矩形专题培优训练Word文件下载.docx

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2，则∠BDE的度数为（　　）

36°

18°

27°

9°

3．（2007?

莱芜）如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（　　）

8

4．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°

，则∠AEF=（　　）

60°

70°

75°

80°

5．如图，矩形纸片ABCD的边AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，则折叠后DE的长与折痕EF的长分别为（　　）

4，

5，

4，2

5，2

6．已知下列命题中：

（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；

（2）两条对角线相等的四边形是矩形；

（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；

（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（　　）

4个

3个

2个

1个

7．（2007?

河池）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为（　　）

2

1

二．填空题（共7小题）

8．（2009?

长春）如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α=　_________　度．

9．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1　_________　S2；

（填“＞”或“＜”或“=”）

10．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于　_________　．

11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°

，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是　_________　．

12．如图在△ABC中，BC=8，AC=6，AB=10，它们的中点分别是点D、E、F，则CF的长为　_________　．

13．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是　_________　．

14．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为　_________　．

三．解答题（共16小题）

15．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，P是BC延长线上一点，PE⊥AB交BA延长线于E，PF⊥AC交AC延长线于F，D为BC中点，连接DE，DF．求证：

DE=DF．

16．如图，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=8cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？

21．（2008?

咸宁）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）求证：

EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

并证明你的结论．

23．如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s．

（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？

说明理由；

（2）点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？

如能，求出此时的运动时间t的值；

如不能，请说明理由．

24．如图所示．矩形ABCD中，F在CB延长线上，且BF=BC，E为AF中点，CF=CA．求证：

BE⊥DE．

初二下矩形专题培优训练

参考答案与试题解析

考点：

矩形的性质；

角平分线的性质；

等腰三角形的性质；

等边三角形的性质．

分析：

这是一个特殊的矩形：

对角线相交成60°

的角．利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答．

解答：

解：

∵AB=1，AD=

，

∴BD=AC=2，OB=OA=OD=OC=1．

∴OB=OA=OD=OC=AB=CD=1，

∴△OAB，△OCD为等边三角形．

∵AF平分∠DAB，

∴∠FAB=45°

，即△ABF是一个等腰直角三角形．

∴BF=AB=1，BF=BO=1．

∴∠CAH=45°

﹣30°

=15°

．

∵∠ACE=30°

（正三角形上的高的性质）

∴∠AHC=15°

∴CA=CH

由正三角形上的高的性质可知：

DE=OD÷

2，OD=OB，

∴BE=3ED．

故选D．

点评：

本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质．

三角形内角和定理．

本题首先根据∠ADE：

2可推出∠ADE以及∠EDC的度数，然后求出△ODC各角的度数便可求出∠BDE．

已知∠ADE：

2?

∠ADE=54°

，∠EDC=36°

又因为DE⊥AC，所以∠DCE=90°

﹣36°

=54°

根据矩形的性质可得∠DOC=180°

﹣2×

54°

=72°

所以∠BDE=180°

﹣∠DOC﹣∠DEO=18°

故选B．

本题考查的是三角形内角和定理以及矩形的性质，难度一般．

矩形的性质．

专题：

操作型．

先图形折叠的性质得到BF=EF，AE=AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再求出∠EAD的度数，设FE=x，则AF=2x，在△ADE中利用勾股定理即可求解．

