奥数题型与解题思路1120讲Word文档格式.docx
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所以，我们只要用质数去试除就可以了。
由161÷
7=23，可知161的约数除了1和它本身外，至少还有7和23。
所以，161是合数，而不是质数。
由197依次不能被2、3、5、7、11、13整除，而197÷
17=11……10，这时的除数17已大于不完全商11，于是可以肯定：
197是质数，而不是合数。
因为197除了它本身以外，不可能有比17大的约数。
假定有，商也一定比11小。
这就是说，197同时还要有比11小的约数。
但经过试除，比11小的质数都不能整除197，这说明比11小的约数是不存在的，所以197是质数，不是合数。
【最大公约数求法】最大公约数的求法，一般可用下面四种方法。
（1）分解质因数法。
先把各数分解质因数，再把各数公有的一切质因数连乘起来，就是所求的最大公约数。
例如，求2940、756和168的最大公约数：
∵2940=22×
3×
5×
72，
756=22×
33×
7，
168=23×
7；
∴（2940，756，168）=22×
7=84。
注：
“（2940，756，168）=84”的意思，就是“2940、756和168的最大公约数是84”。
（2）检验公约数法。
“检验公约数法”即“试除法”，也是小学数学课本介绍的那一种一般的求法，此处略。
（3）辗转相减法。
较大的两个数求最大公约数，可以用“辗转相减法”：
用大数减小数，如果减得的差与较小的数不相等，便再以大减小求差，直到出现两数相等为止。
这时，相等的数就是这两个数的最大公约数。
例如，求792和594的最大公约数。
∵（792，594）=（792-594，594）
=（198，594）=（594-198，198）
=（198，396）=（198，396-198）
=（198，198）=198，
∴（792，594）=198。
用辗转相减法求两个数的最大公约数，可以推广到求n个数的最大公约数，具体做法是：
可以不拘次序地挑选最方便的，从较大的数里减去较小的数。
这样逐次做下去，直到所得的差全部相等为止。
这个相等的差，就是这些数的最大公约数。
例如，求1260、1134、882和1008的最大公约数。
∵（1260，1134，882，1008）
=（1260-1134，882，1008-882，1134-882）
=（126，126，882，252）
=（126，126，882-126×
6，252-126）
=（126，126，126，126）=126，
∴（1260，1134，882，1008）=126。
（4）辗转相除法（欧几里得算法）。
用辗转相除法求两个数的最大公约数，步骤如下：
光用较小数去除较大的数，得到第一个余数；
再用第一个余数去除较小的数，得到第二个余数；
又用第二个余数去除第一个余数，得到第三个余数；
这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。
这时，余数“0”前面的那个余数，便是这两个数的最大公约数。
求两个较大的数的最大公约数，用上面的第一、二种方法计算，是相当麻烦的，而采用“辗转相除法”去求，就简便、快速得多了。
例如，求437和551的最大公约数。
具体做法是：
先将437和551并排写好，再用三条竖线把它们分开。
然后依下述步骤去做：
（1）用较小数去除较大数把商数“1”写在较大数的线外，并求得余数为114。
（2）用余数114去除437，把商数“3”写在比114大的数（437）的线外，并求得余数为95。
（3）用余数95去除114，把商数“1”写在114右边的直线外，并求得余数为19。
（4）用余数19去除95，把商数“5”写在95左边的直线外面，并求得余数为0。
（5）当余数为0时，就可断定余数0前面的那一个余数19，就是437和551的最大公约数。
又如，求67和54的最大公约数，求法可以是
由余数可知，67和54的最大公约数是1。
也就是说，67和54是互质数。
辗转相除法，虽又称作“欧几里得算法”，实际上它是我国最先创造出来的。
早在我国古代的《九章算术》上，就有“以少减多，更相减损”的方法求最大公约数的记载。
一般认为，“辗转相除法”即源于此。
这比西方人欧几里得等人的发现要早600年以上。
辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。
如果要求三个或三个以上数的最大公约数，可以用它先求出其中两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。
这样依次下去，直到最后一个数为止。
最后的一个最大公约数，就是这几个数所要求的最大公约数。
【分数最大公约数求法】自然数的最大公约数的定义，可以扩展到分数。
一组分数的最大公约数一定是分数，而这组分数分别除以它们的最大公约数，应得整数。
求一组分数的最大公约数的方法是：
（1）先将各个分数中的带分数化成假分数；
