第八章第5讲 椭 圆Word下载.docx

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离心率

e＝，e∈（0，1）

a，b，c

的关系

c2＝a2－b2

1．辨明两个易误点

（1）椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|时，不存在轨迹．

（2）求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＋＝1（a＞b＞0）．

2．求椭圆标准方程的两种方法

（1）定义法：

根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．

（2）待定系数法：

若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b；

若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B）．

1.椭圆C：

＋＝1的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的周长为（　　）

A．12　　　　　　　　B．16

C．20D．24

　C　[解析]△F1AB的周长为

|F1A|＋|F1B|＋|AB|

＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|

＝2a＋2a＝4a.

在椭圆＋＝1中，a2＝25，a＝5，

所以△F1AB的周长为4a＝20，故选C.

2．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（　　）

A.＋y2＝1

B．＋＝1

C.＋y2＝1或＋＝1

D．以上答案都不对

　C　[解析]直线与坐标轴的交点为（0，1），（－2，0），

由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，

所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，

所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1.故选C.

3．（2016·

高考全国卷乙）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（　　）

A.　　B．

C.D．

　B　[解析]不妨设直线l过椭圆的上顶点（0，b）和左焦点（－c，0），b＞0，c＞0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×

2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，所以e＝（e＝－舍去），故选B．

4．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．

[解析]由已知得解得3<

k<

5且k≠4.

[答案]（3，4）∪（4，5）

5．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P（－5，4），则椭圆的标准方程为________．

[解析]由e＝可得a2＝5c2，所以b2＝4c2，故椭圆的方程为＋＝1，将P（－5，4）代入可得c2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.

[答案]＋＝1

　椭圆的定义及应用[学生用书P168]

[典例引领]

（1）设F1，F2分别是椭圆E：

x2＋＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|＝（　　）

A.　　　　　　　　B．1

（2）（2017·

徐州模拟）已知F1、F2是椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．

【解析】　

（1）设椭圆E：

＋＝1（0<

b<

1），知a＝1，

因为|AF1|＋|AF2|＝2a＝2，|BF1|＋|BF2|＝2a＝2，

两式相加得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，

所以|AF2|＋|BF2|＝4－（|AF1|＋|BF1|）＝4－|AB|.

因为|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，

所以2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，

于是2|AB|＝4－|AB|，

所以|AB|＝.

（2）设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，

则

所以2r1r2＝（r1＋r2）2－（r＋r）＝4a2－4c2＝4b2，

所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，

所以b＝3.

【答案】　

（1）C　

（2）3

本例

（2）中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．

[解]由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆的方程为＋＝1.

（1）椭圆定义的应用范围

①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．

②解决与焦点有关的距离问题．

（2）焦点三角形的应用

椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；

利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；

通过整体代入可求其面积等．　

[通关练习]

1．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△PF1F2的面积为（　　）

A．4　　B．6

C．2D．4

　A　[解析]因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝6，又因为|PF1|∶|PF2|＝2∶1，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，又易知|F1F2|＝2，显然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，故△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积为×

2×

4＝4.故选A.

2．已知两圆C1：

（x－4）2＋y2＝169，C2：

（x＋4）2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．

[解析]设动圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝（13－r）＋（3＋r）＝16，又|C1C2|＝8<

16，所以动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，则a＝8，c＝4，所以b2＝48，又焦点C1、C2在x轴上，故所求的轨迹方程为＋＝1.

　椭圆的标准方程[学生用书P168]

（1）（2017·

湖南省东部六校联考）已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为（　　）

A.＋＝1　　　　　　B．＋＝1

C.＋y2＝1D．＋y2＝1

（2）设F1，F2分别是椭圆E：

x2＋＝1（0<

1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的标准方程为________．

【解析】　

（1）依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1（a>

b>

0），由已知可得抛物线的焦点为（－1，0），所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.

（2）

不妨设点A在第一象限，如图所示．因为AF2⊥x轴，所以|AF2|＝b2.

因为|AF1|＝3|BF1|，

所以B.

将B点代入椭圆方程，

得＋＝1，所以c2＋＝1.

又因为b2＋c2＝1，所以

故所求的方程为x2＋＝1.

【答案】　

（1）A　

（2）x2＋＝1

1．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（，1），P2（－，－），则该椭圆的方程为________．

[解析]设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m>

0，n>

0，且m≠n）．

因为椭圆经过P1，P2两点，所以P1，P2点坐标适合椭圆方程，则

①②两式联立，解得

所以所求椭圆方程为＋＝1.

2．已知椭圆C1：

＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．则椭圆C2的方程为________．

[解析]法一（待定系数法）：

由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1（a>

2），其离心率为，故＝，

解得a＝4，故椭圆C2的方程为＋＝1.

法二（椭圆系法）：

因椭圆C2与C1有相同的离心率，且焦点在y轴上，故设C2：

＋x2＝k（k>

0），即＋＝1.

又2＝2×

2，故k＝4，故C2的方程为＋＝1.

