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5、R------------球罐体的半径

6、k------------相同储油量时未变位和纵向变位油面高度差与变位角度α的比例系数

五、模型的建立与求解

5.1储油罐储油量与油面高度之间的数学模型

通过对问题的分析，我们试图找到罐体无变位时储油量与油面高度和罐体变位时储油量与油面高度的一种函数关系。

为此，我们将附件1中的数据录入到计算机中，并进行曲线拟合，分别建立不同的回归方程，结果发现二次曲线的拟合度最高（见图1）。

无变位数据散点图

变位后数据散点图

图1

然后我们把进油和出油这两种不同的情形的数据录入到一个图形中，发现图形基本吻合，因此，我们可以用进油的数据得出储油量和油面高度的曲线方程：

无变位时：

V=-4.822e-004*h^2+4.498*h-515.4①

变位时：

V=-5.287e-005*h^2+4.255*h-806②

根据表达式，我们画出无变位和变位时曲线方程的图形（见图2），

图2进油实验散点图比较

由图形可以看出，当罐容值相同时，变位后的油面高度偏高，并且当油面高度趋近于零时，储油量为负值。

这是因为油管下方距罐底还有一定距离。

当油面低于油管下部时，外界无法获取油，因此认定此时油罐已空，而事实上罐内还存有油。

我们根据无变位时储油量与油面高度的关系式标注倾斜角为α=4.1。

纵向变位时油面高度间隔为1cm的罐容表标定值。

表1高度间隔为1cm的罐容表标定值

油位高度（mm）

变位前标定值（L）

变位后标定值（L）

-515.406

-805.978

10

-470.469

-763.429

20

-425.629

-720.892

30

-380.885

-678.364

40

-336.238

-635.848

50

-291.687

-593.342

60

-247.232

-550.846

70

-202.874

-508.361

80

-158.613

-465.887

90

-114.448

-423.423

100

-70.3789

-380.97

110

-26.4067

-338.527

120

17.4691

-296.095

130

61.2485

-253.673

140

104.931

-211.262

150

148.518

-168.862

160

192.008

-126.472

170

235.401

-84.093

180

278.699

-41.7244

190

321.899

0.633672

200

365.004

42.9812

210

408.011

85.3181

220

450.923

127.644

230

493.738

169.96

240

536.456

212.265

250

579.078

254.56

260

621.604

296.844

270

664.033

339.118

280

706.366

381.381

290

748.602

423.633

300

790.742

465.875

310

832.785

508.106

320

874.732

550.326

330

916.583

592.537

340

958.337

634.736

350

999.994

676.925

360

1041.56

719.103

370

1083.02

761.271

380

1124.39

803.428

390

1165.66

845.575

400

1206.84

887.711

410

1247.91

929.836

420

1288.9

971.951

430

1329.78

1014.06

440

1370.57

1056.15

450

1411.27

1098.23

460

1451.86

1140.31

470

1492.36

1182.37

480

1532.77

1224.42

490

1573.07

1266.46

500

1613.29

1308.49

510

1653.4

1350.51

520

1693.42

1392.52

530

1733.34

1434.52

540

1773.17

1476.51

550

1812.89

1518.48

560

1852.53

1560.45

570

1892.06

1602.41

580

1931.5

1644.35

590

1970.85

1686.29

600

2010.09

1728.21

610

2049.24

1770.13

620

2088.3

1812.03

630

2127.25

1853.92

640

2166.11

1895.8

650

2204.88

1937.68

660

2243.55

1979.54

670

2282.12

2021.39

680

2320.59

2063.23

690

2358.97

2105.06

700

2397.25

2146.88

710

2435.44

2188.68

720

2473.53

2230.48

730

2511.52

2272.27

740

2549.42

2314.05

750

2587.22

2355.81

760

2624.92

2397.57

770

2662.53

2439.31

780

2700.04

2481.05

790

2737.45

2522.77

800

2774.77

2564.48

810

2811.99

2606.18

820

2849.12

2647.88

830

2886.15

2689.56

840

2923.08

2731.23

850

2959.91

2772.89

860

2996.65

2814.54

870

3033.29

2856.18

880

3069.84

2897.81

890

3106.29

2939.42

900

3142.64

2981.03

910

3178.9

3022.63

920

3215.06

3064.22

930

3251.13

3105.79

940

3287.09

3147.36

950

3322.96

3188.91

960

3358.74

3230.45

970

3394.42

3271.99

980

3430

3313.51

990

3465.48

3355.02

1000

3500.87

3396.52

1010

3536.17

3438.02

1020

3571.36

3479.5

1030

3606.46

3520.97

1040

3641.46

3562.43

1050

3676.37

3603.87

1060

3711.18

3645.31

1070

3745.9

3686.74

1080

3780.51

3728.16

1090

3815.03

3769.56

1100

3849.46

3810.96

1110

3883.79

3852.34

1120

3918.02

3893.72

1130

3952.15

3935.08

1140

3986.19

3976.44

1150

4020.13

4017.78

1160

4053.98

4059.11

1170

4087.73

4100.43

1180

4121.38

4141.75

1190

4154.94

4183.05

1200

4188.4

4224.34

然后我们对这两个曲线方程进行分析，试图找到在相同储油量的情况下，无变位时油面高度和有变位时油面高度以及倾斜角之间的关系。

我们求出21组不同储油量情形下对应的油面高度（见表2），对数据进行分析，发现高度差基本为一定值，Δh=65.7。

很明显，这是因为倾斜角的影响，即Δh=k·

α。

因此可以得到比例系数k=16.02。