（2）再求出各个分数分母的最小公倍数a；
（3）然后求出各个分数分子的最大公约数b；
再求出三个分母的最小公倍数，得72；
然后求出三个分子35、21和56的最大公约数，得7；
【最小公倍数求法】求最小公倍数可采用下面三种方法。
先把各数分解质因数，在所有相同的质因数中，每一个取出指数最大的，跟所有不同的质因数连乘起来，就是所求的最小公倍数。
例如，求120、330和525的最小公倍数。
∵120=23×
5，
330=2×
11，
525=3×
52×
∴[120，330，525]=23×
7×
11=46200
“[120，330，525]=46200”表示“120、330和525三个数的最小公倍数是46200”。
“检验公约数法”即“试除法”或“用短除法的求法”，也就是小学数学课本上介绍的一般方法，此处略。
（3）先求最大公约数法。
由于“两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积”，即
a·
b=（a，b）·
[a，b]
所以，两个数的最小公倍数，可由这两个数的乘积除以这两个数的最大公约数来求得。
即
例如，求[42，105]。
若要求三个或三个以上的数的最小公倍数，可以先求其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第四个数的最小公倍数，……，如此依次做下去，直到最后一个数为止。
最后求得的那个最小公倍数，就是所要求的这几个数的最小公倍数。
例如，求[300，540，160，720]
∴[300，540，160，720]=21600
【分数最小公倍数求法】自然数的最小公倍数的定义，可以推广到分数。
一组分数的最小公倍数，可能是分数，也可能是整数，但它一定是这组分数中各个分数的整数倍数。
求一组分数的最小公倍数，方法是：
（2）再求出各个分数分子的最小公倍数a；
（3）然后求出各个分数分母的最大公约数b；
再求各分数分子的最小公倍数，得
[35，21，56]=840；
然后求各分数分母的最大公约数，得
（6，8，9）=1
【数的互化方法】整数、小数和分数，整数、假分数和带分数，整数、小数、分数和百分数，成数（或折数）、分数和百分数，它们之间可以互化，互化的方法见小学数学课本，此处略。
化循环小数为分数，还可以用移动循环节的方法。
例如
由这些实例，可以得循环小数化分数的法则如下：
（1）纯循环小数化分数的法则。
纯循环小数可以化成这样的分数：
分子是一个循环节的数字所组成的数；
分母的各位数字都是9，“9”的个数同循环节的位数相同。
（2）混循环小数化分数的法则。
混循环小数可以化成这样的分数：
分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；
分母的头几个数字是9，末几位数字是0，“9”字的个数同循环节的位数相同，“0”字的个数和不循环部分的位数相同。
【分数化有限小数判断法】
若进一步研究，它又有以下的三种情况：
5（即与10互质），或者除2和5以外，还包含其他的质因数，那么，这样的分数就不能化成有限小数，而只能化成无限循环小数。
这里，又有以下的两种情况：
和5时，这样的分数就可以化成纯循环小数。
循环节内数字的个数，跟数列
9，99，999，9999，……
各项中，能被分母b整除的最小的数所含“9”字的个数相同。
分母37去除9，99，999，9999，……，能整除的
最小的数是999，即
99937（即“999能被37整除”，“”是整除符号；
亦可逆读为“37能整除999”）
也可以表示为37｜999（即“37能整除999”，“｜”也是整除符号；
亦可逆读为“999能被37整除”。
这里“999”，含有3个“9”，所以它化成的纯循环小数循环节内数字的个数也是3个：
=0.513
以外的质因数，那么这样的分数就可以化成混循环小数。
它的不循环部分数字的个数，跟2和5在分母内最高乘方的指数相同；
各项中，能被分母内2和5以外的质因数的积所整除的最小的数，所含“9”字的个数相同。
质因数11，所以这分数可以化成混循环小数。
不循环部分数字的个数是3个（最高乘方23的指数为3），循环部分的循环节数字是两个（11｜99，“9”的个数为2个）：
概括起来，把分数化成小数，判断其得数的情况，不外乎以下三种：
（1）若分母只含质因数2，5，则化得的小数是有限小数；
（2）若分母不含质因数2，5，则化得的小数是纯循环小数；
（3）若分母既含质因数2，5，又含2和5以外的质因数，则化得的小数是混循环小数。
注意：
判断的前提是分数必须是既约（最简）分数，否则很容易出错。
【百分比浓度求法】用溶质质量占全部溶液质量的百分比来表示溶液浓度，叫做溶液的百分比浓度。
求法是
例如，用白糖（溶质）1千克，开水（溶剂）4千克混合以后，所得的糖水（溶液）的百分比浓度是
用对称关系找约数
【用对称关系找约数】找某一合数的约数，常有找不全的情况发生，而利用约数的对称关系去找，就能解决这一问题。
方法是：
（1）若某个合数为某一个自然数的平方，则它的所有约数的“中心数”就是这个自然数；
