中考初中数学圆的最值问题含答案分析Word文档格式.docx

中考初中数学圆的最值问题含答案分析Word文档格式.docx

《中考初中数学圆的最值问题含答案分析Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考初中数学圆的最值问题含答案分析Word文档格式.docx（49页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

AB与

则半

16

画OO,

相交于点

17.（2015秋？

江阴市校级期中）如图，OO与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE

与OO相切于E点.若正方形ABCD的周长为28,且DE=4,则sin/ODE=

AD

13.（2013?

陕西）如图，AB是OO的一条弦，点C是OO上一动点，且/ACB=30°

点E、F分别是AC、BC的

中点，直线EF与OO交于G、H两点.若OO的半径为乙贝UGE+FH的最大值为.

14.（2013?

咸宁）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3.：

OO的半径为1,点P是AB边上的动点，过点P作OO的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为.

（2013?

内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13,0）,直线y=kx-3k+4与OO交于

C两点，则弦BC的长的最小值为.讣

（2011?

苏州校级一模）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径月

P是OO是一动点且P在第一象限内，过P作OO切线与x轴相交于点A，与y轴厂亠弋

B•则线段AB的最小值是L一一卜、

/F八

二.填空题（共12小题）

&

武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G

BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.

卫呈—直一D/~、

CAI

9.（2015?

黄陂区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，/ACB=90°

AC=4,BC=3，点D是平面内的一个动点，

AD=2,M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是.

10.（2012?

宁波）如图，△ABC中，/BAC=60°

/ABC=45°

AB=2血,D是线段BC上的一个动点，以直径画OO分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为.

11.（2015?

峨眉山市一模）如图，已知直线I与OO相离，OA丄I于点A,OA=10,OA与OO相交于点P,

OO相切于点B,BP的延长线交直线I于点C.若OO上存在点0,使厶QAC是以AC为底边的等腰三角形，径r的取值范围是：

.

12.（2013?

长春模拟）如图，在△ABC中，/C=90°

AC=12,BC=5，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则PQ长的最小值为.忖

B—~~、厶

-卜—y

八

为反比例函数沪图象上的两点，动点P

P的坐标是

18.（2014春？

兴化市校级月考）如图所示，已知A（1，yi），B（2，y2）

（x,0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点

19.（2015?

泰兴市二模）如图，定长弦CD在以AB为直径的OO上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP丄AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则I的最大值是.

三•解答题（共5小题）

20.（2013?

武汉模拟）如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作OD，

O为圆心OA长为半径作圆O,C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交O于点E，BC=a，AC=b.

（1）求证：

AE=b+_;

a;

（2）求a+b的最大值；

（3）若m是关于x的方程：

x2+“J.：

ax=b2+'

；

ab的一个根，求m的取值范围.

21.（2014春？

泰兴市校级期中）如图,

E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足

AE=DF.连接CF交

BD于G，连接BE交AG于H.已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题:

（1）求证：

BE丄AG;

（2）求线段DH的长度的最小值.

22.已知：

如图，AB是OO的直径，在AB的两侧有定点C和动点P，AB=5，AC=3.点P在树■上运动（点P不与A，B重合），CP交AB于点D，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.

（1）求/P的正切值；

（2）当CP丄AB时，求CD和CQ的长；

（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？

求此时CQ的长.

23.（2013?

日照）问题背景:

如图（a）,点A、B在直线I的同侧，要在直线I上找一点C,使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关

25、如图，在等腰Rt△ABC中，/C=90,AC=BC=4D是AB的中点，点

过A、D、E三点作O

0,0O交AC于另一点F,在此运动变化的过程中,

E在AB边上运动（点E不与点A重合）,

26、如图，线段AB=4,

则O0半径的最小值为（

B.口

3

C为线段

）.

A.4

C.