表2储油量相同时油面高度比较

储油量（L）

无变位油面高度（mm）

变位油面高度（mm）

平均高度差Δh（mm）

312

187.8

264

65.7

462

222.7

299

612

257.9

335

762

293.3

912

329.1

406

1062

365.1

441

1212

401.5

477

1362

438.2

513

1512

475.1

549

1662

512.5

584

1812

550.1

1962

588.1

656

2112

626.5

692

2262

665.2

728

2365.83

691.9

752

2467.06

718.4

779

2617.06

758.0

813

2718.83

785.1

837

2868.83

825.4

876

3018.83

866.2

909

3168.83

907.3

945

5.2罐体变位后标定罐容表的数学模型

我们先看只发生纵向倾斜（倾斜角为α）的情况。

由上面的分析，我们可以得到在相同的储油量时纵向倾斜时油面高度h纵与未变位时油面高度h未的关系式：

h纵-h未=Δh③

又Δh=k·

α，④

又k在上面已经求出，k=16.02

我们再在发生纵向倾斜的基础上再发生横向倾斜（倾斜角为β）的情况。

由分析知，我们可以得到

⑤

由①和②

得

⑥

⑦

⑧

⑨

又由于

，（-1.5<

z<

1.5）很难积分，而

近似值为0.89，多以做出

的图像与

图像

利用MATLAB做出以下图像

图3图像比较

由图像知二者基本等效。

最后求V=H（h未，α，β），具体关系为

⑩

最后我们来求α，β的值

我们预先能确定α，β的取值范围，在其取值范围内取一定步长，α，β都以该步长变化，求在不同高度下体积的变化情况，直到找到体积改变与附件2中出油量数据基本相同时，确定此时α，β的值，之后将α，β的值代入V=H（h未，α，β）中，得到只有体积与液面高度的函数关系式V=H（h未），于是对附件2上给出的油面高度，我们可求得此时油罐内储油量。

再通过储油量计算出每一次从油罐内抽出油的体积，并将此体积与实际值进行比较，来对未知参数α，β进行验证。

我们从附录2中随机取5组数据，如表3所示。

表3随机抽取5组数据

组别

第一组

第二组

第三组

第四组

第五组

表中位置

（2,3）

（17,18）

（36,37）

（78,79）

（311,312）

液面测量高度

（2632.23,

2624.30）

（2528.01,

2521.63）

（2382.50,

2374.35）

（2063.17,

2058.14）

（2449.29,

2439.11）

输入到程序[7]中，算出α=3.61，β=2.41。

求得α，β的值后，将其代入储油量与油位高度及变位参数α，β的关系式中，再将附表2中的显示油高输入到程序中求得对应的储油量，求得每一时刻抽出或注入的油量。

5.3油位高度间隔为10cm的罐容表标定

设初始测得油面高度为470mm,以每次增加高度10cm，代入模型，计算出其对应的油容量，计算到高度为2570mm为止。

代入模型计算得到罐容表见下表4：

表4变位后间隔10cm标定罐容表

序号

油面高度/mm

储油量/L

1

4187.1

9

1270

22268

17

2070

43746

2

5917.9

1370

24943

18

2170

46265

3

7856.7

11

1470

27650

19

2270

48697

4

9968

12

1570

30375

2370

51024

5

12224

13

1670

33103

21

2470

53227

6

14602

14

1770

35818

22

2570

55288

7

17081

15

1870

38507

8

19652

16

1970

41155

六、模型评价

此模型具有实用价值，简单易行，能较快的对储油罐变位识别和罐容表标定，避免了对油罐复杂容积的计算。

对加油站的实际操作具有指点意义。

参考资料

[1]姜启源、谢金星，《数学模型》，北京，高等教育出版社，2003年。

[2]叶其孝，《大学生数学建模竞赛辅导》,湖南教育出版社，1993年。

[3]周品，《MATLAB数值分析》,机械工业出版社，2009年。

附录1

无变量出油求和进油散点图的程序：

>

h=[159.02176.14192.59208.50223.93238.97253.66268.04282.16296.03309.69323.15336.44349.57362.56375.42388.16400.79413.32425.76438.12450.40462.62474.78486.89498.95510.97522.95534.90546.82558.72570.61582.48594.35606.22618.09629.96641.85653.75665.67677.63678.54690.53690.82702.85714.91727.03739.19751.42763.70764.16776.53788.99801.54814.19826.95839.83852.84866.00879.32892.82892.84906.53920.45934.61949.05963.80978.91994.431010.431026.991044.251062.371081.591102.331125.321152.361193.49];

v=[3123624124625125626126627127628128629129621012106211121162121212621312136214121462151215621612166217121762181218621912196220122062211221622212226223122315.832365.832367.062417.062467.062517.062567.062617.062666.982668.832718.832768.832818.832868.832918.832968.833018.833068.833118.833168.833168.913218.913268.913318.913368.913418.913468.913518.913568.913618.913668.913718.913768.913818.913868.913918.913968.91];

h1=[142.62160.48177.54193.94209.81225.21240.21254.88269.24283.33297.18310.82324.27337.55350.67363.64376.49389.22401.84414.36426.80439.15451.43463.65475.80487.90499.96511.97523.95535.90547.82559.72571.61583.48595.35607.21619.08630.96642.84654.75666.68678.63690.61702.64714.70726.81738.98751.21763.51775.88788.33800.87813.52826.27839.14852.15865.30878.61892.10905.78919.69933.84948.26962.99978.08993.571009.541026.081043.291061.361080.511101.151123.991150.72];

v1=[314.72364.72414.72464.72514.72564.72614.72664.72714.72764.72814.72864.72914.72964.721014.721064.721114.721164.721214.721264.721314.721364.721414.721464.721514.721564.721614.721664.721714.721764.721814.721864.721914.721964.722014.722064.722114.722164.722214.722264.722314.722364.722414.722464.722514.722564.722614.72266