K清风数学建模铅球投掷问题四川理工学院Word格式.docx

K清风数学建模铅球投掷问题四川理工学院Word格式.docx

《K清风数学建模铅球投掷问题四川理工学院Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《K清风数学建模铅球投掷问题四川理工学院Word格式.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

表1李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩

姓名

出手速度

出手高度

出手角度

实测成绩

李梅素

斯卢皮亚内克

表2我国优秀运发动的铅球投掷数据

成绩s（m）

黄志红

隋新梅

2　问题的分析

针对如何使铅球掷得最远，只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可，铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止，再做自由落体运动落到地面求出。

3　根本假设

假设一：

铅球在空中运动时所受到的空气阻力很小，可以忽略；

假设二：

铅球在水平方向的运动可以近似看做是匀速直线运动；

假设三：

铅球在垂直方向的运动只受到重力影响可近似看做是匀变速直线运动；

假设四：

铅球抛出时运发动已到投掷圆边界，投掷远度等于铅球在水平方向运动的距离；

2；

假设六：

圆周率π用3.14表示；

假设七：

铅球为一质点；

假设八：

出手速度和出手角度无关。

4　定义符号说明

:

铅球投掷后在空气中运动的时间

；

：

铅球投掷后在垂直方向上以向上的速度运动到静止的时间

铅球投掷后在垂直方向上到达顶点后自由落体落到地面的时间

铅球投掷后的初始速度

铅球投掷后在水平方向上的初始分速度

铅球投掷后在垂直方向上的初始分速度

铅球投掷后的初始出手角度

铅球投掷后的出手高度

铅球投掷后在垂直方向上运动到第一次静止时的行进路程

铅球投掷后在垂直方向上到达最高点时距离地面的高度

铅球投掷后的重力加速度

铅球投掷的实测成绩

5模型的建立

5-1图形示意

图1图2

图3图4

5-2根据图形示意可求函数：

；

。

5-3建立数学模型

汇总以上所求函数加以简化可以得出以下函数：

模型检验：

根据参考数据资料，计算测试成绩并与实测成绩作比拟，计算误差

表3

出手速度〔m/s〕

出手高度（m）

出手角度〔°

〕

实测成绩〔m〕

计算值（m）

相对误差〔%〕

2

40

表4

39

由上表可知相对误差控制在1%左右，所以模型合理。

6　模型的求解

6-1.由模型可知，影响铅球投掷远度的因素有：

出手高度h，出手速度v,出手角度α.

6-2.在炮弹发射问题中〔

〕，求得45°

为最优发射角度，在铅球投掷过程中，因为受到出手速度v和出手高度h影响，所以最优出手角度偏离45°

所以不同的出手速度v和不同的出手高度h之下最优出手角度不同，给出固定的出手速度v和出手高度h后，可用数值法进行计算求得最大的投掷距离下的最优出手角度。

观察参考数据资料，以出手速度v=13.5m/s,出手高度h=2m，将α从35°

到50°

划分为30个等长区间，求出最优出手角度的大概范围。

表5

数值模拟

α

v

g

h

s

35

43

14

36

44

37

45

38

46

47

48

41

49

42

50

图5

根据以上图表，可知出手速度v=13.5m/s,出手高度h=2m时，最远投掷距离s=20.4993，最优出手角度α=42°

，可知出手角度的大概范围在40°

到44°

之间。

同理，计算在参考数据中，计算投掷距离最远时的出手角度，得出表格

表6

最远投掷距离〔m〕

最优出手角度α〔°

表7

根据以上数据可知：

不同运发动，最优出手角度不同，即使同一运发动出手速度、出手高度不同最优出手角度也不同，但是根本分布在42°

°

之间.

所以，由数值法分析可知，铅球运发动的最优出手角度在42°

6-3.

图6

图7

图8

图9

图10

图11

6-3-1．用excle进行计算在不同出手角度下，出手速度从12m/s到15m/s变化时的投掷距离如下表所示〔假设出手高度h=2m〕：

表8

不同出手角度（°

出手速度变化范围

最近投掷距离〔m〕

距离差〔m〕

与最远距离偏差〔%〕

与最近距离偏差〔%〕

30

12m/s-15m/s

22.8875

15.5560

7.3315

47.1297

24.1251

16.2349

7.8902

48.6002

24.7834

16.5537

8.2297

49.7154

24.8721

16.5722

8.2999

50.0833

24.8739

16.5715

8.3024

50.1007

24.8754

16.5705

8.3048

50.1180

24.8766

16.5695

8.3071

50.1352

24.8776

16.5682

8.3093

50.1523

24.8783

16.5668

8.3115

50.1693

24.8114

16.4787

8.3327

50.5664

24.1845

15.9930

8.1916

51.2198

由上表可知：

在不同出手角度下，出手速度在12m/s-15m/s变化时引起的投掷距离距离差很大，约为7m到8m，占到最远投掷距离的32%-34%，占到最近投掷距离的47%-52%。

6-3-2.用excle进行计算在不同出手速度下，出手角度从42°

变化时的投掷距离如下表所示：

表9

不同出手速度〔m/s）

出手角度变化范围

12

42°

13

15

在不同出手速度下，出手角度在42°

变化时引起的投掷距离距离差很小，约为0.001m到0.007m，占到最远投掷距离的0.001%-0.030%，占到最近投掷距离的0.003%-0.03%。

分析以上两组偏差数据，可知出手速度对投掷距离影响偏差约为7-8m，占到最远投掷距离的32%-34%，占到最近投掷距离的47%-52%，而出手角度对投掷距离影响偏差约为0.001-0.007m,只占到最远投掷距离的0.001%-0.030%，占到最近投掷距离的0.003%-0.03%。

所以可知出手速度对投掷距离影响远大于出手角度对投掷距离的影响。

这个结果说明，教练在训练运发动时，应集中主要精力来增加投掷的初始速度。

7　模型的评价与改良

〔1〕上面的模型忽略了铅球在空气中运动时受到的空气阻力的影响，重力加速度随地域不同的变化，出手高度因运发动个体差异引起的不同等，如果加上以上因素，得出的公式将会更加准确，但处理过程会变得很复杂；

〔2〕铅球投掷问题的数学模型，可以应用于铁饼、标枪或篮球投篮等投掷问题，

8　建模体会

在我们的日常生活当中，许多看似简单的物理问题,往往在讨论起来会被转化为复杂抽象的数学问题,对于数学建模的能力，要求也是很高的。

这次试验充分发挥了我们的动手能力，初步了解了建模的思想，对于我们以后的具体问题分析，有着很重要的作用。

参考文献：

[1]李建臣阚福林?

现代推铅球运动?

北京体育大学出版社2007

[2]