AB上的一个动点，以AGBC为边作等边△ACD和等边△

BCEO0外接于△CDE

3;

D.2

27、

A0

A0B中,

直角顶点0在半径为1的圆心上，斜边与圆相切，延长

如图，已知直角△

BO分别与圆交于C,D.试求四边形ABCD面积的最小值.

线段EF长度的最小值为

S）U）M

（1）实践运用：

如图（b）,已知，OO的直径CD为4,点A在OO上，/ACD=30°

B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为.

（2）知识拓展：

如图（c）,在Rt△ABC中，AB=10,ZBAC=45°

/BAC的平分线交BC于点D,E、F分别是线段AD和AB上

的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.

24.（2012?

苏州）如图，已知半径为2的OO与直线I相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线I的垂线，垂足为C,PC与OO交于点D，连接

PA、PB,设PC的长为x（2VxV4）.

（1）当x=Z时，求弦PA、PB的长度；

（2）当x为何值时，PD?

CD的值最大？

最大值是多少？

图3-97

2015年12月18日王军的初中数学组卷圆的最值问题

参考答案与试题解析

一•选择题（共7小题）

1.

c为第

（2014春?

兴化市月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3,0），点B为y轴正半轴上的一点，点

A.m二0

直线与圆的位置关系；

坐标与图形性质；

锐角三角函数的定义.

C在以A为圆心，以2为半径的圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，/BOC最小,股定理求出此时的OC,求出/BOC=/CAO，根据解直角三角形求出此时的值，根据出答案.

【解答】解：

C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到

【考点】

【分析】

tan/BOC的增减性,

根据勾

即可求

C点）时，/BOC最小,

B.

c.

一象限内一点，且AC=2，设tan/BOC=m，贝Um的取值范围是（）

D.二

•••/BOA=/ACO=90°

•••/BOC+/AOC=90°

/CAO+/AOC=90°

•••/BOC=/OAC,

tan/BOC=tan/OAC=—=—-

AC2

随着C的移动，/BOC越来越大，

•••C在第一象限，

•C不到x轴点，

即/BOCV90°

•tan/BOC

2，

故选B.

BOC的变化范围是解此题的

【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确定/

关键，题型比较好，但是有一定的难度.

【考点】【专题】【分析】

切线的性质.

计算题.

连接AO并延长，与圆

B.6C.

O交于P点，当AF垂直于ED时，线段DE长最大，设圆0与AB相切于点M,连接0M,PD,由对称性得到AF为角平分线，得到/FAD为30度，根据切线的性质得到0M垂直于AD，在直角三角形AOM中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出A0的长，由AO+OP求出AP的长，即为圆P

的半径，由三角形AED为等边三角形，得到DP为角平分线，在直角三角形PFD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出PF的长，再利用勾股定理求出FD的长，由DE=2FD求出DE的长，即为DE的最大值.

【解答】解：

连接A0并延长，与ED交于F点，与圆0交于P点，此时线段ED最大，连接0M,PD,可得F为ED的中点，

•••/BAC=60°

AE=AD,

•••△AED为等边三角形，

•••AF为角平分线，即/FAD=30°

在Rt△A0M中，0M=1，/0AM=30°

•0A=2,

•PD=PA=A0+0P=3,

在Rt△PDF中，/FDP=30°

PD=3,

•PF=：

则DE=2FD=3

故选D

根据勾股定理得：

FD=.|二;

.—,

武汉模拟）如图，P为OO内的一个定点，A为OO上的一个动点，射线

，则弦BC的最大值为（）

AP、AO分别与OO交于B、C

【考点】垂径定理；

三角形中位线定理.

【分析】当OP丄AB时，弦BC最长，根据三角形相似可以确定答案.

当OP丄AC时，弦BC最长，

又•••AC是直径，

•••/CBA=90°

所以△APOABC,

D•3二

又•••OP=二，

•BC=2二.

故答案选A.

【点评】本题考查了直径所对的圆周角是90°

这一性质的应用，以及如何取线段最值问题的做法，用好三角形相似

是解答本题的关键.