　椭圆的几何性质（高频考点）[学生用书P169]

椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大．

高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：

（1）由椭圆的方程研究其性质；

（2）由椭圆的性质求参数的值或范围；

（3）求离心率的值或范围．

（1）（2016·

高考全国卷丙）已知O为坐标原点，F是椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）

A.　　　　　　　　B．

合肥质检）如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·

的最大值为________．

【解析】　

（1）设E（0，m），则直线AE的方程为－＋＝1，由题意可知M，和B（a，0）三点共线，则＝，

化简得a＝3c，

则C的离心率e＝＝.

（2）设P点坐标为（x0，y0）．由题意知a＝2，

因为e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.

故所求椭圆方程为＋＝1.

所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.

因为F（－1，0），A（2，0），

＝（－1－x0，－y0），＝（2－x0，－y0），

所以·

＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝（x0－2）2.

即当x0＝－2时，·

取得最大值4.

【答案】　

（1）A　

（2）4

（1）求椭圆离心率的方法

①直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．

②列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程（或不等式）求解．

（2）利用椭圆几何性质的技巧

求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．　

[题点通关]

角度一　由椭圆的方程研究其性质

1．已知椭圆＋＝1（a>

0）的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为（　　）

A．（－3，0）　　　　　　　　B．（－4，0）

C．（－10，0）D．（－5，0）

　D　[解析]因为圆的标准方程为（x－3）2＋y2＝1，

所以圆心坐标为（3，0），所以c＝3.又b＝4，

所以a＝＝5.

因为椭圆的焦点在x轴上，

所以椭圆的左顶点为（－5，0）．

角度二　由椭圆的性质求参数的值或范围

2．已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于（　　）

A．2　　B．2或

C．2或6D．2或8

　D　[解析]显然m>

0且m≠4，当0<

m<

4时，椭圆长轴在x轴上，则＝，解得m＝2；

当m>

4时，椭圆长轴在y轴上，则＝，解得m＝8.

角度三　求离心率的值或范围

3．（2017·

新余模拟）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是（　　）

A．e≤　　B．e≥

C.≤e≤D．0<

e≤或≤e<

1

　C　[解析]因为椭圆C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，所以|PF1|＝×

2c＝3c.

由a－c≤|PF1|≤a＋c，解得≤≤.

所以椭圆C的离心率e的取值范围是.

　直线与椭圆的位置关系[学生用书P169]

　（2016·

高考全国卷甲改编）已知A是椭圆E：

＋＝1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（1）当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；

（2）当2|AM|＝|AN|时，证明：

4k3－6k2＋3k－8＝0.

【解】　

（1）设M（x1，y1），则由题意知y1＞0.

由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.

又A（－2，0），因此直线AM的方程为y＝x＋2.

将x＝y－2代入＋＝1，得7y2－12y＝0.

解得y＝0或y＝，所以y1＝.

因此△AMN的面积S△AMN＝2×

×

＝.

（2）证明：

将直线AM的方程y＝k（x＋2）（k＞0）代入＋＝1，得（3＋4k2）x2＋16k2x＋16k2－12＝0.

由x1·

（－2）＝，得x1＝，

故|AM|＝|x1＋2|＝.

由题设，直线AN的方程为y＝－（x＋2），故同理可得|AN|＝.

由2|AM|＝|AN|，得＝，

即4k3－6k2＋3k－8＝0.

（1）直线与椭圆位置关系判断的步骤

①联立直线方程与椭圆方程；

②消元得出关于x（或y）的一元二次方程；

③当Δ＞0时，直线与椭圆相交；

当Δ＝0时，直线与椭圆相切；

当Δ＜0时，直线与椭圆相离．

（2）直线被椭圆截得的弦长公式

设直线与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），则

|AB|＝

＝（k为直线斜率，k≠0）．　

　（2017·

河北省三市第二次联考）已知离心率为的椭圆＋＝1（a>

0）的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A、B两点，|AB|＝.

（1）求此椭圆的方程；

（2）已知直线y＝kx＋2与椭圆交于C、D两点，若以线段CD为直径的圆过点E（－1，0），求k的值．

[解]

（1）设焦距为2c，

因为e＝＝，a2＝b2＋c2，所以＝，

因为＝，

所以b＝1，a＝，

所以椭圆方程为＋y2＝1.

（2）将y＝kx＋2代入椭圆方程，得（1＋3k2）x2＋12kx＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝（12k）2－36（1＋3k2）>

0，解得k2>

1.

设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝，若以CD为直径的圆过E点，则·

＝0，即（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2＝0，而y1y2＝（kx1＋2）（kx2＋2）＝k2x1x2＋2k（x1＋x2）＋4，则（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2＝（k2＋1）x1x2＋（2k＋1）（x1＋x2）＋5＝－＋5＝0，

解得k＝，满足k2>

1.所以k＝.

[学生用书P170]

——数形结合思想在椭圆求值中的应用

　（经典考题）已知椭圆C：

＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.

【解析】　椭圆＋＝1中，a＝3.

如图，设MN的中点为D，

则|DF1|＋|DF2|＝2a＝6.