再把比“中心数”小的几个约数找出来，其他的约数也就可以成对地和一个不漏地找出来。
例如，找出36的全部约数：
因为36=62，6是所有约数的“中心数”。
比中心数6小的约数很容易找到，它们是1、2、3、4四个，于是比中心数大的约数，也就可依据对应关系，成对地找出来了，它们是36（与1对应）、18（与2对应）、12（与3对应）和9（与4对应）。
如下图（图4.7）：
（2）若某个合数不是某一自然数的平方，则可先找出一个“近似中心数”。
例如，找出102的全部约数：
因为102＜102＜112，所以可选10或11为“近似中心数”。
然后找出比这个近似中心数小的所有约数——1、2、3、6；
再找出比近似中心数大的所有约数——102、51、34、17。
如下图（图4.8）：
（注意：
“中心数”是其中的一个约数，但“近似中心数”却不是其中的一个约数。
【叉乘法求最小公倍数】用“叉乘法”求最小公倍数，是极为快速的。
求24和36的最小公倍数。
如图4.9：
24和36的最小公倍数是24×
3=72，或36×
2=72。
这样做的道理很简单。
因为
所以，用24乘以36独有的质因数3，或者用36乘以24独有的质因数2，都能得到24与36的最小公倍数72。
今后，用短除法找出两个数单独有的质因数以后，顺手画一个“×
”，把它们分别与原来的两个数相乘，就都会得到它们的最小公倍数。
又如，求20、12和18三个数的最小公倍数。
如图4.10：
∵20和12的最小公倍数是20×
3=60，
60和18的最小公倍数是60×
3=180，
∴20、12和18三个数的最小公倍数便是180。
如果先求20和18的最小公倍数，再用这个最小公倍数与12去求三个数的最小公倍数；
或者先求12和18的最小公倍数，再用这个最小公倍数与20去求三个数的最小公倍数，也是可以的。
12、用补充数速算
末尾是一个或几个0的数，运算起来比较简便。
若数末尾不是0，而是98、51等，我们可以用（100—2）、（50＋1）等来代替，这也可能使运算变得比较简便、快速。
一般地我们把100叫做98的“大约强数”，2叫做98的“补充数”；
50叫做51的“大约弱数”，1叫做51的“补充数”。
把一个数先写成它的大约强（弱）数与补充数的差（和），然后再进行运算，这种方法叫做“运用补充数法”。
（1）387＋99=387＋（100—1）
=387＋100—1
=486
1680—89=1680-（100—11）
=1680—100+11
=1580+11
=1591
4365-997=4365-（1000-3）
=4365-1000＋3
=3368
69×
9=69×
（10-1）
=690-69
=621
99=69×
（100-1）
=6900-69
=6831
87×
98=87×
（100-2）
=8700-87×
2
=8700-200+26
=8526
13、一般应用题
【和差的问题】
例1六年级有四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是131人；
不算丁班，其余三个班的总人数是134人。
乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人。
四个班的总人数是_____。
（1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：
因为乙、丙两班总人数比甲、丁两班总人数多1人。
则乙、丙两班总人数的3倍就等于（131+134-l）=264人。
所以，乙、丙两班共有246÷
3=88（人）。
然后可求出甲、乙两班总人数为88+1=89（人），进而可求出四个班的总人数为88+89=177（人）。
例2东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的。
现知道五、六年级共有25幅画，因此，其它年级的画共有____幅。
（1988年北京市小学数学奥林匹克决赛试题）
由“16幅画不是六年级的，15幅画不是五年级的”可得出，五年级比六年级多1幅画。
所以六年级共有12幅画。
然后可求出其它年级的画共有（15-12）幅，即3幅。
例3甲、乙、丙都在读同一本故事书。
书中有100个故事。
每人都认某一个故事开始按顺序往后读。
已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事。
那么甲、乙、丙三人共同读过的故事至少有_____个。
（1991年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
可先看读得较少的两人重复阅读故事的个数。
乙、丙两人最少共同读故事60+52-100=12（个）。
因为每人都从某一故事按顺序往后读,所以甲读了75个故事。
他无论从哪一故事开始读，都至少重读了上面12个故事。
故答案是12个。
例4某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作。
