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2，求AC、BD的长。

解：

∵四边形ABCD是菱形，设AC交BD于点O

∴AC、BD互相垂直平分，且AB=

=

∴OA:

OB=AC:

BD=1:

2，

设OA=x，则OB=2x，

∴Rt△AOB中，

解得

∴AC=2x=4cm，BD=4x=8cm。

说明：

由于菱形的一条对角线将菱形分为两个全等的等腰三角形；

四条对角线将菱形分为四个全等的直角三角形，因此有关菱形的问题常转化为等腰三角形或直角三角形的问题来解决。

例2：

如图4-24，在△ABC中，∠BAC=90°

，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：

四边形AEFG是菱形．

思路分析

由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组邻边相等．

证明：

∵∠BAC=90°

，EF⊥BC，CE平分∠ACB，

∴AE=EF，∠CEA=∠CEF．

（这是略证，并不是完整的证明过程）

∵AD⊥BC，EF⊥BC，

∴EF∥AD，（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）

∴∠CEF=∠AGE，（两直线平行，内错角相等）

∴∠CEA=∠AGE，

∴AE=AG，

∴EF∥AG，且EF=AG，

∴四边形AEFG是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

又∵AE=EF，

∴平行四边形AEFG是菱形．

例3如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AB=

，AC=

，BD=8，请判断：

ABCD是菱形吗？

为什么？

□ABCD是菱形。

∵□ABCD中，

，

，AB=

且

即△ABC中，

∴OA⊥OB

∴□ABCD是菱形

这里首先利用了平行四边形对角线互相平分的性质，再由勾股逆定理判别出AO、BO互相垂直，最后由对角线互相垂直的平行四边形判别出菱形。

例4：

已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数．

已知：

菱形ABCD中，AB+BC+CD+DA=20cm，对角线AC=5cm．求∠ADC、∠ABC、∠BCD、∠DAB的度数．

利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25．

在菱形ABCD中，

∵AB=BC=CD=DA，

又AB+BC+CD+DA=20cm，

∴AB=BC=CD=DA=5cm，

又∵AC=5cm，

∴AB=BC=AC，CD=DA=AC，

∴△ABC和△DAC都是等边三角形，

（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）

∴∠ADC=∠ABC=60°

，∠BCD=∠DAB=120°

．

例5：

如图4-26，在平行四边形ABCD中，∠BAE=∠FAE，∠FBA=∠FBE．求证：

四边形ABEF是菱形．

证法一：

∵AF∥BE，

∴∠FAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）

又∵∠BAE=∠FAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE．（等角对等边）

同理，AB=AF，BE=EF，

∴AB=BE=EF=AF，

∴四边形ABEF是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形）

证法二：

∴∠FAE=∠AEB，

∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．

又∵∠FBA=∠FBE，

∴AO=OE，AE⊥FB，（等腰三角形三线合一）

同理，BO=OF，

∴四边形ABEF是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）

（你还有其他的证明方法吗？

不妨试一下）

例6如图，□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF、DE相交于点G，CE、BF相交于点H，

（1）你能说明四边形EHFG是平行四边形吗？

（2）

想一想，什么时候EHFG会成为菱形？

（1）∵□ABCD中，AB、CD平行且相等

∵E、F分别是AB、CD的中点

∴AE、CF平行且相等

∴AECF是平行四边形

∴AF∥CE

同理，BEDF是平行四边形

∴DE∥BF

∴四边形EHFG是平行四边形

（2）如图，当□ABCD是矩形时，

可知四边形AEFD是矩形

∴GE=GF

此时，□EHFG会成为菱形

要说明一个平行四边形是菱形，最简单的方法是说明它有一组邻边相等。

例7：

菱形的两邻角之比为1：

2，边长为2，则菱形的面积为__________．

本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：

解法一：

如图4-27，

∠B：

∠A=1：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠A+∠B=180°

∴∠B=60°

，∠A=120°

过A作AE⊥BC于E，

∴∠BAE=30°

，（直角三角形中，30°

角所对的直角边等于斜边的一半）

，（勾股定理）

．（平行四边形的面积计算方法是：

底乘以高）

解法二：

如图4-28，

∠B∶∠A=1∶2，

连结AC、BD交于点O，

，AC⊥BD．

（菱形的性质：

对角线平分一组对角，对角线互相垂直）

　在Rt△ABO中，

∴AC=2，

答：

菱形的面积为

【巩固练习】

一、选择题

1、菱形具有而一般的平行四边形不一定具有的性质是（）

（A）对边平行且相等（B）对角线互相平分（C）对角相等（D）四条边都相等

　2．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为（）

（A）45°

，135°

（B）60°

，120°

（C）90°

，90°

（D）30°

，150°

　3．若菱形的一条对角线长是另一条对角线的2倍，且此菱形的面积为S，则它的边长为（）

（A）

（B）

（c）

（D）

4.若菱形ABCD的周长为40cm,两对角线长之比为3:

4，则两对角线长分别为（）

（A）24cm，32cm（B）12cm，16cm（C）6cm，8cm（D）3cm，4cm

5．在菱形ABCD中，若∠ADC=120°

，则BD：

AC等于（）

A．

B．

C．1：

2D．

　6．已知菱形的周长为40cm，两对角线的长度之比为3：

4，则两对角线的长分别为（）

A．6cm，8cmB．3cm，4cmC．12cm，16cmD．24cm，32cm

二、填空题

　1．已知：

菱形ABCD中，E、F是BC、CD上的点，且AE=EF=AF=AB，则∠B=________.

