《高等数学》课程标准Word下载.docx

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理解高等数学的基本概念、基本理论、基本方法和它们之间的内在联系。

掌握高等数学知识的概念、定义、定理、法则和所列知识的综合运用。

学会对问题进行观察、分析、比较、综合、抽象与概括；

学会用演绎、归纳和类比进行推理；

学会根据法则、公式、概念进行数、式、方程的正确计算和变形；

能分析条件，寻求设计合理、简捷的运算途径，并能准确、清晰、有条理的解析表述。

培养学员的运算能力、综合分析能力以及抽象思维、逻辑推理和空间想象能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力。

使学员具有一定的自学能力和将数学思想扩展到其它领域的能力。

（二）过程与方法

本课程以课堂讲授为主，采用启发式教学法。

教学中充分利用多媒体手段。

加强学员对所学内容的理解，突出重点、分散难点，注重知识的传授和能力培养，强化课堂讲授和课后辅导、批改作业和答疑辅导等各个环节，为学员打下坚实的数学基础。

（三）情感态度与价值观

通过该课程的学习，使学员养成密切关注具有实际应用背景的工程、军事等问题的良好习惯，在掌握必要的基础知识的同时，具有一定的数学建模思想，并将“实际问题－数学模型－求解方法－计算机实现”的思维模式贯穿于提出问题、分析问题和解决问题的整个过程中。

使教员养成以学员为主体的教育理念和有效教学的意识，并指导日常教学研究。

使学员的学习过程由被动变为主动，对所学知识产生亲切感，从而激发他们的学习积极性和主动性，极大地提高学习数学的兴趣。

从而使学员具备高尚的科学观和世界观，较强的求知欲，养成实事求是，尊重客观规律的学习习惯和归纳分析习惯。

四．课程内容标准

（一）理论讲授部分

第一章函数极限连续函数

理解集合、映射、函数、复合函数、分段函数、极限、左极限与右极限、无穷小、无穷大及函数连续性等概念，深刻理解函数极限存在与左、右极限之间的关系；

函数的性质及反函数和隐函数的概念；

掌握函数的表示方法、基本初等函数的性质及其图形；

熟练掌握极限的性质、四则运算法则及利用两个重要极限求极限的方法；

知道极限存在的两个准则，

的基本运算、连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）；

掌握判别函数间断点的类型。

特长层次掌握极限存在准则应用，较高层次掌握闭区间连续函数性质的应用。

教学内容

教学要求

知道

理

解

深刻

理解

掌握

熟练掌握

备

注

1．集合

（1）集合的概念

√

（2）集合的基本运算

2．映射与函数

（1）映射、复合映射、逆映射的概念

（2）函数及分段函数的概念

（3）[函数的表示方法，建立简单应用问题中的函数关系式]

（4）函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性

（5）反函数的概念

（6）复合函数的概念

（7）基本初等函数：

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数的性质及其图形

（8）[初等函数的概念]

3．极限

（1）（数列极限的概念）

（2）[收敛数列的性质]

（3）[函数极限的概念，函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系]

（4）[极限的性质]（惟一性、有界性和保号性）

（5）用“

”定义验证极限

☆（6）（极限存在准则）（单调有界准则和夹逼准则）

（7）[极限的四则运算法则]

（8）[复合函数的极限运算法则]

（9）[利用两个重要极限求极限]

（10）（无穷大、无穷小的概念）

（11）[无穷小与无穷大的关系]

（12）（无穷小阶的概念）

（13）[利用等价无穷小代换求极限]

4．[连续函数]

（1）函数连续的概念

（2）函数间断点的概念

（3）[判断间断点的类型]

（4）连续函数的四则运算

（5）（反函数与复合函数的连续性）

（5）[初等函数的连续性]

（6）（闭区间上连续函数的性质）

△（7）利用闭区间上连续函数性质解决有关问题

注：

表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次;

打“［］”号的内容为重点内容，打“（）”号的内容为难点内容，打“☆”号的内容为特长培养可作拓展，打“△”号的内容为较高要求可作简要介绍。

第二章导数与微分

深刻理解导数和微分的概念，理解导数的几何、物理意义，高阶导数的概念，理解函数的可导性与连续性之间的关系、导数与微分的关系；

熟练掌握导数与微分的四则运算法则、复合函数的求导法则和一阶微分形式的不变性，熟练掌握基本初等函数的导数公式、平面曲线的切线方程和法线方程；

掌握简单函数的n阶导数，隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的计算方法，理解反函数的导数，知道相关变化率。

深刻理解

1．导数与微分的概念

（1）[导数的定义、导数的几何意义]

（2）函数可导性与连续性的关系

（3）利用导数的定义求函数在某点的导数

（4）[函数微分的定义]

（5）函数可导与可微的关系

（6）微分的几何意义

（7）微分在近似计算中的应用

2．微分法则

（1）[函数四则运算的微分法则]

