初中数学奥林匹克竞赛题及答案Word格式文档下载.docx

初中数学奥林匹克竞赛题及答案Word格式文档下载.docx

《初中数学奥林匹克竞赛题及答案Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学奥林匹克竞赛题及答案Word格式文档下载.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

D．b＞0

5．大于－π并且不是自然数的整数有（）

A．2个

B．3个

C．4个

D．无数个

在数轴上容易看出：

在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，

－1，0共4个．选C。

6．有四种说法：

甲．正数的平方不一定大于它本身；

乙．正数的立方不一定大于它本身；

丙．负数的平方不一定大于它本身；

丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是（）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

B

负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是（）

A．a大于－a

B．a小于－a

C．a大于－a或a小于－a

D．a不一定大于－a

令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。

8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边（）A．乘以同一个数

B．乘以同一个整式

C．加上同一个代数式

D．都加上

1

对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。

我们考

察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得（x－1）（x－2）=0，

其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。

同理应排除C．事实上方程两边同时加上一

个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D．

9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了

10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是（）

A．一样多

B．多了

C．少了

D．多少都可能

设杯中原有水量为a，依题意可得，

第二天杯中水量为a×

（1－10%）=0.9a；

第三天杯中水量为（0.9a）×

（1+10%）=0.9×

1.1×

a；

第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1，所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将（）

A．增多

B．减少

C．不变D．增多、减少都有可能

A

二、填空题（每题1分，共10分）

1．198919902－198919892=______。

198919902－198919892

=（19891990+19891989）×

（19891990－19891989）

1=39783979。

利用公式a2-b2=（a+b）（a-b）计算。

2．1－2＋3－4+5－6+7－8+⋯+4999－5000=______。

1－2+3－4+5－6+7－8+⋯+4999－5000

=（1－2）+（3－4）+（5－6）+（7－8）+⋯+（4999－5000）

=－2500。

本题运用了运算当中的结合律。

3．当a=－0.2，b=0.04时，代数式a2-b的值是______。

0

原式==（－0.2）2－0.04=0。

把已知条件代入代数式计算即可。

4．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克。

45000（克）

食盐30%的盐水60千克中含盐60×

30%（千克），设蒸发变成含盐为40%的水重x克，

即0.001x千克，此时，60×

30%=（0.001x）×

40%

解得：

x=45000（克）。

遇到这一类问题，我们要找不变量，本题中盐的含量是一个不变量，通过它列出等式进行计算。

三、解答题

1.甲乙两人每年收入相等，甲每年储蓄全年收入的1，乙每月比甲多开支100元，

5

三年后负债600元，求每人每年收入多少？

：

解得，x=5000

答：

每人每年收入5000元。

所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24。

4．一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程。

设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则：

由②有2x+y=20，③

由①有y=12-x，将之代入③得2x+12-x=20。

所以x=8（千米），于是y=4（千米）。

上坡路程为8千米，下坡路程为4千米。

5．求和：

。

第n项为

所以

6．证明：

质数p除以30所得的余数一定不是合数。

证明：

设p=30q＋r，0≤r＜30，

因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30。

假设r为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5。

再由p=30q＋r知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾。

所以，r一定不是合数。

解：

设

由①式得（2p-1）（2q-1）=mpq，即

（4-m）pq+1=2（p+q）。

可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，

q。

（1）若m=1时，有

解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．

（2）若m=2时，有

因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．

（3）若m=3时，有

解之得

故p＋q=8。

奥数题二

一、选择题

1．数1是（）

A．最小整数

B．最小正数

C．最小自然数

D．最小有理数

整数无最小数，排除A；

正数无最小数，排除B；

有理数无最小数，排除D。

1是最小自然数，正确，故选C。

2.a为有理数，则一定成立的关系式是（）

A．7a＞a

B．7+a＞a

C．7+a＞7

D．|a|≥7

若a=0，7×

0=0排除A；

7+0=7排除C；

|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选B。

3.3.1416×

7.5944+3.1416×

（-5.5944）的值是（）A．6.1632

B．6.2832C．6.5132D．5.3692

3.1416×

（-5.5944）

=3.1416（7.5944-5.5944）=2×

3.1416

=6.2832，选B。

4.在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是（）

A．225B．0.15

C．0.0001

D．1

-4，-1，-2.5，-0.01与-15中最大的数是-0.01，绝对值最大的数是-15，（-0.01）×

（-15）=0.15，选B。

二、填空题

1．计算：

（-1）+（-1）-（-1）×

（-1）÷

（-1）=______。

（-1）=（-2）-（-1）=-1。

2.求值：

（-1991）-|3-|-31||=______。

（-1991）-|3-|-31||=-1991-28=-2019。

3.n为正整数，1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009。

则n的最小值等于______。

4

1990n的末四位数字应为1991+8009的末四位数字．即为0000，即1990n末位至少要4个0，所以n的最小值为4。

4.不超过（-1.7）2的最大整数是______。

2

（-1.7）2=2.89，不超过2.89的最大整数为2。

5.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______。

29

个位数比十位数大7的两位数有18，29，其中只有29是质数。

1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值。

原式

=2x（3x2-x）+3（3x2-x）-2x+2000=2x×

1＋3×

1-2x+2000=2003。

2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用

提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件。

试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？

最大利润是多少元？

原来每天可获利4×

100元，若每件提价x元，则每件商品获利（4＋x）元，

但每天卖出为（100-10x）件。

如果设每天获利为y元，

则y＝（4＋x）（100-10x）

=400＋100x-40x-10x2

=-10（x-6x＋9）＋90＋400

所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大为490元。

3．如图1－96所示，已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋

∠2=90°

求证：

DA⊥AB。

∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°

，

∴∠ADC＋∠BCD=180°

∴AD∥BC。

又∵AB⊥BC，

∴AB⊥AD。

4.求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解。

｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即｜x｜（｜y｜-2）+（｜y｜-2）=2，所以（｜x｜+1）（｜y｜-2）=2。

