江苏专用版高考数学大一轮复习第十章计数原理101分类计数原理与分步计数原理教师用书理Word格式文档下载.docx
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10×
10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×
9×
8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.
2．（教材改编）已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是________．
答案 6
解析 分两步：
第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3×
2＝6.
3．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对（a，b）的个数为________．
答案 13
解析 当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对（0，－1），（0,0），（0,1），（0,2）均满足要求；
当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为（－1，－1），（－1,0），（－1,1），（－1,2），（1，－1），（1,0），（1,1），（2，－1），（2,0）．综上，满足要求的有序数对共有13个．
4．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为________．
答案 18
解析 分两类情况讨论：
第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×
2×
2＝12（个）奇数；
第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×
1＝6（个）奇数．根据分类计数原理，知共有12＋6＝18（个）奇数．
5．（教材改编）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种．
答案 32
解析 每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步计数原理，知总的报名方法共2×
2＝32（种）．
题型一 分类计数原理的应用
例1 高三一班有学生50人，其中男生30人，女生20人；
高三二班有学生60人，其中男生30人，女生30人；
高三三班有学生55人，其中男生35人，女生20人．
（1）从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？
解
（1）完成这件事有三类方法：
第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；
第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；
第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法．
根据分类计数原理，任选一名学生任学生会主席共有50＋60＋55＝165（种）不同的选法．
（2）完成这件事有三类方法：
第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；
第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；
第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．
根据分类计数原理，共有30＋30＋20＝80（种）不同的选法．
思维升华 分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；
其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．
（2016·
全国丙卷改编）定义“规范01数列”{an}如下：
{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有________个．
答案 14
解析 第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；
只有2个1相邻时，共A
个，其中110100,110010,110001,101100不符合题意；
三个1都不在一起时有C
个，共2＋8＋4＝14（个）．
题型二 分步计数原理的应用
例2
（1）（2016·
全国甲卷改编）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为________．
（2）有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．
答案
（1）18
（2）120
解析
（1）从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6×
3＝18（种）．
（2）每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有6×
5×
4＝120（种）．
引申探究
1．本例
（2）中，若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？
解 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729（种）．
2．本例
（2）中，若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？
解 每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216（种）．
思维升华
（1）利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：
完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
（2）分步必须满足两个条件：
一是步骤互相独立，互不干扰；
二是步与步确保连续，逐步完成．
（1）（2016·
无锡模拟）用0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的三位数的个数为________．
（2）（2017·
徐州质检）五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列），则获得冠军的可能性有________种．
答案
（1）100
（2）45 54
解析
（1）可分三步给百、十、个位放数字，第一步：
百位数字有5种放法；
第二步：
十位数字有5种放法；
第三步：
个位数字有4种放法，根据分步计数原理，三位数的个数为5×
4＝100.
（2）五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．
题型三 两个计数原理的综合应用
例3
（1）如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法．
（2）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．
答案
（1）260
（2）36
解析
（1）区域A有5处涂色方法；
区域B有4种涂色方法；
区域C的涂色方法可分2类：
若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；
若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法．所以共有5×
4×
4＋5×
3×
3＝260（种）涂色方法．
（2）第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面均成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×
12＝24（个）；
第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36（个）．
思维升华 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
（1）弄清完成一件事是做什么．
（2）确定是先分类后分步，还是先分步后分类．
（3）弄清分步、分类的标准是什么．
（4）利用两个计数原理求解．
如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为________．
答案 96
解析 按区域1与3是否同色分类：
（1）区域1与3同色：
先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5（还有3种颜色）有A
种方法．∴区域1与3涂同色，共有4A
＝24（种）方法．
（2）区域1与3不同色：
先涂区域1与3有A
种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法．∴这时共有A
×
1×
3＝72（种）方法．
故由分类计数原理，不同的涂色种数为24＋72＝96.
