李庆扬数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析复习课程.docx
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李庆扬数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析复习课程
李庆扬-数值分析第五
版第5章和第7章习
题答案解析
第5章
复习与思考题
1用高斯消去法为什么要选主兀？
哪些方程组可以不选主兀？
答：
使用咼斯消去法时，在消兀过程中可能出现akk0的情况，这时消去法无法进行；
即时主兀素a：
0，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍
入误差的扩散，最后也使得计算不准确。
因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。
当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。
计算时一般选择列主元消去法。
2、高斯消去法与LU分解有什么关系？
用它们解线性方程组Ax=b有何不同？
A要满足什
么条件？
答：
高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个
为上二角矩阵U,—个为下三角矩阵L。
用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。
A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，…，n-1）不为零。
3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？
楚列斯基分解是LU分解的一种，当限疋下三角矩阵L的对角兀素为正时，楚列斯基分解具
有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解？
为什么说平方根法计算稳定？
具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？
对角占优的三对角方程组
6、何谓向量范数？
给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见p53,符合3个运算法则。
正定性
齐次性三角不等式
设x为向量，则三种常用的向量范数为：
（第3章p53,第5章p165）
n
llxlli|Xi|
i1n1
l|x||2（Xi2）2
i1
iixiimax1xi1
7、何谓矩阵范数？
何谓矩阵的算子范数？
给出矩阵A=（aij）的三种范数||A||1,||
A||2,||A||a,||A||1与||A||2哪个更容易计算？
为什么？
向量范数定义见p162,需要满足四个条件。
正定条件
齐次条件三角不等式
相容条件矩阵的算子范数有
||A|h
l|A||2
IIAII
从定义可知，||A||i更容易计算。
8、什么是矩阵的条件数？
如何判断线性方程组是病态的？
答：
设A为非奇异阵，称数cond（A）vA1J|A||v（v1,2,）为矩阵A的条件数当cond（A）》1时，方程是病态的。
9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？
（1）矩阵行列式的值很小。
（2）矩阵的范数小。
（3）矩阵的范数大。
（4）矩阵的条件数小。
（5）矩阵的元素绝对值小。
接近奇异阵的有
（1）、
（2）
注：
矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。
矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。
10、判断下列命题是否正确：
（1）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax=b的解。
答：
错误，主元位置可能为0,导致无法计算结果。
（2）对称正定的线性方程组总是良态的。
答：
正确。
（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。
答：
正确。
（4）如果A非奇异，则Ax=b的解的个数是由右端向量b的决定的。
答：
正确。
解释：
若A|b与A的秩相同，贝UA有唯一解。
若不同，则A无解。
（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。
（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。
答：
正确。
（7）奇异矩阵的范数--定是零。
答：
错误，?
可以不为0。
（8）如果矩阵对称，则||A||1=||A|…
答：
根据范数的定义，正确。
（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。
答：
错误，不选主元时，可能除数为0。
（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。
答：
错误。
对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。
（11）||A||1=||At||a。
答：
根据范数的定义，正确。
（12）若A是nn的非奇异矩阵，则
1
cond（A）cond（A）。
答：
正确。
A是nn的非奇异矩阵，贝UA存在逆矩阵。
cond（A）||a||?
||a1||
根据条件数的定义有：
cond（A1）||a^?
|（A1）^||a^?
AIIA?
A1||
习题
T
aiicii
1、设A是对称阵且an0,经过高斯消去法一步后，A约化为，证明A2是对
0A2
称矩阵。
证明：
aii
°I2.
1..ain
设对称矩阵
ai2
Ai2
a22.
…％2
ain
a2n.
1..ann
aii
ai2
..
.