直到月底，总厂还剩工人240人。
如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（1人1天为1个工作日），且无1人缺勤。
那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共____人。
（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题。
到月底总厂剩下240名工人，这240名工人一个月的工作日为240×
30=7200（个）。
而8070-7200=870（个）。
可知这870个工日是由总厂派到分厂工作的人在总厂工作的工日。
设每天派a人到分厂工作，则这些人中留在总厂的工作日是；
a人做29天，a人做28天，a人做27天，……a人做1天。
所以，（1+29）×
a×
29÷
2=870，可解得a=2。
故，共派到分厂的工人为2×
30=60（人）。
【积商的问题】
例1王师傅加工1500个零件后，改进技术，使工作效率提高到原来的2.5倍，后来再加工1500个零件时，比改进技术前少用了18小时。
改进技术前后每小时加工多少个零件？
（1989年《小学生数学报》小学数学竞赛决赛试题）
改进技术后的工效提高到原来的2.5倍，后来加工1500个零件时，比改进技术前少用18小时，则改进技术后加工1500个零件的时间是18÷
（2.5-1）=12（小时）。
原来加工1500个零件的时间是12+18=30（小时）
于是，改进前每小时加工的便是1500÷
30=50（个），
改进后每小时加工的便是1500÷
12=125（个）。
例2现有2分硬币、5分硬币各若干个，其中2分的比5分的多24个，如果把2分硬币等价换成5分硬币，所得的5分硬币要比原有的5分硬币少6个。
原来两种硬币各有多少个？
（1993年“光远杯”小学数学竞赛试题）
我们用方程来解，设原来有x个5分的硬币；
则2分硬币共有（x+24）个。
由题意得：
2（x+24）÷
5=x-6。
解得：
x=26，即5分币有26个。
于是，2分币便有
26+24=50（个）
循环小数
【循环小数化分数】
小学数学竞赛试题）
纯循环小数化分数时，分子由一个循环节的数字组成，分母由与
数推出？
（长沙地区小学数学竞赛预赛试题）
循环节有6位数字。
而（89-3）÷
6=14余2。
即小数点后第89位以后的数是230769循环。
【循环小数的计算】
（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）
可把小数都化成分数后，再计算，得
例2图5.3列出的十个数，按顺时针次序可组成许多个整数部分是一位
________。
（1989年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
要想这个数最大，整数部分必须选9。
它有四种：
9.291892915，9.189291592，9.291592918，9.159291892。
无论循环节怎样安排，都是从小数点后第十位开始重复。
所以，以上四数中最大的是9.291892915。
再考
14、旋转变换
【旋转成定角】例如下面的题目：
“在图4.23中，半径为8厘米的圆的内外各有一个正方形，圆内正方形顶点都在圆周上，圆外正方形四条边与圆都只有一个接触点。
问：
“大正方形的面积比小正方形的面积大多少？
”
按一般方法，先求大、小正方形的面积，再求它们的差，显然是有难度的。
若将小正方形围绕圆心旋转45°
，使原图变成图4.24，容易发现，小正方形的面积为大正方形面积的一半。
所以，大正方形面积比小正方形的面积大
（8×
2）×
（8×
2）÷
=16×
16÷
=128（平方厘米）
又如，如图4.25，求正方形内阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
表面上看，题目也是很难解答的。
但只要将两个卵叶片形的阴影部分绕正方形的中心，分别按顺时针和逆时针方向旋转90°
，就得到了一个由阴影部分组成的半圆（如图4.26），于是，阴影部分的面积就很容易解答出来了。
（解答略）
【开扇式旋转】有些图形相互交错，增加了解答的难度。
若像打开折扇一样，绕着某个定点作“开扇式”旋转，往往会使人顿开茅塞，使问题很快获得解决。
例如，求图4.27的阴影部分的面积（单位：
厘米）。
若采用正方形面积减空白部分面积的求法，
计算量是很大的。
由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的，我们不妨把右下部的扇形打开，顺时针方向旋转90°
，得到图4.28；
再继续旋转，得到图4.29。
在图4.29中，阴影部分面积便是半圆面积减三角形面积的差。
所以，阴影部分面积是
42×
3.14÷
2-（4+4）×
4×
=2
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