秋人教版八年级数学上册随课练123 角的平分线的性质拓展练习文档格式.docx
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3D.3:
5
6.如图,在△ABC中,∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D.则下列结论正确的是( )
A.AD平分BC
B.AD平分∠CAB
C.AD平分∠CDB
D.AD⊥BC
7.已知:
如图,∠GBC,∠BAC的平分线相交于点F,BE⊥CF于H,若∠AFB=40°
,∠BCF的度数为( )
A.40°
B.50°
C.55°
D.60°
8.如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等.若∠A=40°
,则∠BOC等于( )
A.110°
B.115°
C.125°
D.130°
9.如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,△ABC的面积是15,AB=9,BC=6,则DE的长为( )
A.1B.3C.2D.4
10.如图,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS.下列结论:
①点P在∠A的角平分线上;
②AS=AR;
③QP∥AR;
④△BRP≌△QSP.其中,正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
11.如图,△AOB的外角∠CAB,∠DBA的平分线AP,BP相交于点P,PE⊥OC于E,PF⊥OD于F,下列结论:
(1)PE=PF;
(2)点P在∠COD的平分线上;
(3)∠APB=90°
-∠O,其中正确的有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
二、填空题
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AD平分∠BAC交BC于点D,若AB=5,DC=2,则△ABD的面积为 .
13.如图,△ABC的周长为12,
,
的平分线相交于点O,
于点D,且
,则
________.
14.如图,若BD⊥AE于B,DC⊥AF于C,且DB=DC,∠BAC=40°
,∠ADG=130°
,则∠DGF= .
15.如图所示,已知△ABC的周长是10,OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=1,则△ABC的面积是
三、解答题
16.如图.已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB于R,AB=7,BC=8,AC=9.
(1)求BP、CQ、AR的长.
(2)若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证:
OE=OF.
17.如图,点P是∠MON中一点,PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,连接AB,∠PAB=∠PBA.求证:
OP平分∠MON.
18.已知:
如图,BP、CP分别是△ABC的外角平分线,PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N.求证:
PA平分∠MAN.
19.如图1,点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合),分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE,CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE=30°
,连接AE交CD于点M,连接BD交CE于点N,AE与BD交于点P,连接CP.
(1)线段AE与DB的数量关系为 ;
请直接写出∠APD= ;
(2)将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置,其他条件不变,探究线段AE与DB的数量关系,并说明理由;
求出此时∠APD的度数;
(3)在
(2)的条件下求证:
∠APC=∠BPC.
20.如图,△ABC中,∠ACB=90°
,AB=10cm,BC=6cm,若点P从点A出发以每秒1cm的速度向点C运动,设运动时间为t秒(t>0).
(1)若点P恰好在∠ABC的角平分线上,求出此时t的值;
(2)若点P使得PB+PC=AC时,求出此时t的值.
21.已知AB∥CD,点E为平面内一点,BE⊥CE于E,
(1)如图1,请直接写出∠ABE和∠DCE之间的数量关系;
(2)如图2,过点E作EF⊥CD,垂足为F,求证:
∠CEF=∠ABE;
(3)如图3,在
(2)的条件下,作EG平分∠CEF交DF于点G,作ED平分∠BEF交CD于D,连接BD,若∠DBE+∠ABD=180°
,且∠BDE=3∠GEF,求∠BEG的度数.
答案
1.D
2.D
3.B
4.D
5.A
6.B
7.B
8.A
9.C
10.D
11.C
12.5
13.12
14.150°
15.5
16.解:
连接AO,OB,OC,
∵OP⊥BC,OQ⊥AC,OR⊥AB,∠A、∠B的角平分线交于点O,
∴OR=OQ,OR=OP,
∴由勾股定理得:
AR2=OA2﹣OR2,AQ2=AO2﹣OQ2,
∴AR=AQ,
同理BR=BP,CQ=CP,
即O在∠ACB角平分线上,
设BP=BR=x,CP=CQ=y,AQ=AR=z,AB=7,BC=8,AC=9
则
x=3,y=5,z=4,
∴BP=3,CQ=5,AR=4.
(2)过O作OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,
∵O在∠A的平分线,
∴OM=ON,∠ANO=∠AMO=90°
∵∠A=60°
∴∠NOM=120°
∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上,
∴∠EBC+∠FCB=
(∠ABC+∠ACB)=
×
(180°
﹣∠A)=60°
∴∠FON=∠EOM,
在△FON和△EOM中,
∠ONF=∠OME,ON=OM,∠FON=∠EOM,
∴△FON≌△EOM,
∴OE=OF.
17.证明:
∵∠PAB=∠PBA,
∴PA=PB,
∵PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,
∴OP平分∠MON.
18.作PD⊥BC于点D,
∵BP是△ABC的外角平分线,PM⊥AB,PD⊥BC,
∴PM=PD,
同理,PN=PD,
∴PM=PN,又PM⊥AB,PN⊥AC,
∴PA平分∠MAN.
19.
(1)解:
如图1中,
∵∠ACD=∠BCE,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
∴∠ACE=∠DCB,
又∵CA=CD,CE=CB,
∴△ACE≌△DCB.
∴AE=BD,∴CAE=∠CDB,
∵∠AMC=∠DMP,
∴∠APD=∠ACD=30°
故答案为AE=BD,30°
(2)如图2中,结论:
AE=BD,∠APD=30°
.
理由:
∵∠AMP=∠DMC,
(3)如图2﹣1中,分别过C作CH⊥AE,垂足为H,过点C作CG⊥BD,垂足为G,
∵△ACE≌△DCB.
∴AE=BD,
∵S△ACE=S△DCB
∴CH=CG,
∴∠DPC=∠EPC
∵∠APD=∠BPE,
∴∠APC=∠BPC.
20.
(1)5;
(2)6.25
21.解:
(1)结论:
∠DCE=90°
+∠ABE.
如图1中,从BE交DC的延长线于H.
∵AB∥CH,
∴∠ABE=∠H,
∵BE⊥CE,
∴∠CEH=90°
∴∠DCE=∠H+∠CEH=90°
+∠H,
∴∠DCE=90°
(2)如图2中,作EM∥CD,
∵EM∥CD,CD∥AB,
∴AB∥CD∥EM,
∴∠BEM=∠ABE,∠F+∠FEM=180°
∵EF⊥CD,
∴∠F=90°
∴∠FEM=90°
∴∠CEF与∠CEM互余,
∴∠BEC=90°
∴∠BEM与∠CEM互余,
∴∠CEF=∠BEM,
∴∠CEF=∠ABE.
(3)如图3中,设∠GEF=α,∠EDF=β.
∴∠BDE=3∠GEF=3α,
∵EG平分∠CEF,
∴∠CEF=2∠FEG=2α,
∴∠ABE=∠CEF=2α,
∵AB∥CD∥EM,
∴∠MED=∠EDF=β,∠KBD=∠BDF=3α+β,∠ABD+∠BDF=180°
∴∠BED=∠BEM+∠MED=2α+β,
∵ED平分∠BEF,
∴∠BED=∠FED=2α+β,
∴∠DEC=β,
∵∠BEC=90°
∴2α+2β=90°
∵∠DBE+∠ABD=180°
,∠ABD+∠BDF=180°
∴∠DBE=∠BDF=∠BDE+∠EDF=3α+β,
∵∠ABK=180°
∴∠ABE+∠B=DBE+∠KBD=180°
即2α+(3α+β)+(3α+β)=180°
∴6α+(2α+2β)=180°
∴α=15°
∴∠BEG=∠BEC+∠CEG=90°
+15°
=105°
.