数学教案等差数列的前n项和高一数学教案模板Word格式文档下载.docx

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（课件设计见课件展示）

　　问题就是（板书）“”

　　这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.

　　我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？

二.讲解新课

（板书）等差数列前项和公式

1.公式推导（板书）

　　问题（幻灯片）：

设等差数列的首项为，公差为，由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.

思路一：

运用基本量思想，将各项用和表示，得

，有以下等式

，问题是一共有多少个，似乎与的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.

思路二：

上面的等式其实就是，为回避个数问题，做一个改写，，两式左右分别相加，得

，

于是有：

.这就是倒序相加法.

思路三：

受思路二的启发，重新调整思路一，可得，于是.

于是得到了两个公式（投影片）：

和.

2.公式记忆

　　用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前项和的两个公式.

3.公式的应用

　　公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.

　　例1.求和：

（1） 

；

（2）（结果用表示）

　　解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.

　　例2.等差数列中前多少项的和是9900？

　　本题实质是反用公式，解一个关于的一元二次函数，注意得到的项数必须是正整数.

三.小结

　　1.推导等差数列前项和公式的思路；

　　2.公式的应用中的数学思想.

四.板书设计

任意角的三角函数

教学目标：

　　1．通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值．

　　2．掌握已知角终边上一点坐标，求四个三角函数值．（即给角求值问题）

教学重点：

　　任意角的三角函数的定义．

教学难点：

　　任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示．

教学用具：

　　直尺、圆规、投影仪．

教学步骤：

1．设置情境

　　角的范围已经推广，那么对任一角是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？

本节课就来讨论这一问题．

2．探索研究

（1）复习回忆锐角三角函数

　　我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值，定义了角的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示．

（2）任意角的三角函数定义

　　如图1，设是任意角，的终边上任意一点的坐标是，当角在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为，则．

定义：

①比值叫做的正弦，记作，即．

　　②比值叫做的余弦，记作，即．

图1

　　③比值叫做的正切，记作，即．

　　同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件

提问：

对于确定的角，这三个比值的大小和点在角的终边上的位置是否有关呢？

　　利用三角形相似的知识，可以得出对于角，这三个比值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．

　　请同学们观察当时，的终边在轴上，此时终边上任一点的横坐标都等于0，所以无意义，除此之外，对于确定的角，上面三个比值都是惟一确定的．把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义．

　　④比值叫做的余切，记作，则．

　　⑤比值叫做的正割，记作，则．

　　⑥比值叫做的余割，记作，则．

可以看出：

当时，的终边在轴上，这时的纵坐标都等于0，所以与的值不存在，当时，的值不存在，除此之外，对于确定的角，比值，，分别是一个确定的实数，所以我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数．

（3）三角函数是以实数为自变量的函数

　　对于确定的角，如图2所示，，，分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数．

　　即：

实数→角（其弧度数等于这个实数）→三角函数值（实数）

（4）三角函数的一种几何表示

　　利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线，如下图3．

图3

　　设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；

过点作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角的终边（当为第一、四象限时）或其反向延长线（当为第二、三象限时）相交于，当角的终边不在坐标轴上时，我们把，都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：

　　这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线．当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；