由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，

因为CD=6，E为CD中点，故ED=3，

又因为AE=AB=CD=6，

所以∠EAD=30°

则∠FAE=

（90°

）=30°

设FE=x，则AF=2x，

在△AEF中，根据勾股定理，（2x）2=62+x2，

x2=12，x1=2

，x2=﹣2

（舍去）．

AF=2

×

2=4

故选A．

解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质解答．

计算题．

根据矩形的性质，求出∠EAF=15°

，从而得出∠AEF的度数即可．

∵∠EAF是∠DAE折叠而成，

∴∠EAF=∠DAE，∠ADC=∠AFE=90°

，∠EAF=

=

在△AEF中∠AFE=90°

，∠EAF=15°

∠AEF=180°

﹣∠AFE﹣∠EAF=180°

﹣90°

﹣15°

=75°

故选C．

本题考查了矩形的性质，图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，复合的部分就是对应量．

勾股定理；

翻折变换（折叠问题）．

利用直角三角形ABE可求得BE，也就是DE长，构造EF为斜边的直角三角形，进而利用勾股定理求解．

连接BD交EF于点O，连接DF．

根据折叠，知BD垂直平分EF．

根据ASA可以证明△DOE≌△BOF，

得OD=OB．

则四边形BEDF是菱形．

设DE=x，则CF=9﹣x．

在直角三角形DCF中，根据勾股定理，得：

x2=（9﹣x）2+9．

解得：

x=5．

在直角三角形BCD中，根据勾股定理，得BD=3

，则OB=

在直角三角形BOF中，根据勾股定理，得OF=

，则EF=

此题主要是能够根据对角线互相垂直平分得菱形DEBF，根据菱形的性质得到边之间的关系，熟练运用勾股定理进行计算．

矩形的判定与性质．

根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数．

已知如图：

（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；

（2）只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；

故该选项错误；

（3）所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；

（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；

所以其中正确的有

（1）和（4）．

本题考查了矩形的轴对称性以及矩形的性质和矩形的判定，准确掌握其性质和判定是解题的关键．

相似三角形的判定与性质．

动点型．

根据△AEP∽△ADC；

△DFP∽△DAB找出关系式解答．

设AP=x，PD=4﹣x．

∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ADC；

∴△AEP∽△ADC，故

①；

同理可得△DFP∽△DAB，故

②．

①+②得

∴PE+PF=

．故选A．

此题比较简单，根据矩形的性质及相似三角形的性质解答即可．

长春）如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α=　25　度．

平行线的性质；

计算题；

证明题．

建立已知角和未知角之间的联系是关键．作平行线的截线，根据平行线的性质建立它们之间的联系．

延长DC交直线m于E．

∵l∥m，∴∠CEB=65°

在Rt△BCE中，∠BCE=90°

，∠CEB=65°

∴∠α=90°

﹣∠CEB=90°

﹣65°

=25°

此题很简单，只要熟知两直线平行的性质及三角形内角和定理即可．

9．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1　=　S2；

三角形的面积；

三角形中位线定理．

证明题；

几何综合题．

根据矩形的性质，首先设矩形的边长分别为a，b，S1的边长分别为x，y，利用比例得出xy=ab﹣by．要使矩形的面积最大，故让S1的边长分别是△ABC，△ADC的中位线，得出边长的值，然后求出面积即可（也可用矩形的对角线平分矩形的面积分析得出答案）．

设矩形ABCD的边长分别为a，b，S1的边长分别为x，y．

∵MK∥AD

∴

，即

，则x=

?

a．

同理：

y=

b．

则S1=xy=

ab．

同理S2=

所以S1=S2．故答案为S1=S2．

本题的关键是利用函数分析最大取值，即都是三角形的中位线．然后利用三角形的面积公式即可求得相等．

10．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于　

　．

全等三角形的判定与性质；

平行四边形的判定与性质．

连接EG、FH，易证得△AEF≌△CHG，△FHD≌△GEB，即可得FH=EG、EF=GH，由此可证得四边形EFHG是平行四边形，可过P作EF、GH的垂线，可发现所求的两个三角形的面积和实际等于平行四边形EFHG面积的一半，按此思路进行求解即可．

连接FH、EG；

∵AF=CG=2，AE=CH=4﹣1=3，∠A=∠C=90°

∴△AEF≌△CHG，S△AEF=S△CHG=3；

同理可证：

△FHD≌△GEB，S△FHD=S△GEB=1.5；

∴FH=EG，EF=GH，即四边形EFHG是平行四边形；

且S平行四边形=S矩形﹣2S△AEF﹣2S△FHD=11；

过P作EF、GH的垂线，交EF于M，GH于N；

则S△EFP+S△GHP=

EF（PM+PN）=

EF?

MN=

S?

