第八章第5讲 椭 圆Word下载.docx

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第八章第5讲 椭 圆Word下载.docx

离心率

e=,e∈(0,1)

a,b,c

的关系

c2=a2-b2

1.辨明两个易误点

(1)椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件,当2a=|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2,当2a<|F1F2|时,不存在轨迹.

(2)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置,而直接设方程为+=1(a>b>0).

2.求椭圆标准方程的两种方法

(1)定义法:

根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程.

(2)待定系数法:

若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a、b;

若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).

1.椭圆C:

+=1的左右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆C于A、B两点,则△F1AB的周长为(  )

A.12        B.16

C.20D.24

 C [解析]△F1AB的周长为

|F1A|+|F1B|+|AB|

=|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|

=2a+2a=4a.

在椭圆+=1中,a2=25,a=5,

所以△F1AB的周长为4a=20,故选C.

2.若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为(  )

A.+y2=1

B.+=1

C.+y2=1或+=1

D.以上答案都不对

 C [解析]直线与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0),

由题意知当焦点在x轴上时,c=2,b=1,

所以a2=5,所求椭圆的标准方程为+y2=1.

当焦点在y轴上时,b=2,c=1,

所以a2=5,所求椭圆的标准方程为+=1.故选C.

3.(2016·

高考全国卷乙)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为(  )

A.  B.

C.D.

 B [解析]不妨设直线l过椭圆的上顶点(0,b)和左焦点(-c,0),b>0,c>0,则直线l的方程为bx-cy+bc=0,由已知得=×

2b,解得b2=3c2,又b2=a2-c2,所以=,即e2=,所以e=(e=-舍去),故选B.

4.若方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是________.

[解析]由已知得解得3<

k<

5且k≠4.

[答案](3,4)∪(4,5)

5.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过点P(-5,4),则椭圆的标准方程为________.

[解析]由e=可得a2=5c2,所以b2=4c2,故椭圆的方程为+=1,将P(-5,4)代入可得c2=9,故椭圆的方程为+=1.

[答案]+=1

 椭圆的定义及应用[学生用书P168]

[典例引领]

 

(1)设F1,F2分别是椭圆E:

x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|=(  )

A.        B.1

(2)(2017·

徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C:

+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的面积为9,则b=________.

【解析】 

(1)设椭圆E:

+=1(0<

b<

1),知a=1,

因为|AF1|+|AF2|=2a=2,|BF1|+|BF2|=2a=2,

两式相加得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4,

所以|AF2|+|BF2|=4-(|AF1|+|BF1|)=4-|AB|.

因为|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,

所以2|AB|=|AF2|+|BF2|,

于是2|AB|=4-|AB|,

所以|AB|=.

(2)设|PF1|=r1,|PF2|=r2,

所以2r1r2=(r1+r2)2-(r+r)=4a2-4c2=4b2,

所以S△PF1F2=r1r2=b2=9,

所以b=3.

【答案】 

(1)C 

(2)3

本例

(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”,其他条件不变,求该椭圆的方程.

[解]由原题得b2=a2-c2=9,又2a+2c=18,所以a-c=1,解得a=5,故椭圆的方程为+=1.

(1)椭圆定义的应用范围

①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆.

②解决与焦点有关的距离问题.

(2)焦点三角形的应用

椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;

利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|;

通过整体代入可求其面积等. 

[通关练习]

1.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△PF1F2的面积为(  )

A.4  B.6

C.2D.4

 A [解析]因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=6,又因为|PF1|∶|PF2|=2∶1,所以|PF1|=4,|PF2|=2,又易知|F1F2|=2,显然|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,故△PF1F2为直角三角形,所以△PF1F2的面积为×

4=4.故选A.

2.已知两圆C1:

(x-4)2+y2=169,C2:

(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________.

[解析]设动圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,又|C1C2|=8<

16,所以动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,则a=8,c=4,所以b2=48,又焦点C1、C2在x轴上,故所求的轨迹方程为+=1.

 椭圆的标准方程[学生用书P168]

 

(1)(2017·

湖南省东部六校联考)已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则此椭圆方程为(  )

A.+=1      B.+=1

C.+y2=1D.+y2=1

(2)设F1,F2分别是椭圆E:

x2+=1(0<

1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的标准方程为________.