　2．已知：

菱形的两条对角线长分别为a、b，则此菱形周长为_______，面积为__________.

　3．菱形具有而矩形不具有的性质是_______.

4．已知一个菱形的面积为

平方厘米，且两条对角线的比为1：

，则菱形的边长为_________.

三、解答题

O为

对角线BD的中点，MN过O且垂直BD，分别交CD、AB于M、N．求证：

四边形DNBM是菱形．

2．如图4-17，已知菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm，求菱形的高．

3．如图4-29，在△ABC中，∠BAC=90°

，BD平分∠ABC，AG⊥BC，且BD、AG相交于点E，DF⊥BC于F．求证：

四边形AEFD是菱形．

　4．如图4-30，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O．求证：

四边形AFCE是菱形．

【典型热点考题】

例1如图4-13，已知菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°

，∠BAE=18°

，求∠CEF的度数．

点悟：

由∠B=60°

知，连接AC得等边△ABC与△ACD，从而△ABE≌△ADF，有AE=AF，则△AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF．

连接AC．∵四边形ABCD为菱形，

∴∠B=∠D=60°

，AB=BC=CD=DA，

∴△ABC与△CDA为等边三角形．

∴AB=AC，∠B=∠ACD=∠BAC=60°

∵∠EAF=60°

，∴∠BAE=∠CAF．

∴AE=AF．

又∵∠EAF=60°

∴△EAF为等边三角形．

∴∠AEF=60°

∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，

∴60°

+18°

=60°

+∠CEF，

∴∠CEF=18°

例2已知如图4-14，在△ABC中，∠BAC=90°

，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：

四边形AEFG为菱形．

可先证四边形AEFG为平行四边形，再证邻边相等（或对角线垂直）．

∵∠BAC=90°

，EF⊥BC，CE平分∠BCA，

∴AE=FE，∠AEC=∠FEC．

∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．

∴∠FEC=∠AGE，∴∠AEC=∠AGE

∴AE=AG，∴

∴四边形AEFG为平行四边形．

又∵AE=AG．∴四边形AEFG为菱形．

点拨：

此题还可以用判定菱形的另两种方法来证．

例3已知如图4-15，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE．求证：

EB=OA

∵四边形ABCD为菱形，

∴∠ABC=2∠ABD，AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∵AB=AE，∴∠ABC=∠AEB．

∴∠DAE=2∠ABD．

∵∠DAE=2∠BAE，

∴∠ABD=∠BAE，∴OA=OB．

∵∠BOE=∠ABD+∠BAE，

∴∠BOE=2∠BAE．

∴∠BEA=∠BOE，∴OB=BE，

∴AO=BE．

利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路．

例4已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5：

4，求菱形的各内角的度数．

先作出菱形ABCD和对角线AC、BD（如图4-16）．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠1+∠2=90°

，又∵∠1：

∠2=4：

5，

∴∠1=40°

，∠2=50°

∴∠DCB=∠DAB=2∠2=100°

故∠CBA=∠CDA=2∠1=80°

【巩固练习参考答案】

一1.D;

2．B；

3．D；

4.B;

5．B；

6．C；

二、1．80°

；

2．

　3．对角线互相垂直，各边长相等．

4．4厘米．

三、1．由已知MN为BD的垂直平分线，

有DM=BM，DN=BN，

又由△DOM≌△BON，得DM=BN，

∴DM=BM=BN=DN．∴四边形DNBM是菱形.

2．过点D作DH⊥AB于H，则DH为菱形的一条高．

又∵AC、BD互相垂直平分于O，

∴

厘米，

厘米．

由勾股定理，得

（厘米）．

又∵

∴

，DH=9.6厘米．

　3．证法一：

在Rt△ABD和Rt△FBD中，

∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠FBD，∠DAB=∠DFB=90°

又∵BD=BD，∴Rt△ABD≌Rt△FBD

∴AD=DF，∠ADE=∠EDF

又∵DF⊥BC，AG⊥BC，∴DF//AE，

∴∠EDF=∠DEA，∴∠ADE=∠DEA，∴AD=AE，

∴AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形．

∵AD=DF，∴四边形AEFD为菱形．

同证法一得DF=DA=AE，

∵Rt△ABD≌Rt△FBD，∴AB=BF，∴△ABE≌△FBE，

∴AE=EF，∴DF=DA=AE=EF，∴四边形AEFD是菱形．

证法三：

同证法一：

Rt△ABD≌Rt△FBD，∴AB=BF，

∴△ABE≌△FBE，∴∠GAB=∠EFB，

又∵∠C+∠ABC=90°

，∠GAB+∠ABC=90°

∴∠C=∠GAB，∴∠C=∠EFB，∴EF∥AC，

又∵DF∥AG，∴四边形AEFD是平行四边形，

∵AD=DF，∴四边形AEFD是菱形．

4．∵AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，又∵∠AOE=∠COF=90°

，AO=CO，

∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又∵AE∥CF，

∴四边形AFCE是平行四边形．

又∵EF是AC的垂直平分线，∴AE=CE．（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）

∴四边形AFCE是菱形．