当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．

（5）例题讲评

　　【例1】已知角的终边经过，求的六个三角函数值（如图4）．

解：

∵ 

　　∴

　　提问：

若将改为，如何求的六个三角函数值呢？

（分，两种情形讨论）

【例2】求下列各角的六个三角函数值

（1）；

（2）；

（3）．

（1）∵当时，，

　　∴，，

　　不存在，，不存在

（2）∵当时，，

　　∴，

　　不存在 

　　（3）当时，，

　　∴ 

不存在

【例3】作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．

（1）；

（2）．

　　解：

，的正弦线，余弦线，正切线分别为．

【例4】求证：

当为锐角时，．

　　证明：

如右图，作单位圆，当时作出正弦线和正切线，连

　　∵

利用三角函数线还可以得出如下结论

　　的充要条件是为第一象限角．

　　的充要条件是为第三象限角．

练习（学生板演，利用投影仪）

（1）角的终边在直线上，求的六个三角函数值．

（2）角的终边经过点，求，，，的值．

　　（3）说明的理由．．

解答：

（1）先确定终边位置

　　①如在第一象限，在其上任取一点，，则

　　， 

　　②如在第三象限，在终边上任取一点，则

， 

（2）若，不妨令，则在第二角限

　　（3）在终边上任取一点，因为与终边相同，故也为角终边上一点，所以成立．

　　说明：

以后会知道，求三角函数值的方法有多种途径．用定义求角的三角函数值，是基本方法之一．当角终边不确定时，要首先确定终边位置，然后再在终边上取一个点来计算函数值．

3．反馈训练

（1）若角终边上有一点，则下列函数值不存在的是（ 

）．

　　A．　　　　B．　　　　C．　　　D．

（2）函数的定义域是（ 

　　A．　　　　B．

　　C．　　　　D．

（3）若，都有意义，则．

（4）若角的终边过点，且，则．

参考答案：

（1）D；

（2）B；

（3）或8，说明点在半径为的圆上；

（4）－6．

4．本课小结

　　利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角顶点和始边要按既定的位置设置．角的三角函数定义式，其实是比例的化身，它的背后是相似形在支称着，不过这个定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是很容易．

　　分类讨论（角位置）是三角函数求值过程中，使用频率非常高的一个数学思想，而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴．

课时作业：

1．已知角的终边经过下列各点，求角的六个三角函数值．

（1） 

（2）

2．计算

（1）

（2）

　　（3）

　　（4）

3．化简

1．

（1），，

　　　　　，，

　　　　　，

（2），，

　　　　　　，，

　　　　　　，

2．

（1）－2；

（2）8；

（3）－1；

（4）

3．

（1）0；

（3）；

一．教学目标

　　1．理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量；

　　2．理解向量的几何表示，会用字母表示向量；

　　3．了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义，并会判断向量的平行、相等、共线；

　　4．通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生进行唯物辩证思想.

二．教学具准备

　　直尺、投影仪．

三．教学过程

　　1．设置情境

　　师：

（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：

向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？

　　生：

不能，因为没有给定发射的方向．

现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？

哪些量只有大小没有方向？

力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向．

对！

力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．数学中用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量．在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向．

（1）意义：

既有大小又有方向的量叫向量。

例：

力、速度、加速度、冲量等

（2）向量的表示方法：

　　①几何表示法：

点和射线

　　有向线段——具有一定方向的线段

　　有向线段的三要素：

起点、方向、长度

　　符号表示：

以A为起点、B为终点的有向线段记作（注意起讫）．

　　②字母表示法：

可表示为（印刷时用黑体字）

　　例 

用1cm表示5nmail（海里）

　　（3）模的概念：

向量的大小——长度称为向量的模。

　　记作：

||，模是可以比较大小的

　　注意：

①数量与向量的区别：

　　数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

　　向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

　　②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

　　2．探索研究（学生自学概念）

（1）介绍向量的一些概念

长度为零的向量叫什么向量？

如何表示？

长度为1的向量叫做什么向量？

是不是只有一个？

（学生看书回答）

长度为零的向量叫做零向量，表示为：

0；

长度等于1的向量叫做单位向量，有许多个，每个方向都有一个．

满足什么条件的两个向量是相等向量？

符号如何表示？

单位向量是相等向量吗？

如果两个向量大小相等且方向相同，那么这两个向量叫做相等向量，a=b单位向量不一定是相等向量，单位向量的方向不一定相同．

有一组向量，它们的方向相同或相反，那么这组向量有什么关系？

平行．

我们把方向相同或相反的两个向量叫做平行向量，符号如何表示？

如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点，这时它们是不是平行向量？

这时各向量的终点之间有什么关系？

是平行向量，a//b，各向量的终点都在同一条直线上．

由此，我们把平行向量又叫做共线向量．

（2）例题分析

　　【例1】判断下列命题真假或给出问题的答案

（1）平行向量的方向一定相同？

（2）不相等的向量一定不平行.