EFHG=

故答案为：

此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及图形面积的求法，能够判断出四边形EFHG是平行四边形是解答此题的关键所在．

，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是　

矩形的判定与性质；

垂线段最短；

勾股定理．

根据勾股定理求出AB，证矩形EPFC，推出EF=CP，过C作CD⊥AB，得到CD=EF，求出CD的长即可．

连接CP，

∵∠ACB=90°

，AC=3，BC=4，由勾股定理得：

AB=5，

∵PE⊥AC，PF⊥BC，

∴∠PEC=∠PFC=∠ACB=90°

∴四边形EPFC是矩形，

∴EF=CP，

即EF表示C与边AB上任意一点的距离，

根据垂线段最短，

过C作CD⊥AB，

当EF=DC最短，

根据三角形面积公式得：

AC×

BC=

AB×

CD，

∴CD=

本题主要考查对矩形的性质和判定，三角形的面积，垂线段最短，勾股定理等知识点的理解和掌握，能得到CD=EF是解此题的关键．

12．如图在△ABC中，BC=8，AC=6，AB=10，它们的中点分别是点D、E、F，则CF的长为　5　．

勾股定理的逆定理；

利用勾股定理的逆定理可以推知∠ACB=90°

；

然后利用三角形中位线定理可以求得平行四边形CEFD是矩形、EF与CE的长度；

最后在直角三角形DFC中利用勾股定理求得CF的长度．

∵在△ABC中，BC=8，AC=6，AB=10，

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠ACB=90°

又∵点D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，

∴EF∥BC，且EF=

BC=4，

FD∥AC，且FD=

AC=3，

∴四边形CEFD是矩形，

∴EF=CD，

∴CF=

=5；

故答案是：

5．

本题综合考查了矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理、三角形中位线定理．解答该题的突破口是根据已知条件“在△ABC中，BC=8，AC=6，AB=10”利用勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形．

13．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是　12　．

根据E、F、G、H分别是各边的中点，利用三角形中位线定理求出EH和EF，判定四边形EFGH是矩形，然后即可四边形EFGH的面积．

∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，

∴EH∥BD且EH=

BD，FG∥BD且=

BD，

∴EH∥FG，EH=FG，

同理EF∥HG，EF=HG，

又∵AC⊥BD，

∴四边形EFGH是矩形，

∴四边形EFGH=EF×

EH=

BD=

8×

6=12．

此题主要考查学生对三角形中位线定理和矩形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于中档题．

14．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为　

翻折变换（折叠问题）；

根据勾股定理可得BD=5，由折叠的性质可得△ADG≌△A'

DG，则A'

D=AD=3，A'

G=AG，则A'

B=5﹣3=2，在Rt△A'

BG中根据勾股定理求AG的即可．

在Rt△ABD中，AB=4，AD=3，

∴BD=

=5，

由折叠的性质可得，△ADG≌△A'

DG，

∴A'

G=AG，

B=BD﹣A'

D=5﹣3=2，

设AG=x，则A'

G=AG=x，BG=4﹣x，

在Rt△A'

BG中，x2+22=（4﹣x）2

解得x=

即AG=

此题主要考查折叠的性质，综合利用了勾股定理的知识．认真分析图中各条线段的关系，也是解题的关键．

三角形内角和定理；

全等三角形的判定与性质．

连接AD，由题意可判断出四边形AEPF是矩形，再根据矩形的性质可得出AE=FP，由Rt△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，D为BC中点可得出AD=BC，∠1=∠2=45°

=∠3，再由全等三角形的判定定理可得出△ADE≌△CDF，进而可得出结论．

证明：

连接AD（如图），

∵∠BAC=90°

，PE⊥AB，PF⊥AC

∴四边形AEPF是矩形，

∴AE=FP，

∵AB=AC，∠BAC=90°

，D为BC中点，

∴AD=DC，∠1=∠2=45°

=∠3，

∴∠EAD=∠FCD=135°

，∠CPF=45°

∴CF=PF=AE，

∴△ADE≌△CDF（SAS）

∴DE=DF．

本题考查的是矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，涉及面较广，难度适中．

求出CQ=2t，AP=4t，BP=24﹣4t，由已知推出∠B=∠C=90°

，CD∥AB，推出CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，得出方程2t=24﹣4t，求出即可．

根据题意得：

CQ=2t，AP=4t，

则BP=24﹣4t，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°

，CD∥AB，

∴只有CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，

即2t=24﹣4t，

t=4，

答：

当t=4s时，四边形QPBC是矩形．

本题考查了矩形的性质和判定的应用，主要考查学生的理解能力和运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF