八年级上第一章轴对称与轴对称图形解答题Word文档格式.docx

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（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC能否成为等腰三角形？

如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；

如果不可能，请说明理由．

、

6.（2005•成都）已知：

如图△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GC的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE、CD．

△AGE≌DAC；

（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．

7.已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．

△AGE≌△DAB；

（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．

8.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，

（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；

（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？

（用含有x或y的代数式表示）

（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．

9.（2009•河南）如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．

10. 

（2008•云南）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，若点M为线段AD上任意一点（M与A、D不重合）．问：

当点M在什么位置时，MB=MC，请说明理由．

答案

1考点：

平行线的性质；

角平分线的性质．

专题：

动点型；

探究型．

分析：

（1）如图1延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；

（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．

解答：

解：

（1）解法一：

如图1延长BP交直线AC于点E．

∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．

∵∠APB=∠PAE+∠PEA，

∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

解法二：

如图2

过点P作FP∥AC，

∴∠PAC=∠APF．

∵AC∥BD，∴FP∥BD．

∴∠FPB=∠PBD．

∴∠APB=∠APF+∠FPB

=∠PAC+∠PBD；

解法三：

如图3，

∵AC∥BD，

∴∠CAB+∠ABD=180°

，

∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°

．

又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°

∴∠APB=∠PAC+∠PBD．

（2）不成立．

（3）（a）

当动点P在射线BA的右侧时，结论是

∠PBD=∠PAC+∠APB．

（b）当动点P在射线BA上，

结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．

或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°

∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．

（c）当动点P在射线BA的左侧时，

结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．

选择（a）证明：

如图4，连接PA，连接PB交AC于M．

∴∠PMC=∠PBD．

又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），

∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

选择（b）证明：

如图5

∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．

∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．

∴∠PBD=∠PAC+∠APB

或∠PAC=∠PBD+∠APB

或∠APB=0°

，∠PAC=∠PBD．

选择（c）证明：

如图6，连接PA，连接PB交AC于F

∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．

∵∠PAC=∠APF+∠PFA，

∴∠PAC=∠APB+∠PBD．

点评：

此题考查了角平分线的性质；

是一道探索性问题，旨在考查同学们对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况．认真做好

（1）

（2）小题，可以为（3）小题提供思路．

2.考点：

三角形内角和定理；

△ABC中，根据三角形内角和定理得到∠BAC的度数，进而求出∠DAC的度数，在直角△ACD中根据三角形内角和定理得到∠DAC的度数，则∠DAE的度数就可以求出．

在△ABC中∠BAC=180-∠B-∠C=76°

又∵．AE平分∠BAC，

∴∠EAC=38°

在直角△ACD中，∠DAC=90-∠C=56°

∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=18°

本题主要考查了三角形的角的平分线的性质．利用垂直求得∠DAC=90-∠C=56°

是正确解答本题的关键．

4.考点：

全等三角形的判定；

等边三角形的性质．

计算题；

证明题．

（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°

，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD；

（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°

证明：

（1）∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=∠C=60°

，AB=CA．

在△ABE和△CAD中，

AB=CA，∠BAE=∠C，AE=CD，

∴△ABE≌△CAD．

（2）∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，

又∵△ABE≌△CAD，

∴∠ABE=∠CAD．

∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°

本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

5.考点：

等腰三角形的性质．

压轴题．

（1）根据∠OPC=90°

和同角的余角相等，我们可得出三角形OPM和PCN中两组对应角相等，要证两三角形全等，必须有相等的边参与，已知了OA=OB，因此三角形OAB是等腰直角三角形，那么三角形AMP也是个等腰三角形，AM=MP，OA=OB=MN，由此我们可得出OM=PN，由此我们可得出两三角形全等．

（2）知道了A的坐标，也就知道了OA、OB、MN的长，在直角三角形AMP中，我们知道了AP为m，那么可用m表示出AM、MP，也就能表示出OM、BN，PN的长，那么可根据四边形OPCB的面积=矩形的面积-三角形OMP的面积-三角形PCN的面积，来求出S，m的函数关系式．然后根据C在第一象限，得出CN的取值范围，进而求出m的取值范围．