11．利用两个基本原理解决计数问题
典例
（1）把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有________种．
（2）某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4次，轮船有3次，问此人的走法可有________种．
错解展示
解析
（1）因为每个信箱有三种投信方法，共4个信箱，
所以共有3×
3＝34（种）投法．
（2）乘火车有4种方法，坐轮船有3种方法，
共有3×
4＝12（种）方法．
答案
（1）34
（2）12
现场纠错
解析
（1）第1封信投到信箱中有4种投法；
第2封信投到信箱中也有4种投法；
第3封信投到信箱中也有4种投法．只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法．
（2）因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法共有4＋3＝7（种）．
答案
（1）43
（2）7
纠错心得
（1）应用计数原理解题首先要搞清是分类还是分步．
（2）把握完成一件事情的标准，如典例
（1）没有考虑每封信只能投在一个信箱中，导致错误．
1．（2016·
镇江模拟）甲、乙、丙三位志愿者安排在周一至周五参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方案共有________种．
答案 20
解析 可将安排方案分为三类：
①甲排在周一，共有A
种排法；
②甲排在周二，共有A
③甲排在周三，共有A
种排法，故不同的安排方案共有A
＋A
＝20（种）．
2．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，则不同的摆法有________种．
答案 5
解析 记反面为1，正面为2，则正反依次相对有12121212,21212121两种；
有两枚反面相对有21121212,21211212,21212112三种，共5种摆法．
3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有________种．
答案 12
解析 第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C
＝2（种）选派方法；
第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，有C
＝6（种）选派方法．
由分步计数原理，不同的选派方案共有2×
6＝12（种）．
4．（2015·
四川改编）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有________个．
答案 120
解析 由题意知，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×
A
＝72（个）；
若万位是4，则有2×
＝48（个），故比40000大的偶数共有72＋48＝120（个）．
5．（2016·
盐城模拟）在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有________种．
答案 24
解析 根据题意，分2种情况讨论：
①第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，共有A
＝12（种）推荐方法；
②将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，共有C
C
＝12（种）推荐方法．
故共有12＋12＝24（种）推荐方法．
6．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种．
解析 先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A
种不同排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A
·
2·
1＝12（种）不同的排列方法．
7．（2016·
泰州模拟）在学校运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．
答案 2880
解析 分两步安排这8名运动员．
第一步：
安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，
∴安排方式有A
种．
安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，∴安排方式有A
＝120（种）．
∴安排这8人的方式有24×
120＝2880（种）．
8．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．
解析 四个焊点共有24种情况，其中使线路通的情况有：
1,4都通，2和3至少有一个通时线路才通，共3种可能．故不通的情况有24－3＝13（种）可能．
9．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同对数值的个数为________．
答案 17
解析 当所取两个数中含有1时，1只能作真数，对数值为0，当所取两个数不含有1时，可得到A
＝20（个）对数，但log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，综上可知，共有20＋1－4＝17（个）不同的对数值．
10．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：
11,22,33，…，99.3位回文数有90个：
101,111,121，…，191,202，…，999.则
（1）4位回文数有________个；
（2）2n＋1（n∈N*）位回文数有________个．
答案
（1）90
（2）9×
10n
解析
（1）4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共计9×
10＝90（种）填法，即4位回文数有90个．
（2）根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．结合分步计数原理，知有9×
10n种填法．
11．有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加．
（1）若只需一人参加，有多少种不同选法？
（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？
（3）若需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同选法？
解
（1）只需一人参加，可按老师，男同学，女同学分三类各自有3,6,8种方法，总方法数为3＋6＋8＝17.
（2）分两步，先选教师共3种选法，再选学生共6＋8＝14（种）选法，由分步计数原理知，总方法数为3×
14＝42.
（3）教师，男同学，女同学各一人可分三步，每步方法依次为3,6,8种．由分步计数原理知，总方法数为3×
6×
8＝144（种）．
12．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．
解 方法一 设染色按S－A－B－C－D的顺序进行，对S，A，B染色，有5×
3＝60（种）染色方法．
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C），S不同色，有3种选择；
C与A不同色时，C有2种可选择的颜色，D也有2种颜色可供选择．从而对C、D染色有1×
3＋2×
2＝7（种）染色方法．
由分步计数原理，不同的染色方法种数为60×
7＝420.
方法二 根据所用颜色种数分类，可分三类．
第一类：
用3种颜色，此时A与C，B与D分别同色，问题相当于从5种颜色中选3种涂三个点，共A
＝60（种）涂法；
第二类：
用4种颜色，此时A与C，B与D中有且只有一组同色，涂法种数为2A
＝240；
第三类：
用5种颜色，涂法种数共A
综上可知，满足题意的染色方法种数为60＋240＋120＝420.
*13.已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：
（1）y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数？
其中偶函数有多少个？
（2）y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数？
解
（1）a的取值有5种情况，b的取值6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×
6＝180（个）不同的二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，故有5×
6＝30（个）．
（2）y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×
6＝72（个）图象开口向上的二次函数．
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