【解析】 

(1)依题意,可设椭圆的标准方程为+=1(a>

b>

0),由已知可得抛物线的焦点为(-1,0),所以c=1,又离心率e==,解得a=2,b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1.

(2)

不妨设点A在第一象限,如图所示.因为AF2⊥x轴,所以|AF2|=b2.

因为|AF1|=3|BF1|,

所以B.

将B点代入椭圆方程,

得+=1,所以c2+=1.

又因为b2+c2=1,所以

故所求的方程为x2+=1.

【答案】 

(1)A 

(2)x2+=1

 

1.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(-,-),则该椭圆的方程为________.

[解析]设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>

0,n>

0,且m≠n).

因为椭圆经过P1,P2两点,所以P1,P2点坐标适合椭圆方程,则

①②两式联立,解得

所以所求椭圆方程为+=1.

2.已知椭圆C1:

+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.则椭圆C2的方程为________.

[解析]法一(待定系数法):

由已知可设椭圆C2的方程为+=1(a>

2),其离心率为,故=,

解得a=4,故椭圆C2的方程为+=1.

法二(椭圆系法):

因椭圆C2与C1有相同的离心率,且焦点在y轴上,故设C2:

+x2=k(k>

0),即+=1.

又2=2×

2,故k=4,故C2的方程为+=1.

 椭圆的几何性质(高频考点)[学生用书P169]

椭圆的几何性质是高考的热点,高考中多以小题出现,试题难度一般较大.

高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度:

(1)由椭圆的方程研究其性质;

(2)由椭圆的性质求参数的值或范围;

(3)求离心率的值或范围.

 

(1)(2016·

高考全国卷丙)已知O为坐标原点,F是椭圆C:

+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(  )

A.        B.

合肥质检)如图,焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则·

的最大值为________.

【解析】 

(1)设E(0,m),则直线AE的方程为-+=1,由题意可知M,和B(a,0)三点共线,则=,

化简得a=3c,

则C的离心率e==.

(2)设P点坐标为(x0,y0).由题意知a=2,

因为e==,所以c=1,b2=a2-c2=3.

故所求椭圆方程为+=1.

所以-2≤x0≤2,-≤y0≤.

因为F(-1,0),A(2,0),

=(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0),

所以·

=x-x0-2+y=x-x0+1=(x0-2)2.

即当x0=-2时,·

取得最大值4.

【答案】 

(1)A 

(2)4

(1)求椭圆离心率的方法

①直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.

②列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解.

(2)利用椭圆几何性质的技巧

求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系. 

[题点通关]

角度一 由椭圆的方程研究其性质

1.已知椭圆+=1(a>

0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为(  )

A.(-3,0)        B.(-4,0)

C.(-10,0)D.(-5,0)

 D [解析]因为圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,

所以圆心坐标为(3,0),所以c=3.又b=4,

所以a==5.

因为椭圆的焦点在x轴上,

所以椭圆的左顶点为(-5,0).

角度二 由椭圆的性质求参数的值或范围

2.已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为,则实数m等于(  )

A.2  B.2或

C.2或6D.2或8

 D [解析]显然m>

0且m≠4,当0<

m<

4时,椭圆长轴在x轴上,则=,解得m=2;

当m>

4时,椭圆长轴在y轴上,则=,解得m=8.

角度三 求离心率的值或范围

3.(2017·

新余模拟)椭圆C的两个焦点分别是F1,F2,若C上的点P满足|PF1|=|F1F2|,则椭圆C的离心率e的取值范围是(  )

A.e≤  B.e≥

C.≤e≤D.0<

e≤或≤e<

1

 C [解析]因为椭圆C上的点P满足|PF1|=|F1F2|,所以|PF1|=×

2c=3c.

由a-c≤|PF1|≤a+c,解得≤≤.

所以椭圆C的离心率e的取值范围是.

 直线与椭圆的位置关系[学生用书P169]

 (2016·

高考全国卷甲改编)已知A是椭圆E:

+=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.

