角相等),
∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).
又∵∠1=∠2,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC(等角对等边).
[师]看大屏幕,同学们试着完成这个题.
如图,AD∥BC,BD平分∠ABC.
AB=AD.
(投影仪演示学生证明过程)
∴∠ADB=∠DBC(两直线平行,内错角相等).
又∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,[来源:
Z§
xx§
k.Com]
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD(等角对等边).
[师]下面来看另一个例题.
[例3]如图
(1),标杆AB的高为5米,为了将它固定,需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子,使得D、B、E在一条直线上,量得DE=4米,绳子CD和CE要多长?
[师]这是一个与实际生活相关的问题,解决这类型问题,需要将实际问题抽象为数学模型.本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高,求腰长的问题.
选取比例尺为1:
100(即为1cm代表1m).
(1)作线段DE=4cm;
(2)作线段DE的垂直平分线MN,与DE交于点B;
(3)在MN上截取BC=2.5cm;
(4)连接CD、CE,△CDE就是所求的等腰三角形,量出CD的长,就可以算出要求的绳长.
[师]同学们按以上步骤来做一做,看结果是多少.
(一)课本P531、2、3.
1.如图,∠A=36°
,∠DBC=36°
,∠C=72°
,分别计算∠1、∠2的度数,并说明图中有哪些等腰三角形.
∠1=72°
,∠2=36°
等腰三角形有:
△ABC、△ABD、△BCD.
2.如图,把一张矩形的纸沿对角线折叠.
重合部分是一个等腰三角形吗?
为什么?
是等腰三角形.因为,如图可证∠1=∠2.
3.如图,AC和BD相交于点O,且AB∥D
C,O
A=OB,求证:
OC=OD.
∵OA=OB,
∴∠A=∠B.
又∵AB∥D
C,
∴∠A=∠C,∠B=∠D.
∴∠C=∠D.
∴OC=OD(等角对等边).
(二)补充练习:
如图,在△ABD中,C是BD上的一点,且AC⊥BD,AC=BC=CD.
(1)求证:
△ABD是等腰三角形.
(2)求∠BAD的度数.
(1)证明:
∵AC⊥BD,
∴∠ACB=∠ACD=90°
又∵AC=AC,BC=CD,
∴△ACB≌△ACD(SAS).
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).
∴△ABD是等腰三角形.
(2)解:
由
(1)可知AB=AD,
∴∠B=∠D.
又∵AC=BC,
∴∠B=∠BAC,
AC=CD.
∴∠D=∠DAC(等边对等角).
在△A
BD中,∠B+∠D+∠BAC+∠DAC=180°
∴2(∠BAC+∠DAC)=180°
∴∠BAC+∠DAC=90°
即∠BAD=90°
(鼓励学生思考其他解法)
本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理,并对判定定理的简单应用作了一定的了解.在利用定理的过程中体会定理的重要性.在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力.
(一)课本P56─2、4、5、9、13题.
(二)预习P53~P54.
[探究1]等腰三角形两底角的平分线相等.
利用等腰三角形的性质即等
边对等角,全等三角形的判定及性质.
已知
:
如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE是△ABC的平分线.
BD=C
E.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∵∠1=
∠ABC,∠2=
∠ACB,
∴∠1=∠2.
在△BDC和△CEB中,
∵∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2,
∴△BDC≌△CEB(ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
[探究2]等腰三角形两腰上的高相等.
同探究1.
如图,在△ABC中,AB=AC,BE、CF分别是△ABC的高.
BE=CF.
又∵BE、CF分别是△ABC的高,
∴∠BFC=∠CEB=90°
在△BFC和△CEB中,
∵∠ABC=∠ACB,∠BFC=∠CEB,BC=CB,
∴△BFC≌△CEB(AAS).
∴BE=CF.
[探究3]等腰三角形两腰上的中线相等.
如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE分别是两腰上的中线.
BD=CE.
又∵CD=
AC,BE=
AB,
∴CD=BE.
在△BEC和△CDB中,
∵BE=CD,∠ABC=∠ACB,BC=CB,
∴△BEC≌△CDB(SAS).
∴BD=CE.
12.3.1等腰三角形
(一)
一、等腰三角形的判定定理──等角对等边
二、等腰三角形判定定理的应用
三、随堂作业
四、课时小结
五、课后作业
墙上钉了一根木条,小明想检验这根木条是否水平.他拿来一个如下图所示的测平仪,在这个测平仪中,AB=AC,BC边的中点D处挂了一个重锤.小明将BC边与木条重合,观察此时重锤是否通过A点.如果重锤过A点,那么这根木条就是水平的.你能说明其中的道理吗?
根据等腰三角形“三线合一”的性质,等腰三角形ABC
底边BC上的中线DA应垂直于底边BC(即木条),如果重锤过点A,说明直线AD垂直于水平线,那么木条就是水平的.根据是平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.