（3）要分两种情况进行讨论：

当C在第一象限时，要想使PCB为等腰三角形，那么PC=CB，∠PBC=45°

，因此此时P与A重合，那么P的坐标就是A的坐标．

当C在第四象限时，要想使PCB为等腰三角形，那么PB=BC，在等腰直角三角形PBN中，我们可以用m表示出BP的长，也就表示出了BC的长，然后根据

（1）中的全等三角形，可得出MP=NC，那么可用这两个含未知数m的式子得出关于m的方程来求出m的值．那么也就求出了PM、OM的长，也就得出了P点的坐标．

（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°

∴四边形OBNM为矩形

∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°

∵OA=OB，

∴∠1=∠3=45°

∵MN∥OB，

∴∠2=∠3=45°

∴∠1=∠2=45°

∴AM=PM

∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM

∴OM=PN

∵∠OPC=90°

∴∠4+5=90°

又∵∠4+∠6=90°

∴∠5=∠6

∴△OPM≌△PCN

（2）∵AM=PM=APsin45°

=22m，

∴OM=1-22m

∴S=S矩形OBNM-2S△POM=（1-22m）-2×

12（1-22m）•22m

=12m2-2m+1（0≤m＜22）．

（3）△PBC可能成为等腰三角形

①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）

②当点C在第四象限，且PB=CB时

有BN=PN=1-22m

∴BC=PB=2PN=2-m

∴NC=BN+BC=1-22m+2-m

由

（2）知：

NC=PM=22m

∴1-22m+2-m=22m

整理得（2+1）m=2+1

∴m=1

∴PM=22m=22，BN=1-22m=1-22

∴P（22，1-22）

由题意可知PC=PB不成立

∴使△PBC为等腰三角形的点P的坐标为（0，1）或（22，1-22）．

本题考查了全等三角形的判定及等腰三角形的性质；

此题的设计比较精巧，将几何知识放在坐标系中进行考查，第1题运用相似形等几何知识不难得证，第2小题需利用第1小问的结论来建立函数解析式，第3小题需分类讨论，不要漏解，运用方程思想可以得到答案，分类讨论是正确解答本题的关键．

6.考点：

等边三角形的性质；

等边三角形的判定．

证明题；

（1）根据已知等边三解形的性质可推出△ADG是等边三角形，从而再利用SAS判定△AGE≌△DAC；

（2）连接AF，由已知可得四边形EFCD是平行四边形，从而得到EF=CD，∠DEF=∠DCF，由

（1）知△AGE≌△DAC得到AE=CD，∠AED=∠ACD，从而可得到EF=AE，∠AEF=60°

，所以△AEF为等边三角形．

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°

∵EG∥BC，

∴∠ADG=∠ABC=60°

∠AGD=∠ACB=60°

∴△ADG是等边三角形．

∴AD=DG=AG．

∵DE=DB，

∴EG=AB．

∴GE=AC．

∵EG=AB=CA，

∴∠AGE=∠DAC=60°

，AG=DA，

∴△AGE≌△DAC．

（2）连接AF，△AEF为等边三角形，

∵EG∥BC，EF∥DC，

∴四边形EFCD是平行四边形，

∴EF=CD，∠DEF=∠DCF，

由

（1）知△AGE≌△DAC，

∴AE=CD，∠AED=∠ACD．

∵EF=CD=AE，∠AED+∠DEF=∠ACD+∠DCB=60°

∴△AEF为等边三角形．

此题主要考查学生对全等三角形的判定，等边三角形的性质及判定的理解及运用．

7.考点：

（1）根据SAS判定△AGE和△DAB全等；

（2）证明四边形DEFB是平行四边形，三角形AEF是个等边三角形．

（1）∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，

∴∠AGD=∠ABC=60°

，∠ADG=∠ACB=60°

，且∠BAC=60°

∴△AGD是等边三角形，

AG=GD=AD，∠AGD=60°

∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，

∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，

∴△AGE≌△DAB；

（2）由

（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．

∵EF∥DB，DG∥BC，

∴四边形BFED是平行四边形．

∴EF=BD，

∴EF=AE．

∵∠DBC=∠DEF，

∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°

∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°

本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中利用全等三角形实现线段的相等和角的转换是解题的关键．

8.考点：

翻折变换（折叠问题）．

操作型；

（1）根据折叠就可写出一对全等三角形，根据折叠，则重合的顶点是对应点，重合的角是对应角；

（2）根据全等三角形的对应角相等，以及平角的定义进行表示；

（3）根据

（2）中的表示方法，可以求得∠1+∠2，再找到∠A和x、y之间的关系，就可建立它们之间的联系．

（1）△EAD≌△EA'

D，其中∠EAD=∠EA'

D，∠AED=∠A'

ED，∠ADE=∠A'

DE；

（2）∠1=180°

-2x，∠2=180°

-2y；

（3）∵∠1+∠2=360°

-2（x+y）=360°

-2（180°

-∠A）=2∠A．

规律为：

∠1+∠2=2∠A．

在研究折叠问题时，有全等形出现，要充分利用全等的性质．

9.考点：

全等三角形的判定与性质；

首先进行判断：

OE⊥AB，由已知条件不难证明△BAC≌△ABD，得∠OBA=∠OAB再利用等腰三角形“三线合-”的性质即可证得结论．

在△BAC和△ABD中，{AC=BD∠BAC=∠ABDAB=BA

∴△BAC≌△ABD．

∴∠OBA=∠OAB，

∴OA=OB．

又∵AE=BE，∴OE⊥AB．

答：

OE⊥AB．

本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；

解决此类问题，要熟练掌握三角形全等的判定、等腰三角形的性质等知识．

10.考点：

等腰梯形的性质．

先根据已知条件在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，知道这是一个等腰梯形，然后作出辅助线，通过证明三角形全等，可知AM=BM，得出点M在AD的中点上．

当点M是AD的中点时，MB=MC．（2分）

理由如下：

如图，连接MB、MC，

∵在梯形ABCD中，AB=DC，

∴梯形ABCD是等腰梯形，从而∠A=∠D．（5分）

∵点M是AD的中点，∴MA=MD．

又∵AB=DC，∴△MAB≌△MDC．

∴MB=MC．（8分）

本题涉及到等腰三角形的性质及全等三角形的判定定理，需同学们细心解答．