(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;

(2)当2|AM|=|AN|时,证明:

4k3-6k2+3k-8=0.

【解】 

(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.

由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.

又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.

将x=y-2代入+=1,得7y2-12y=0.

解得y=0或y=,所以y1=.

因此△AMN的面积S△AMN=2×

×

=.

(2)证明:

将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入+=1,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.

由x1·

(-2)=,得x1=,

故|AM|=|x1+2|=.

由题设,直线AN的方程为y=-(x+2),故同理可得|AN|=.

由2|AM|=|AN|,得=,

即4k3-6k2+3k-8=0.

(1)直线与椭圆位置关系判断的步骤

①联立直线方程与椭圆方程;

②消元得出关于x(或y)的一元二次方程;

③当Δ>0时,直线与椭圆相交;

当Δ=0时,直线与椭圆相切;

当Δ<0时,直线与椭圆相离.

(2)直线被椭圆截得的弦长公式

设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则

|AB|=

=(k为直线斜率,k≠0). 

 (2017·

河北省三市第二次联考)已知离心率为的椭圆+=1(a>

0)的一个焦点为F,过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A、B两点,|AB|=.

(1)求此椭圆的方程;

(2)已知直线y=kx+2与椭圆交于C、D两点,若以线段CD为直径的圆过点E(-1,0),求k的值.

[解]

(1)设焦距为2c,

因为e==,a2=b2+c2,所以=,

因为=,

所以b=1,a=,

所以椭圆方程为+y2=1.

(2)将y=kx+2代入椭圆方程,得(1+3k2)x2+12kx+9=0,又直线与椭圆有两个交点,所以Δ=(12k)2-36(1+3k2)>

0,解得k2>

1.

设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,若以CD为直径的圆过E点,则·

=0,即(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,而y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,则(x1+1)(x2+1)+y1y2=(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=-+5=0,

解得k=,满足k2>

1.所以k=.

[学生用书P170]

——数形结合思想在椭圆求值中的应用

 (经典考题)已知椭圆C:

+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________.

【解析】 椭圆+=1中,a=3.

如图,设MN的中点为D,

则|DF1|+|DF2|=2a=6.

因为D,F1,F2分别为MN,AM,BM的中点,

所以|BN|=2|DF2|,|AN|=2|DF1|,

所以|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=12.

【答案】 12

 

(1)本题利用了数形结合的思想,把DF1和DF2分别看作△MAN和△MNB的中位线,再结合椭圆定义即可求解.

(2)在求解有关圆锥曲线焦点问题时,结合图形,注意动点到两焦点距离的转化.

 1.过椭圆+=1的中心任意作一条直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则△PQF周长的最小值是(  )

A.14        B.16

C.18D.20

 C [解析]如图,设F1为椭圆的左焦点,右焦点为F2,根据椭圆的对称性可知|F1Q|=|PF2|,|OP|=|OQ|,所以△PQF1的周长为|PF1|+|F1Q|+|PQ|=|PF1|+|PF2|+2|PO|=2a+2|PO|=10+2|PO|,易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长,即点P,Q为椭圆的上下顶点时,△PQF1即△PQF的周长取得最小值为10+2×

4=18.

2.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为________.

[解析]如图,

|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,易知点M在椭圆外,连接MF2并延长交椭圆于P点,此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+|PF1|的最大值为10+|MF2|=10+=15.

[答案]15

[学生用书P366(独立成册)]

1.(2017·

江西五市八校二模)已知正数m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的焦点坐标为(  )

A.(±

,0)       B.(0,±

C.(±

,0)或(±

,0)D.(0,±

)或(±

,0)

 B [解析]因为正数m是2和8的等比中项,所以m2=16,即m=4,所以椭圆x2+=1的焦点坐标为(0,±

),故选B.

2.(2017·

洛阳统考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(,0),直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2,则椭圆方程为(  )

A.+y2=1      B.x2+=1

C.+=1D.+=1

 C [解析]依题意,设椭圆方程为+=1(a>b>0),则有

,由此解得a2=20,b2=5,因此所求的椭圆方程是+=1.