因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以

5.王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？

（一年期定期储蓄年利率为5.22％）

设设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则

因为

y=35000-x，

x（1＋0.0711×

3）（1＋0.0522）2

+（35000-x）（1+0.0786

×

5）=47761，

1.3433x＋48755-1.393x=47761，

0.0497x=994，

x=20000（元），y=35000-20000=15000（

元）。

6.对k，m

因为

的哪些值，方程组

（k－1）x＝m-4，①

至少有一组解？

m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解。

当k=1，m≠4时，①无解。

所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解。

奥数题三

1.下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是（）A.x2y与-3x2z

33

B.3.22m2n与nm2

C.0.2a2b与0.2ab2

D.11abc与ab

字母相同,并且相同字母的指数也相同的两个式子叫同类项。

2.（x-1）-（1-x）+（x+1）等于（）

A．3x-3

B．x-1

C．3x-1

D．x-3

（x-1）-（1-x）+（x+1）

=x-1-1+x+x+1=3x-1，选C。

3.两个10次多项式的和是（）A．20次多项式

B．10次多项式C．100次多项式

D．不高于10次的多项式答案：

10

+x与-x

是个次数低于10次的多项式，因此排

多项式x

+x2之和为x2+x

除了A、B、C，选D。

4.若a+1＜0，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是（）

A．a，-1，1，-a

B．-a，-1，1，a

C．-1，-a，a，1

D．-1，a，1，-a

由a+1＜0，知a＜-1，所以-a＞1。

于是由小到大的排列次序应是a＜-1

＜1＜-a，选A。

5.a=-123.4-（-123.5），b=123.4-123.5，c=123.4-（-123.5），则（）

A．c＞b＞a

B．c＞a＞b

C．a＞b＞c

D．b＞c＞a

易见a=-123.4+123.5=0.1

，b=123.4-123.5＜0，c=123.4-（-123.5）

＞123.4

＞a，所以b＜a＜c，选B。

6．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|

，那么下列式子中结果是正数的是（）

A．（a-b）（ab+a）

B．（a+b）（a-b）

C．（a+b）（ab+a）

D．（ab-b）（a+b）

因为a＜0，b＞0．所以|a|=-a，|b|=b．由于|a|＜|b|得-a＜b，因此a+b＞0，a-b＜0。

ab+a＜0，ab-b＜0。

所以应有（a-b）（ab+a）＞0成立，选A。

7．从2a+5b减去4a-4b的一半，应当得到（）

A．4a-b

B．b-a

C．a-9b

D．7b

2a5b（4a4b）=2a+5b-2a+2b=7b，选D。

8．a，b，c，m都是有理数，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c（）

A．互为相反数

B．互为倒数

C．互为负倒数

D．相等

因为a+2b+3c=m=a+b+2c，所以b+c=0，即b，c互为相反数，选A。

9．张梅写出了五个有理数，前三个有理数的平均值为15，后两个有理数的平均值是10，那么张梅写出的五个有理数的平均值是（）

A.5

B.8

C.12

D.13

前三个数之和=15×

3，后两个数之和=10×

2。

所以五个有理数的平均数为（45+20）÷

5=13，选D。

1．2+（-3）+（-4）+5+6+（-7）+（-8）+9+10+（-11）+（-12）+13+14+15=______。

前12个数，每四个一组，每组之和都是0．所以总和为14+15=29。

2.若P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2，则代入到代数式P-[Q-2P-（-P-Q）]中，化简后，

是______。

12ab。

因为P-[Q-2P-（-P-Q）]=P-Q+2P+（-P-Q）

=P-Q+2P-P-Q

=2P-2Q=2（P-Q）

以P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2代入，

原式=2（P-Q）=2[（a2+3ab+b2）-（a2-3ab+b2）]

=2（6ab）=12ab。

3．小华写出四个有理数，其中每三数之和分别为2，17，-1，-3，那么小华写

出的四个有理数的乘积等于______。

-1728。

设这四个有理数为a、b、c、d，则

abc=2

a+b+d=17

a+c+d=-1

b+c+d=-3

有3（a+b+c+d）=15，即a+b+c+d=5。

分别减去每三数之和后可得这四个有理数依次为3，-12，6，8，所以，这四个有理数的乘积=3×

（-12）×

6×

8=-1728。

4．一种小麦磨成面粉后，重量要减少15%，为了得到4250公斤面粉，至少需要

______公斤的小麦。

5000

设需要x公斤的小麦，则有

x（x-15％）=4250

x=5000

原式化简得6（a-1）x=3-6b+4ab，当a≠1时，

3.液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量。

去分母、化简得7x2-300x+800=0，即7x-20）（x-40）=0，

4.6．设P是△ABC内一点．求：

P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围。

如图1－105所示。

在△PBC中有BC＜PB＋PC，①

延长BP交AC于D．易证PB＋PC＜AB＋AC，

②

由①，②

BC＜PB＋PC＜AB+AC，

③

同理

AC＜PA＋PC＜AC＋BC，

④

AB＜PA＋PB＜AC＋AB。

⑤

③＋④＋⑤得AB＋BC＋CA＜2（PA＋PB＋PC）＜2（AB＋BC＋CA）。

5.甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行

24千米，甲经过

9

小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离。

设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为（9x+16y）千米；

依题意得：

由①得16y2=9x2，③

由②得16y=24＋9x，将之代入③得

即（24＋9x）2=（12x）2．解之得

于是

所以两站距离为9×

8＋16×

6=168（千米）。