因为D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，

所以|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|，

所以|AN|＋|BN|＝2（|DF1|＋|DF2|）＝12.

【答案】　12

（1）本题利用了数形结合的思想，把DF1和DF2分别看作△MAN和△MNB的中位线，再结合椭圆定义即可求解．

（2）在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化．

　1.过椭圆＋＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是（　　）

A．14　　　　　　　　B．16

C．18D．20

　C　[解析]如图，设F1为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|F1Q|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF1的周长为|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|＝|PF1|＋|PF2|＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，△PQF1即△PQF的周长取得最小值为10＋2×

4＝18.

2．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|＋|PF1|的最大值为________．

[解析]如图，

|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知点M在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P点，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋＝15.

[答案]15

[学生用书P366（独立成册）]

1．（2017·

江西五市八校二模）已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的焦点坐标为（　　）

A．（±

，0）　　　　　　　B．（0，±

）

C．（±

，0）或（±

，0）D．（0，±

）或（±

，0）

　B　[解析]因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋＝1的焦点坐标为（0，±

），故选B．

2．（2017·

洛阳统考）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（，0），直线y＝x与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为（　　）

A.＋y2＝1　　　　　　B．x2＋＝1

C.＋＝1D．＋＝1

　C　[解析]依题意，设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），则有

，由此解得a2＝20，b2＝5，因此所求的椭圆方程是＋＝1.

3．椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为（　　）

　C　

[解析]PQ为过F1垂直于x轴的弦，

则Q，△PF2Q的周长为36.

所以4a＝36，a＝9.

由已知＝5，即＝5.

又a＝9，解得c＝6，解得＝，即e＝.

4．已知P为椭圆＋＝1上的一点，F1，F2为两焦点，M，N分别为圆（x＋3）2＋y2＝1和圆（x－3）2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为（　　）

A．5　　B．7

C．13D．15

　B　[解析]由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.

5．（2017·

湖北八校联考）设F1，F2分别为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为（　　）

　B　[解析]由题意知a＝3，b＝，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，因为OM⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2，所以|PF2|＝＝.又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所以|PF1|＝2a－|PF2|＝，所以＝×

＝，故选B．

6．（2017·

福建省毕业班质量检测）若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（　　）

　D　

[解析]不妨设椭圆的方程为＋＝1（a>

0），根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，因为|OB|＝a，所以|OA|＝a，所以点A的坐标为，又点A在椭圆上，所以＋＝1，所以a2＝3b2，所以a2＝3（a2－c2），所以3c2＝2a2，所以椭圆的离心率e＝＝，故选D．

7．（2017·

贵阳模拟）若椭圆＋＝1（a>

0）的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．

[解析]由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，

所以解得

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

8．（2017·

安徽黄山一模）已知圆（x－2）2＋y2＝1经过椭圆＋＝1（a>

0）的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e＝________．

[解析]圆（x－2）2＋y2＝1经过椭圆＋＝1（a>

0）的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F（1，0），一个顶点为A（3，0），所以c＝1，a＝3，因此椭圆的离心率为.

[答案]

9．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·

＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．

[解析]满足·

＝0的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有c<

b，即c2<

b2，又b2＝a2－c2，所以c2<

a2－c2，即2c2<

a2，所以e2<

，又因为0<

e<

1，所以0<

.

10．（2017·

安徽江南十校联考）椭圆C：

＋＝1（a>

0）的右顶点为A，经过原点O的直线l交椭圆C于P、Q两点，若|PQ|＝a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为________．

[解析]不妨设点P在第一象限，由对称性可得|OP|＝＝，在Rt△POA中，cos∠POA＝＝，故∠POA＝60°

，易得P，代入椭圆方程得：

＋＝1，故a2＝5b2＝5（a2－c2），则＝，所以离心率e＝.

11．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．

（1）与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点（2，－）；

（2）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．

[解]

（1）由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t1或＋＝t2（t1，t2＞0），因为椭圆过点（2，－），所以t1＝＋＝2，或t2＝＋＝.

故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

（2）由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）或＋＝1（a＞b＞0），

由已知条件得

解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.

故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

12．已知椭圆＋＝1（a>

0），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．

（1）若∠F1AB＝90°

，求椭圆的离心率．

（2）若＝2，·

＝，求椭圆的方程．

[解]

（1）若∠F1AB＝90°

，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.

（2）由题知A（0，b），F1（－c，0），F2（c，0），其中c＝，设B（x，y）．由＝2，得（c，－b）＝2（x－c，y），解得x＝，y＝－，即B.将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2①.又由·

＝（－c，－b）·

＝，得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1②.由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.所以椭圆的方程为＋＝1.

13．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P点在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°

，则a的值为（　　）

A．2　　B．3

C．4D．5

　B　[解析]b2＝2，c＝，故|F1F2|＝2，又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝2a－4，由余弦定理得cos120°

＝＝－，化简得8a＝24，即a＝3，故选B．

14．（2017·

陕西省五校联考）椭圆＋＝1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B．若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．

[解析]设椭圆的右焦点为F′，

如图，由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.

又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