3.椭圆的焦点为F1,F2,过F1的最短弦PQ的长为10,△PF2Q的周长为36,则此椭圆的离心率为(  )

 C 

[解析]PQ为过F1垂直于x轴的弦,

则Q,△PF2Q的周长为36.

所以4a=36,a=9.

由已知=5,即=5.

又a=9,解得c=6,解得=,即e=.

4.已知P为椭圆+=1上的一点,F1,F2为两焦点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为(  )

A.5  B.7

C.13D.15

 B [解析]由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.

5.(2017·

湖北八校联考)设F1,F2分别为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为(  )

 B [解析]由题意知a=3,b=,c=2.设线段PF1的中点为M,则有OM∥PF2,因为OM⊥F1F2,所以PF2⊥F1F2,所以|PF2|==.又因为|PF1|+|PF2|=2a=6,所以|PF1|=2a-|PF2|=,所以=×

=,故选B.

6.(2017·

福建省毕业班质量检测)若椭圆上存在三点,使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为(  )

 D 

[解析]不妨设椭圆的方程为+=1(a>

0),根据椭圆与正方形的对称性,可画出满足题意的图形,如图所示,因为|OB|=a,所以|OA|=a,所以点A的坐标为,又点A在椭圆上,所以+=1,所以a2=3b2,所以a2=3(a2-c2),所以3c2=2a2,所以椭圆的离心率e==,故选D.

7.(2017·

贵阳模拟)若椭圆+=1(a>

0)的离心率为,短轴长为4,则椭圆的标准方程为________.

[解析]由题意可知e==,2b=4,得b=2,

所以解得

所以椭圆的标准方程为+=1.

8.(2017·

安徽黄山一模)已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆+=1(a>

0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e=________.

[解析]圆(x-2)2+y2=1经过椭圆+=1(a>

0)的一个顶点和一个焦点,故椭圆的一个焦点为F(1,0),一个顶点为A(3,0),所以c=1,a=3,因此椭圆的离心率为.

[答案]

9.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足·

=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是________.

[解析]满足·

=0的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆,若其总在椭圆内部,则有c<

b,即c2<

b2,又b2=a2-c2,所以c2<

a2-c2,即2c2<

a2,所以e2<

,又因为0<

e<

1,所以0<

.

10.(2017·

安徽江南十校联考)椭圆C:

+=1(a>

0)的右顶点为A,经过原点O的直线l交椭圆C于P、Q两点,若|PQ|=a,AP⊥PQ,则椭圆C的离心率为________.

[解析]不妨设点P在第一象限,由对称性可得|OP|==,在Rt△POA中,cos∠POA==,故∠POA=60°

,易得P,代入椭圆方程得:

+=1,故a2=5b2=5(a2-c2),则=,所以离心率e=.

11.分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程.

(1)与椭圆+=1有相同的离心率且经过点(2,-);

(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P到两焦点的距离分别为5,3,过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点.

[解]

(1)由题意,设所求椭圆的方程为+=t1或+=t2(t1,t2>0),因为椭圆过点(2,-),所以t1=+=2,或t2=+=.

故所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.

(2)由于焦点的位置不确定,所以设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0),

由已知条件得

解得a=4,c=2,所以b2=12.

故椭圆方程为+=1或+=1.

12.已知椭圆+=1(a>

0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB=90°

,求椭圆的离心率.

(2)若=2,·

=,求椭圆的方程.

[解]

(1)若∠F1AB=90°

,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,e==.

(2)由题知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,设B(x,y).由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),解得x=,y=-,即B.将B点坐标代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3c2①.又由·

=(-c,-b)·

=,得b2-c2=1,即有a2-2c2=1②.由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆的方程为+=1.

13.如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P点在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°

,则a的值为(  )

A.2  B.3

C.4D.5

 B [解析]b2=2,c=,故|F1F2|=2,又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2a-4,由余弦定理得cos120°

==-,化简得8a=24,即a=3,故选B.

14.(2017·

陕西省五校联考)椭圆+=1(a为定值,且a>)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B.若△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是________.

[解析]设椭圆的右焦点为F′,

如图,由椭圆定义知,|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a.

又△FAB的周长为|AF|+|BF|+|AB|≤|AF|+|BF|+|AF′|+|BF′|=

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