　　（3）与零向量相等的向量是什么向量？

　　（4）与任何向量都平行的向量是什么向量？

　　（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

　　（6）两个非零向量相等的充要条件是什么？

　　（7）共线向量一定在同一直线上吗？

（1）根据定义：

平行向量可以方向相反，故命题

（1）为假；

（2）平行向量没有长、短要求，故命题

（2）为假；

　　　　（3）只有零向量；

　　　　（4）零向量；

　　　　（5）平行向量；

　　　　（6）模相等且方向相同；

　　　　（7）不一定，只要它能被平移成共线就行．

零向量是向量，只不过它的起、终点重合．依定义、其长度为零．

　　【例2】如图，设是正六边形的中心，分别写出图中与向量、，相等的向量．

　　练习：

（投影）在上题中

　　变式一，与向量长度相等的向量有多少个？

（11个）

　　变式二，是否存在与向量长度相等，方向相反的向量？

（存在）

　　变式三，与向量共线的向量有哪些？

（有、和）

　　3．演练反馈（投影）

（1）下列各量中是向量的是（ 

）

　　A．动能　　B．重量　　C．质量　　D．长度

（2）等腰梯形中，对角线与相交于点，点、分别在两腰、上，过且，则下列等式正确的是（ 

　　A．　　B．　　C．　　D．

　　（3）物理学中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共线向量

（1）B；

（2）D；

（3）相等，相反

4．总结提炼

（1）描述一个向量有两个指标：

模、方向．

（2）平行概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否真的不在一条直线上无关．

　　（3）向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性．

四．板书设计

向 

量

1．向量的定义

2．表示法 

6．例题

3．零向量和单位向量 

7．演练反馈

4．平行向量（共线向量） 

8．总结提炼

5．相等向量

（一）教学具准备

（二）教学目标

　　1．掌握由的变化过程，理解由到的变换步骤．

　　2．利用平移、伸缩变换方法，作函数图像．

（三）教学过程

上节课，我们学习了如何由的图像通过变换得到和的图像，请同学复述一下变换的具体过程．

将的图像通过振幅变换便得到的图像

　　将的图像通过周期变换就得到的图像

今天这节课，我们将继续学习如何由的图像通过变换手段分别得到及的图像，（板书课题：

函数和的图像）

　　2．探索研究

（1）如何由的图像通过变换得到的图像

　　【例1】画出函数，，，的简图

由上一节画余弦函数的图像可知，函数，的图像可以看做把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到．

　　同学们能否用类比的方法由的图像得到和的图像．

从的图像向左平移个单位长度而得到，即的图像得到启发，我们只要把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度，就可以得到的图像，如把正弦曲线上所有的点向右平移个单位长度，就可以得到的图像．

　　函数 

　　在一个周期内的图像如图1所示：

（用叠放投影胶片，依次叠放三个函数图像）

我们已经学过并且知道与图像是一种左、右平移关系，从例1中你能得到与的图像之间的联系吗？

函数，（其中）的图像可以看做把的图像上所有的点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到的，这种变换叫做平移变换．

（2）如何由的图像通过变换得到的图像

　　【例2】画出函数，的简图．

函数的周期，我们先画出它的长度为一个周期的闭区间上的简图．

列表

3

－3

　　描点，连线得图2

　　利用函数的周期性，我们可以把它在上的简图向左、右分别扩展，从而得到它的简图．（用依次叠放投影片的方法投影展示上图）

函数，的图像，可以看作用下面的方法得到：

先将上所有的点向左平移个单位长度，得到函数，的图像；

再把后者所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数，的图像；

再把所得到图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），从而得到函数，的图像．

我们已经知道函数与是一种延轴方向上的伸缩变换，从例2中你能得到与的图像之间的联系吗？

函数，（其中，）的图像，可以看作用下面的方法得到：

先把正弦曲线上所有的点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍（横坐标不变）．

　　我们小结一下上述步骤如下：

其步骤流程图如下：

　　这一过程体现了由简单到复杂，特殊到一般的化归思想．

　　函数，（其中，）的简图，可以用类似方法画出．

　　（3）、、的物理意义

　　当函数，（其中，）表示一个振动量时，就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅．

　　往复振动一次所需要的时间，称为这个振动的周期；

单位时间内往复振动的次数称为振动的频率．

　　称为相位；

时的相位称为初相．

（1）要得到函数图像，只需将的图像（ 

　　A．向右平移　　B．向左平移　　C．向右平移　　D．向左平移

（2）函数的一个周期内图像如图3．

　　则的表达式 

　　A．

　　B．

　　C．

　　D．

　　（3）把函数的图像向左平移个单位，再把图像上各点的横坐标压缩为原来的，所得的解析式为_________．

（1）C．把右移，得

（2）D．因为，又与比较知，是其左移而得，即

　　（3）变换过程如下：

第一步得：

　　　　　　　　　　　第二步得：

　　4．总结提炼

（1）了解三角函数图像的变化规律和方法，由，此步骤只是平移（，左移个单位；

，右移个单位），而由可由二条思路：

　　①即先平移后压缩．

　　②即先压缩再平移．

　　不论哪一条路径，每一次变换都是对一个字母而言的，如，的图像向右平移个单位，得到的应是，而不是；

又的图像横坐标扩大到原来的2倍，应是而不是．

（2）作函数图像的方法有多种，如描点法，五点作图法，根据奇、偶利用对称法等等，平移、变换法只是诸多作图法中一种，它与五点作图法同样重要，希望大家多练习，掌握变换次序上的技巧．

（四）板书设计

课题________

1．如何由的图像

作的图像

例1

2．如何由的图像

例2

变换法作的图像的流程图

演练反馈

总结提炼