（2）反函数的微分法则

（3）[复合函数的微分法则]

（4）[基本初等函数的导数公式与微分公式]

（5）（一阶微分形式不变性）

（6）[初等函数的求导问题]

（7）（分段函数的导数）

3．高阶导数与高阶微分

（1）高阶导数的概念

（2）（求简单函数的高阶导数）

4．隐函数和由参数方程确定的函数的微分法

（1）隐函数的概念

（2）（隐函数的微分法、对数求导法）

（3）[由参数方程确定的函数的微分法]

5．导数和微分的应用举例

（1）相关变化率的概念及其求法

（2）利用导数解决一些实际问题

第三章微分中值定理及函数性态的研究

掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理，理解柯西中值定理，知道泰勒中值定理，理解函数的极值概念；

掌握用一阶导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用，熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；

掌握用二阶导数判断曲线的凹凸性和拐点的方法，掌握曲线的水平、铅直渐进线的求法和函数图形的描绘；

理解曲率和曲率半径的概念，掌握计算曲线的曲率和曲率半径。

特长层次掌握泰勒定理、单调性应用（方程根的个数判定、不等式证明），曲线的斜渐近线求法，较高层次掌握罗尔定理、拉格朗日、柯西中值定理的应用。

备注

1．微分中值定理

（1）[费马（Fermat）定理、罗尔（Rolle）定理]

（2）[拉格朗日（Lagrange）中值定理]

（3）（柯西（Cauchy）中值定理）

△（4）（罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用）

☆（5）（泰勒（Taylor）中值定理）

（6）将函数展开为泰勒公式或麦克劳林公式

2．洛必达法则

（1）[洛必达法则]

（2）[用洛必达法则求未定式极限的方法]

3．[函数性态的研究]

（1）用导数判断函数单调性的方法

☆

（2）利用函数单调性判断方程根的个数、证明不等式

（3）函数极值的概念

（4）确定函数的单调区间、求极值的方法

（5）函数最大值、最小值的求法

△（6）简单的实际问题的最大（小）的求法

（7）函数曲线凹凸性的判断及凹凸区间的确定

（8）函数曲线拐点的求法

（9）求曲线的水平、垂直、（☆）斜渐近线

（10）作函数的图形

4．弧微分、曲率

（1）（弧微分、曲率和曲率半径的概念）

（2）[曲率、曲率半径的计算]

第四章一元函数积分学及其应用

理解定积分的概念，理解积分上限的函数，掌握积分上限的函数的导数；

掌握定积分的性质及定积分中值定理，熟练掌握牛顿--莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式；

理解原函数、不定积分概念和不定积分的性质；

熟练掌握不定积分的基本公式。

掌握第一、第二换元积分法与分部积分法；

掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分；

理解反常积分的概念，知道反常积分的计算方法。

掌握应用定积分的元素法求平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积，平面曲线的弧长;

知道平均值、有效值、定积分在物理上的应用（压力、功、引力）。

特长层次掌握用定积分定义求和式极限、定积分应用（旋转体侧面积，均方根），反常积分收敛的判定；

较高层次理解求旋转体侧面积，水压力、引力和惯性矩，反常积分计算。

1．定积分的概念与性质

（1）（定积分的概念）、定积分的几何意义

☆

（2）用定积分的定义求一类和式的极限

（3）[定积分的性质]

（4）[积分中值定理]

2．微积分基本定理

（1）原函数的概念

（2）（积分上限的函数及其求导的定理）

（3）[牛顿—莱布尼茨公式]

3．不定积分

（1）不定积分的概念

（2）[基本积分公式表]

（3）不定积分的线性性质

4．基本积分法

（1）（[不定积分的第一换元法]）

（2）[不定积分的第二类换元法]

（3）[定积分的换元法]

（4）[不定积分和定积分的分部积分法]

5．有理函数和三角函数有理式的积分

（1）（有理函数的积分）

（2）（三角函数有理式的积分]

（3）简单无理函数的积分

6．定积分的应用

（1）定积分的元素法

（2）[直角坐标系下平面图形的面积的计算]

（3）[极坐标系下平面图形的面积的计算]

（4）[旋转体的体积]

（5）平行截面面积为已知的立体的体积

（6）平面曲线的弧长的计算

☆△（7）旋转体的侧面积的计算

（8）变力沿直线所作的功的计算

△（9）水压力、引力和惯性矩的计算

☆（10）函数的平均值、均方根的计算

7．（反常积分）

（1）无穷限、无界函数的反常积分的概念

△

（2）简单反常积分的计算

☆（3）反常积分的审敛法

第五章向量代数与空间解析几何

理解空间直角坐标系，向量的坐标及其表示法，掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），知道混合积，理解两个向量垂直、平行的条件，掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法，熟练掌握平面方程和直线方程及其求法；