OA=6，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D

重合），PQ丄OD于Q,点IOPQ的内心，过O,I和D三点的圆的半径为r.则当点P

【考点】三角形的内切圆与内心.

【分析】连01,PI,DI,由厶0PH的内心为I,可得到/PIO=180O-ZIPO-zIOP=180。

-（/HOP+/OPH）=135°

并且易证△OPI◎△ODI，得到ZDIO=ZPIO=135°

所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°

的一段劣弧

上；

过D、I、O三点作OO；

如图，连OD,O'

O,在优弧AO取点P'

连PD,P'

O,可得ZDPO=180°

-135°

45°

得ZDO'

O=9O°

O'

O=3伍.

如图，连OI,PI,DI,

•/△OPH的内心为I,

•••ZIOP=ZIOD,ZIPO=ZIPH,

•••ZPIO=180°

-ZIPO-ZIOP=180。

-—（ZHOP+ZOPH）,

而PH丄OD，即ZPHO=90°

•ZPIO=180。

-丄（ZHOP+ZOPH）=180。

-丄（180°

90°

=135°

22

在厶OPI和厶ODI中，

10=10

•ZP0.I=ZDPI,

lodop

•••△OPI◎△ODI（SAS）,

•ZDIO=ZPIO=135°

所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135。

的一段劣弧上；

过D、I、O三点作OO'

如图，连OD,O'

O,

在优弧DO取点P'

连P'

D,PO,

•••ZDIO=135°

•ZDP'

O=180°

45°

•ZDO,=90°

o而OD=6,

•OO，DO，3二，

•r的值为3匚.

【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键.

5.（2010?

苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2,0）、（0,2）,OC的圆心坐标为（-1,0）,半径为1.若D是OC上的一个动点，线段DA与y轴交于点E,则△ABE面积的最小值是（）

D•.：

【专题】

切线的性质；

三角形的面积；

相似三角形的判定与性质.压轴题；

动点型.

由于OA的长为定值，若厶ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与OO相切；

可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的面积；

易证得△AEOACD，根据相似三角形的面积比等于

相似比的平方，可求出△AOE的面积，进而可得出△AOB和厶AOE的面积差，由此得解.【解答】解：

若△ABE的面积最小，则AD与OC相切，连接CD,贝UCD丄AD；

RtAACD中,CD=1,AC=0C+0A=3；

由勾股定理，得：

AD=2匚；

=AD

?

CD=:

;

易证得△AOEADC,

•••-「=（T）2=（—）2='

也2V22

=.；

__

Saaoe=■>

2>

2-丄=2,

:

..

即aoe='

Saadc

二saabe=Saaob-另解：

利用相似三角形的对应边的比相等更简单!

故选：

\'

A

*

X

（叮

7

2?

△BE面

【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；

能够正确的判断出积最小时AD与OC的位置关系是解答此题的关键.

6.（2013?

市中区模拟）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0）、（0,-6）,OC的圆心坐标为（0,7）,半径为5.若P是OC上的一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是（）

7.

一次函数综合题.

当直线BP与圆相切时，△ABD的面积最大，易证△OBDs\pbc,根据相似三角形的对应边的比相等即可求得OD的长，则AD的长度可以求得，最后利用三角形的面积公式即可求解.

当直线BP与圆相切时，△ABD的面积最大.

连接PC,则/CPB=90°

在直角△BCP中，BP二—=；

•£

-r=12.

•••/CPB=90°

•••/DOB=/CPB=90°

又•••/DBP=/CBP,

•••△OBDPBC,

•ILl-=■:

=:

..=

PCBP122

1s

•0D=—PC=.

22

•AD=OD+OA='

+8=,

以及相似三角形的判定与性质，理解

•ABD=AD?

OB=「严31「

△ADB的面积最大的条件是关键.

7.（2013?

