八年级数学上册 第11章 三角形 等边三角形课后作业 新版新人教版Word文件下载.docx
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8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=60°
,BE⊥AC于E,延长BC到D,使CD=CE,连接DE,若△ABC的周长是24,BE=a,则△BDE的周长是
9.如图,已知O是等边三角形△ABC内一点,∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数之比为6:
5:
4,在以OA、OB、OC为边的三角形中,此三边所对的角的度数是
10.如图,在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB,OE∥AC.
(1)求证:
△ODE是等边三角形.
(2)线段BD、DE、EC三者有什么数量关系?
写出你的判断过程.
11.如图,在等边△ABC中,点D、E、F分别在AB、BC、AC上.
(1)如果AD=2BD,BE=2CE,CF=2AF,求证:
△DEF是等边三角形;
(2)如果AD=3BD,BE=3CE,CF=3AF,△DEF仍是等边三角形吗?
(3)直接写出D、E、F三点满足什么条件时,△DEF是等边三角形.
12.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°
,∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD,连接AC、AD.
(1)当α=150°
时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(2)探究:
当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
等边三角形课后作业
参考答案
1.解析:
根据利用等边三角形的性质分析即可
解:
根据等边三角形的性质:
(1)等边三角形三条边都相等,三个内角都相等,每一个角为60度;
(2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一);
(3)等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线;
由此分析判定
(1)
(2)(3)(4)都正确,
所以正确的说法有4个,
故选D
2.解析:
证明△ADE是哪一种三角形,可以从三边AD,AE,DE入手.
因为△ABC为等边三角形,
所以∠ABC=60°
.
又因为CD=BE,∠1=∠2,且AC=AB,
所以△ADC≌△AEB,
所以AD=AE,∠EAD=∠CAB=60°
,
所以△ADE为等边三角形.
故选C.
3.解析:
根据角平分线、高、等腰直角三角形的性质依次判断即可得出答案.
①∵∠1=∠2=22.5°
又∵AD是高,∴∠2+∠C=∠3+∠C,∴∠1=∠3,
②∵∠1=∠2=22.5°
,∴∠ABD=∠BAD,∴AD=BD,
又∵∠2=∠3,∠ADB=∠ADC,∴△BDH≌△ADC,∴DH=CD,∵AB=BC,
∴BD+DH=AB,
③无法证明,④可以证明,故选C
4.解析作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6,DE=2,进而得出△BEM为等边三角形,△EFD为等边三角形,从而得出BN的长,进而求出答案.
延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,作DF∥BC,
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AN⊥BC,BN=CN,
∵∠EBC=∠E=60°
∴△BEM为等边三角形,
∴△EFD为等边三角形,
∵BE=6,DE=2,
∴DM=4,
∵△BEM为等边三角形,
∴∠EMB=60°
∵AN⊥BC,
∴∠DNM=90°
∴∠NDM=30°
∴NM=2,
∴BN=4,
∴BC=2BN=8,
故选B
5.解析:
由Rt△ABC中,∠ACB=90°
,BC=2cm,可求得AB的长,由D为BC的中点,可求得BD的长,然后分别从若∠DEB=90°
与若∠EDB=90°
时,去分析求解即可求得答案.
∵Rt△ABC中,∠ACB=90°
,BC=2cm,
∴AB=2BC=4(cm),
∵BC=2cm,D为BC的中点,动点E以1cm/s的速度从A点出发,
∴BD=
BC=1(cm),BE=AB-AE=4-t(cm),
若∠BED=90°
当A→B时,∵∠ABC=60°
∴∠BDE=30°
∴BE=
BD=
(cm),
∴t=3.5,
当B→A时,t=4+0.5=4.5.
若∠BDE=90°
时,
∴∠BED=30°
∴BE=2BD=2(cm),
∴t=4-2=2,
当B→A时,t=4+2=6(舍去).
综上可得:
t的值为2或3.5或4.5.
故选D.
6.解析:
根据等边三角形的性质就可以得出△ACD≌△BCE,∠ACB=∠CED=60°
,就有BC∥DE,∠OED=∠CBE,由∠CBE=∠CAD而得出结论,∠DPC=∠PCA+∠PAC=60°
+∠CAP>∠DCP=60°
而得出DE≠DP从而得出结论.
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,EC=DC=DE,∠ACB=∠DCE=∠DEC=60°
∴BC∥DE,∠ACB+BCD=∠DCE+∠BCD,
∴∠OED=∠CBE,∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE在AC=BC,∠ACD=∠BCE,EC=DC
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠CAD=∠CBE.AD=BE,故①正确;
∴∠OED=∠EAD.故②正确.
∵∠AOB=∠EAD+∠AEO,
∴∠AOB=∠CBE+∠AEO.
∵∠CBE+∠AEO=∠ACB=60°
∴∠AOB=60°
.故③正确
∵∠ACB+∠DCE+∠BCD=180°
∴∠BCD=60°
∵∠DPC=∠PCA+∠PAC=60°
∴DE≠DP.故④错误.
7.解析:
根据等边三角形三个角相等,可知∠ACB=60°
,根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°
,∠ACD=120°
∵CG=CD,
∴∠CDG=30°
,∠FDE=150°
∵DF=DE,
∴∠E=15°
故答案为:
15
8.解析:
根据在△ABC中,AB=AC,∠A=60°
,可得△ABC的形状,再根据△ABC的周长是24,可得AB=BC=AC=8,根据BE⊥AC于E,可得CE的长,∠EBC=30°
,根据CD=CE,可得∠D=∠CED,根据∠ACB=60°
,可得∠D,根据∠D与∠EBC,可得BE与DE的关系,可得答案.