掌握求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，掌握求点到直线以及点到平面的距离的方法；

知道常用二次曲面的方程及其图形，掌握旋转曲面、柱面方程；

理解曲面方程，空间曲线的参数方程和一般方程，知道空间曲线在坐标面上的投影。

特长和较高层次要求理解混合积的概念及其坐标计算，理解椭球面、抛物面、双曲面和圆柱面的方程及其图形。

1．向量及其线性运算

（1）向量的概念

（2）（向量的加、减法、向量与数的乘法）

（3）向量在轴上的投影

（4）[两向量的内积]

（5）[两向量的向量积]

☆△（6）向量的混合积

√

2、[向量的坐标和向量运算的坐标表示]

（1）空间直角坐标系

（2）空间点的直角坐标、空间两点的距离

（3）向量的坐标

（4）向量的模、方向余弦的坐标表示

（5）向量的线性运算的坐标表示

（6）向量的内积、向量积、混合积的坐标表示

3、[空间的平面和直线]

（1）[平面的几种方程及其求法]

（2）两平面的夹角及其位置关系的判断

（3）点到平面的距离

（4）[直线的一般方程、对称式方程和参数方程的表示及其互相转换]

（5）[两直线的夹角及其位置关系的判断]

（6）[直线与平面的夹角及其位置关系的判断]

（7）平面束方程

（8）点到直线的距离

（9）（利用直线、平面的位置关系解决有关问题）

4．（空间曲面）

（1）曲面方程的概念

（2）以坐标轴为旋转轴的旋转曲面和母线平行于坐标轴的柱面的生成及其方程

5．（空间曲线及其方程）

（1）空间曲线的一般方程、参数方程

（2）空间曲线在坐标面上的投影

6．二次曲面

椭球面、抛物面、双曲面和圆柱面的方程及其图形

第六章多元函数微分学及其应用

理解多元函数、多元函数偏导数、全微分的概念，理解方向导数、梯度、多元函数极值的概念，掌握二元函数的几何意义；

理解二元函数的极限与连续性的概念，知道有界闭区域上连续函数的性质；

掌握全微分存在的必要条件和充分条件，理解全微分形式的不变性；

掌握多元复合函数偏导数、全微分的求法，掌握方向导数与梯度的计算方法，掌握多元函数极值存在的必要条件；

掌握求隐函数的偏导数；

掌握空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的方程的求法；

知道二元函数的二阶泰勒公式，掌握二元函数极值存在的充分条件及二元函数的极值的求法，掌握拉格朗日乘数法求条件极值，知道简单应用问题的最值的确定方法。

特长层次熟练掌握由方程组所确定的隐函数的偏导数，理解二元泰勒定理，掌握实际问题求最值；

较高层次掌握由方程组所确定的隐函数的偏导数的求法，简单的实际问题求最值。

1．预备知识

n维欧氏空间、邻域、区域等概念

2．多元函数的基本概念

（1）多元函数的概念

（2）（二元函数的极限及连续性的概念）

（3）有界闭区域上多元连续函数的性质

3．多元数值函数的微分法

（1）偏导数的概念极其计算

（2）高阶偏导数的概念

（3）[二阶偏导数的计算]

（4）[全微分的概念及其计算]

（5）（全微分存在的必要条件和充分条件）

（6）全微分在近似计算中的应用、误差估计

（7）多元复合函数的概念

（8）[多元复合函数的链式求导法则]

（9）[多元复合函数二阶偏导数的求法]

（10）方向导数与梯度的概念

（11）[方向导数与梯度的计算]

（12）（隐函数的求导法则）

（13）[一个方程所确定的隐函数的偏导数]

☆△（14）（由方程组所确定的隐函数的偏导数）

4．多元向量值函数的微分法

（1）（多元向量值函数的导数）

（2）[空间曲线的切线方程及法平面方程]

（3）[曲面的切平面方程与法线方程]

5．多元函数的泰勒定理、极值

☆

（1）多元函数的泰勒定理

（2）多元函数的极值和条件极值的概念

（3）[二元函数的极值与最值的计算]

（4）[条件极值的拉格朗日乘数法]

☆△（5）求解一些简单的最值问题

第七章多元数值函数积分及其应用

理解多元数值函数积分（二重积分、三重积分、第一型曲线积分和第一型曲面积分）的概念，掌握多元数值函数积分的性质，知道二重积分的中值定理；

熟练掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法，掌握三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）的计算方法，知道重积分的一般换元法；

掌握第一型曲线、曲面积分的计算方法；

掌握数值函数积分求曲面的面积、立体的体积、质量；

知道数值函数积分求质心、惯性矩、引力的方法，知道含参变量积分的概念及计算问题。

特长层次掌握重积分的一般换元法，掌握数值函数积分的物理应用，掌握含参变量积分及其应用；

较高层次要求理解重积分的一般换元法，理解含参变量积分。

1．多元数值函数积分的概念和性质

（1）多元数值函数积分：

二重积分、三重积分