全国高考文科数学试题及答案广东卷.docx
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全国高考文科数学试题及答案广东卷
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
参考公式：
锥体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高.
球的体积，其中为球的半径。
一组数据的标准差，其中表示这组数据的平均数。
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.设为虚数单位，则复数=（）
2．设集合；则（）
3.若向量；则（）
4.下列函数为偶函数的是（）
5.已知变量满足约束条件，则的最小值为（）
6.在中，若，则（）
7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（）
8.在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于（）
9.执行如下图所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为（）
10.对任意两个非零的平面向量和，定义；若两个非零的平面向量满足，与的夹角，且都在集合中，则（）
二、填空题：
本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
（一）必做题（11-13题）
11.函数的定义域为_________。
12.等比数列满足，则。
13.由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于，则这组数据为_________。
（从小到大排列）
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为
（是参数，）和（是参数），它们的交点坐标为_______.
15.（几何证明选讲选做题）如图所示，直线与圆想切于点，是弦上的点，，若，则_______。
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分。
解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
（本小题满分12分）已知函数，且。
（1）求的值；
（2）设，；求的值
17.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
（1）求图中的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数。
18.（本小题满分13分）如下图5所示，在四棱锥中，平面，，是中点，是上的点，且，为中边上的高。
（1）证明：
平面；
（2）若，求三棱锥的体积；
（3）证明：
平面．
19.（本小题满分14分）设数列的前项和为，数列的前项和为，满足．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式。
20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，
且点在上。
（1）求的方程；
（2）设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程。
21.（本小题满分14分）设，集合，，
。
（1）求集合（用区间表示）；
（2）求函数在内的极值点。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（文科）参考答案
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，满分40分。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
A
A
D
C
B
C
B
C
A
1.【解析】选依题意：
2．【解析】选
3.【解析】选
4.【解析】选与是奇函数,，是非奇非偶函数
5.【解析】选约束条件对应边际及内的区域：
，则
6.【解析】选由正弦定理得：
7．【解析】选几何体是半球与圆锥叠加而成，它的体积为
8.【解析】选圆的圆心到直线的距离，弦的长
9.【解析】选
10.【解析】选
都在集合中得：
。
二、填空题：
本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
（一）必做题（11-13题）
9.【解析】定义域为，中的满足：
或
10.【解析】，
11.【解析】这组数据为，不妨设得：
如果有一个数为或；则其余数为，不合题意；只能取；得：
这组数据为
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14.【解析】它们的交点坐标为，解得：
交点坐标为
15.【解析】，得：
。
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分。
解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.解：
（1）。
（2），，。
，，，
17.解：
（1）。
（2）平均分为。
（3）数学成绩在内的人数为人，数学成绩在外的人数为人。
答：
（1）；
（2）这100名学生语文成绩的平均分为；（3）数学成绩在外的人数为人。
18.
（1）证明：
平面，面，又平面，
平面。
（2）是中点点到面的距离，
三棱锥的体积。
（3）取的中点为，连接。
，又平面，平面平面平面，
又平面平面，平面面，
点是棱的中点，又，得：
平面。
19.解:
（1）在中，令。
（2），相减得：
，，
相减得：
，，，得，
，得：
数列是以为首项，为公比的等比数列，
。
20.解：
（1）由题意得：
，故椭圆的方程为：
。
（2）当直线的斜率不存在时，设直线，直线与椭圆相切，直线与抛物线相切，得：
不存在。
当直线的斜率存在时，设直线，直线与椭圆相切两根相等；直线与抛物线相切两根相等
，解得：
或。
21.解：
（1）对于方程，判别式。
因为，所以。
当时，，此时，所以；
当时，，此时，所以；
当时，，设方程的两根为且，
则，，
，，所以，此时，
综上可知，当时，；
当时，；当时，。
（2），由，
由或，所以函数在区间和上为递增，在区间上为递减。
当时，因为，所以在内有极大值点和极小值点；
当时，，所以在内有极大值点；
当时，
，在内有极大值点。
综上可知：
当时，在内有极大值点；当时，在内有极大值点和极小值点。
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