枣庄）如图，已知线段是（）

OA交OO于点B，且OB=AB，点P是OO上的一个动点，那么/OAP的最大值

—A

【考点】切线的性质；

含30度角的直角三角形.

【分析】当AP与OO相切时，/OAP有最大值，连结0P，根据切线的性质得0P丄AP，由OB=AB得0A=20P,然后根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到此时/OAP的度数.

当AP与O0相切时，/OAP有最大值，连结0P，如图，

贝UOP丄AP,

•/OB=AB,

•••OA=2OP,

•••/PAO=30°

.

【点评】本题考查了切线的性质：

圆的切线垂直于过切点的半径•也考查了含30度的直角三角形三边的关系.

•填空题（共12小题）

（2013?

武汉）如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足_AE=DF.连接CF交BD于点G,连接2,则线段DH长度的最小值是展-1.

压轴题.

根据正方形的性质可得AB=AD=CD，/BAD=/CDA，/ADG=/CDG，然后利用边角边”证明△ABE和厶DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得/1=/2，利用SAS”证明△ADG和厶CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得/2=73,从而得到/1=/3,然后求出/AHB=90°

取AB的中点0,连接OH、0D，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得0H=_AB=1,利用勾股定理列式求出0D,然后根据三角形的三边关系可知

当0、D、H三点共线时，DH的长度最小.

在正方形ABCD中，AB=AD=CD,7BAD=7CDA,7ADG=7CDG,在厶ABE和厶DCF中，

乂ZBAD^ZCDA,

牠二DF

•△ABE也厶DCF（SAS）,

•••/1=/2,

在厶ADG和△CDG中，

'

AD=CD

£

ZADG^ZCDG,

lDG=DG

•△ADG◎△CDG（SAS）,

•••/2=/3,

•••/1=/3,

•••/BAH+/3=/BAD=90°

•••/1+/BAH=90°

•••/AHB=180°

-90°

=90°

取AB的中点O,连接OH、OD,

贝UOH=AO=_AB=1,

在Rt△AOD中，ODr出5：

=乙

根据三角形的三边关系，OH+DH>

OD,

•••当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，

最小值=OD-OH=--1.

（解法二：

可以理解为点H是在Rt△AHB,AB直径的半圆小上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，

三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点.

9.（2015?

AC=4,BC=3，点D是平面内的一个动点，且

37

AD=2,M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是—,vCMv,.

【考点】轨迹.

【分析】作AB的中点E,连接EM、CE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解.

作AB的中点E,连接EM、CE.

在直角△ABC中，AB=..=二二“_=5,

•/E是直角△ABC斜边AB上的中点，

•••CE=AB='

•••M是BD的中点，E是AB的中点，

•me=_Lad=i.

CEM中，上—1vCM<

1+1，即二vCMV丄

2222

故答案是：

<

CM.

【点评】本题考查了轨迹，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.

10.

（2012?

宁波）如图，△ABC中，/BAC=60°

AB=2“E,D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画OO分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为—.

BDC

圆周角定理；

解直角三角形.

【专题】压轴题.

【分析】由垂线段的性质可知，当ADABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段

EF=2EH=20E?

sin/EOH=20E?

sin60°

因此当半径OE最短时，EF最短，连接OE,OF，过O点作OH丄EF,垂足

为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知/EOH=^/EOF=/BAC=60°

在Rt△EOH

中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH.

由垂线段的性质可知，当ADABC的边BC上的高时，直径AD最短，

如图，连接OE,OF，过O点作OH丄EF,垂足为H,

•••在Rt△ADB中，/ABC=45°

AB=2近,

•AD=BD=2，即此时圆的直径为2,

由圆周角定理可知/EOH=■/EOF=/BAC=60°

•••在Rt△EOH中，EH=OE?

sin/EOH=1

由垂径定理可知EF=2EH=二.故答案为：

二.

【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用•关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形.

11.（201