0
ai2
a22—
ai2..
an2
A⑴
aii
，则经过1次高斯校区法后，有
0a2n亚％
al1
ain
ai1
aii
a22
ann
aii
ain
an2a^ain
aii
0
所以aT
an2—ai2..
aii
[ai2...an2]
ann—am
aii
ai23|i
an2
耳2
aii
ain
ann
ain
aii
Oln
所以A2为对称矩阵。
2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后,
A约化为A（aj）n，其中A（Oj）n，
A（aj））ni；
证明：
（I）A的对角元素—aH°（iI2|||,n）；
（2）A2是对称正定矩阵;
（i）依次取Xi（0,0,,0,i,0,
所以有aiixtAx0。
0）T,ii,2,
，n，
则因为A是对称正定矩阵,
（2）A2中的元素满足a
（2）
aj
ai冋（i,j
aii
2,3,
n）,又因为A是对称正定
矩阵，满足ajaji,i,j
i,2,
n，所以a
（2）
aj
aiiaij
aii
aji
aiiaji
（2）
a
ji■）
aii
即A是对称矩阵。
3、设Lk为指标为k的初等下三角矩阵（除第~~k列对角元以下元素外,Lk和单位阵I相同），即
1
1
mki,k1
m^k1
求证当i,jk时，LkIijLkIij也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中Ij为初等置
换矩阵。
4、试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。
本题不推导。
参见书上例题。
P147页。
5、设Uxd，其中U为三角矩阵。
（1）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法
（2）计算解三角方程组Uxd的乘除法次数
（3）设U为非奇异矩阵，试推导求U1的计算公式
本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算n-1,…1时对应的求解公
式。
解法，略。
6、证明:
（1）如果A是对称正定矩阵，则A1也是对称正定矩阵
（2）如果A是对称正定矩阵，则A可以唯一地写成ACL,其中L是具有正对角元的下三角矩阵
均是对称正定矩阵的性质。
应予以记住。
7、用列主元消去法解线性方程组
12x13x23x315
18x13x2X315
x1x26
并求出系数矩阵A的行列式的值
12
3
3
A
18
3
1
1
1
1
12
3
3
15
A|b
18
3
1
15
1
1
1
6
使用列主元消去法，有
12
3
3
15
A|b18
3
1
15
1
1
1
6
18
3
1
15
12
3
3
15
1
1
1
6
18
3
1
15
7
0
1
—
5
3
7
17
31
0
—
—
•
6
18
6
18
3
1
15
7
17
31
0
6
18
6
7
0
1
5
3
18
3
1
15
7
17
31
0
—
—
—
6
18
6
66
66
0
0
—
21
7
A的行列式为
-66
方程组的解为
X1=1,x2=2,x3=3
8、用直接二角分解（
Doolittle分解）求线性方程组的解
1
1
1
_X2
7X3
9
4
5
6
1
1
1
_X2
-X3
8
3
4
5
1
齐
X2
2x38
本题考查
LU分解。
解：
1
1
1
4
5
6
1
1
1
A
3
4
5
1
1
2
2
1
00
L
1
1
0
3
1
1
1
2
1
1
1
4
5
6
11
13
U
0
60
90
957
0
0
540
9、
用追赶法解三对角方程组
Ax
b，其中
2
1
000
1
1
2
100
0
A
0
1
210
，b
0。
0
0
121
0
0
0
012
0
解：
追赶法实际为
LU分解的特殊形式。
设
U为、
单位上三角矩阵。
有
（1）
计算i
的递推公式
1
G/bi
1/2
0.5
2
c2/（b2
a2
1）
1/（2
（
1）（
0.5））
2/3
3
C3/（b3
a3
2）
1/（2
（
1）（
2/3））
3/4
4
C4/（b4
a4
3）
1/（2
（
1）（
3/4））
4/5
（2）
解Ly=f
y1
f1/bi
1/2
y2
（f2
a2y1）/（d
a21）（0
（
1）
（1/2））/（2
（
1）
（
0.5））
1/3
y3
（f3
a3y2）/（b3
a32）（0
（
1）
（1/3））/（2
（
1）
（
2/3））
1/4
y4
（f4
a4y3）/⑹
a43）（0
（
1）
（1/4））/（2
（
1）
（
3/4））
1/5
y5
（f5
a5y4）/（b5
a54）（0
（
1）
（1/5））/（2
（
升级会员 