∵在△ABC中,AB=AC,∠A=60°
∴△ABC是等边三角形,
∵△ABC的周长是24,
∴AB=AC=BC=8,
∵BE⊥AC于E,
∴CE=
AC=4,∠EBC=
∠ABC=30°
∵CD=CE,
∴∠D=∠CED,
∵∠ACB是△CDE的一个外角,
∴∠D+∠CED=∠ACB=60°
∴∠D=30°
∴∠D=∠EBC,
∴BE=DE=a,
∴△BED周长是DE+BE+BD=a+a+(8+4)=2a+12,
2a+12.
9.解析:
求出∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数,将△AOC绕点A顺时针旋转60°
得到三角形AO'
B,连接ODO'
,证等边三角形BOO'
,推出△BOO'
即是以OA,OB,OC为边长构成的三角形即可.
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°
且∠AOB:
∠BOC:
∠AOC=6:
4,
∴∠AOB=144°
,∠BOC=120°
,∠AOC=96°
将△AOC绕点A顺时针旋转60°
得到三角形AO′B,连接OO′,
∵△AO′B≌△AOC,
∴∠AO′B=∠AOC=96°
,O′B=OC,AO′=AO,
∵∠OAO′=60°
(将△AOC绕点A顺时针旋转60°
得到三角形AO′B),AO=AO′,
∴△AOO′是等边三角形,
∴OO′=AO,
∴△BOO′即是以OA,OB,OC为边长构成的三角形,
∵∠AOO′=∠AO′O=60°
∴∠BOO′=∠AOB-∠AOO′=144°
-60°
=84°
∠BO′O=∠AO′B-∠AO′O=96°
=36°
∠O′BO=180°
-84°
-36°
=60°
以OA,OB,OC为三边所构成的三角形中,
三边所对的角度分别是60°
,36°
,84°
36°
或60°
或84°
10.解析:
(1)根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形;
(2)根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB,根据等角对等边可得到DB=DO,同理可证明EC=EO,因为DE=OD=OE,所以BD=DE=EC;
(3)根据直角三角形及等边三角形的性质解答即可.
(1)证明:
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵OD∥AB,OE∥AC,
∴∠ODE=∠ABC=60°
,∠OED=∠ACB=60°
∴△ODE是等边三角形;
(2)BD=DE=EC,
其理由是:
∵OB平分∠ABC,且∠ABC=60°
∴∠ABO=∠OBD=30°
∵OD∥AB,
∴∠BOD=∠ABO=30°
∴∠DBO=∠DOB,
∴DB=DO,
同理,EC=EO,
∵DE=OD=OE,
∴BD=DE=EC;
11.解析:
(1)根据等边△ABC中AD=2BD,BE=2CE,CF=2AF,可得AD=BE=CF,AF=BD=CE,证得△ADF≌△BED≌△CFE,即可得出:
△DEF是等边三角形.
(2)根据等边△ABC中AD=3BD,BE=3CE,CF=3AF,可得AD=BE=CF,AF=BD=CE,证得△ADF≌△BED≌△CFE,即可得出:
(3)根据等边△ABC中AD=nBD,BE=nCE,CF=nAF,可得AD=BE=CF,AF=BD=CE,证得△ADF≌△BED≌△CFE,即可得出:
(1)∵△ABC为等边三角形,且AD=2BD,BE=2CE,CF=2AF,
∴AD=BE=CF,AF=BD=CE,∠A=∠B=∠C=60°
根据SAS可得△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),
∴DF=ED=EF,
∴△DEF是一个等边三角形.
(2)∵△ABC为等边三角形,且AD=3BD,BE=3CE,CF=3AF,
(3)当AD=nBD,BE=nCE,CF=nAF时,△DEF是等边三角形.理由如下:
∵△ABC为等边三角形,且AD=nBD,BE=nCE,CF=nAF,
12.解析:
(1)首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC,然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数,由此即可判定△AOD的形状;
(2)利用
(1)和已知条件及等腰三角形的性质即可求解.
(1)∵△OCD是等边三角形,
∴OC=CD,
而△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,
∵∠ACB=∠OCD=60°
∴∠BCO=∠ACD,
在△BOC与△ADC中,
∵OC=CD,∠BCO=∠ACD,BC=AC
∴△BOC≌△ADC,
∴∠BOC=∠ADC,
而∠BOC=α=150°
,∠ODC=60°
∴∠ADO=150°
=90°
∴△ADO是直角三角形;
(2)∵设∠CBO=∠CAD=a,∠ABO=b,∠BAO=c,∠CAO=d,
则a+b=60°
,b+c=180°
-110°
=70°
,c+d=60°
,a+d=50°
∠DAO=50°
∴b-d=10°
∴(60°
-a)-d=10°
∴a+d=50°
即∠CAO=50°
①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∴190°
-α=α-60°
∴α=125°
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,
∴α-60°
=50°
∴α=110°
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD,
-α=50°
∴α=140°
所以当α为110°
、125°
、140°
时,三角形AOD是等腰三角形.