五年级下册数学试题竞赛专题第4讲数论约倍含答案人教版文档格式.docx

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7=42

方法三：

辗转相除法：

每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数就是所求的最大公约数。

1176÷

630=1…546，630÷

546=1…84，546÷

84=6…42，84÷

42=2，42即是最大公约数。

（2）可用分解质因数法、短除法演示。

分解质因数法，396=2×

11，1980=2×

11，4158=2×

11，

最大公约数即2×

11=198

短除法，

求下列各组数的最小公倍数

（1）90、72

（2）48、54、60

【解析】

（1）可用分解素因数法，短除法演示。

，72与90的最小公倍数是2×

4×

5=360。

（2）可用分解素因数法，短除法演示。

，48和60的最小公倍数数是2×

9=2160。

【巩固拓展】

1.240一共有_______个约数；

这些约数的和是_______。

【解析】分解质因数240=2×

5，240的约数个数为：

（4＋1）×

（1＋1）×

（1＋1）＝20个。

240的约数的和为：

（1＋2＋4+8+16）×

（1＋3）×

（1＋5）＝744

2.求24、39和78的最大公约数和小公倍数。

【解析】短除法，易知最大公约数是3，最小公倍数312

将一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板，剪成面积相等的小正方形而无剩余，问至少可剪出多少块？

【解析】要求“至少”可剪出的块数，那么剪成的正方形边长要尽量长。

又因为要求“无剩余”，所以正方形的边长是长方形长与宽的最大公因数。

90和42的最大公因数是：

3=6

（90÷

6）×

（42÷

6）=105（块）

答：

至少可剪出105块。

一个长方体，长150厘米，宽72厘米，高28厘米，把它锯成尽可能大，且大小相同的正方体，锯后没有剩余，能锯成多少块？

【解析】要使锯成的正方体尽可能大，就要使棱长尽可能长。

但又要使锯后没有剩余，所以就要求长方体长、宽、高的最大公因数。

150、72和48的最大公因数是2×

（150÷

（72÷

（48÷

6）=2400（块）

能锯成2400块。

今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这三种课本的数量分别相等，那么最多可分多少堆？

【解析】要求“每堆中这三种课本的数量分别相等”，则符合要求的数应该是这三个数的公因数，其中最大数即为它们的最大公因数。

42、112和70的最大公因数是2×

7=14

语文：

42÷

14=3（册）数学：

112÷

14=8（册）自然：

70÷

14=5（册）

最多可分成14堆，每堆中有语文课本3册，数学课本8册，自然课本5册。

把160支铅笔，128本练习本，96册故事书，最多可以分成多少份同样的奖品，每份奖品各有铅笔、练习本和故事书多少？

【解析】（160，128，96）=32份奖品，每份奖品有160÷

32=5支铅笔，128÷

32=4本练习本，96÷

32=3册故事书。

工地上有很多长方形木片，这些长方形木片的长是12厘米，宽是9厘米。

把这些长方形拼成一个正方形（所有木片按同样的方式放置），那么至少要用多少块？

【解析】我们用到的长方形尽量少，那么这个正方形的边长为长方形长与宽的最小公倍数。

12和9的最小公倍数是3×

3=36，

（36÷

12）×

9）=12（个）

至少要用12个长方形才能拼成正方形。

一种长方体木块，长9厘米，宽6厘米，高7厘米，用这样的长方体堆成一个正方体，至少需要用多少块？

【解答】9、6、7的最小公倍数为3×

3=126，

（126÷

9）×

7）=5292（块）

至少需要用5292块木块。

甲、乙、丙三人到图书馆借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日，他们三人恰好在图书馆相遇。

那么下次他们三人又在图书馆相遇是几月几日？

【解析】甲每6天去一次，那么他去图书馆的时间与3月5日相距的天数一定是6的倍数。

同理可以知道乙和丙的情况。

6、8、9的最小公倍数2×

1×

3=72

3月5日过72天为5月16日。

下次他们三人又在图书馆相遇时5月16日。

小华、小敏、小波三个同学每隔不同天数到图书馆一次。

小华每隔3天去一次，小敏每隔4天去一次，小波每隔5天去一次。

4月7日他们三人都去图书馆，下次他们都去图书馆是在几月几日？

【解析】每隔3天一次实际就是每4天去一次图书馆，其他依次类推。

所以我们要求的就是4、5、6的最小公倍数。

4、5、6的最小公倍数2×

3=60（天）4月7日过60天是6月6日。

他们下次都去图书馆是6月6日。

某年级的人数在80~110之间，如果8人组成一组，那么有一个小组多5人，如果12人组成一组，那么三个小组各少1人，六年级共有学生多少人？

【解析】这个年级的人数加上3，恰好是8的倍数，也是12的倍数，8和12的最小公倍数是24，又年级的人数在80~110之间，所以这个年级的人数是24×

4-3=93人。

某会议计划有代表少于200人，分住房时，每5人一间多3人，吃饭时，每9人一桌少1人，开小组会时，每7人一组多6人，到会的代表有多少人？

【解析】到会人数加上1，正好是9与7的公倍数，因而是63的倍数，在63的倍数中小于200的有63、126、189，只有189满足除以5余4，所以到会的代表有189-1=188人。

两个自然数的积是5766，他们的最大公因数是31，则这两个数是多少？

【解析】设这两个数是31×

a、31×

b（a、b互质且a＞b）

则（31×

a）×

（31×

b）=5766

961×

a×

b=5766

a×

b=6

所以a=6，b=1或a=3，b=2

31×

a=186或93；

b=31或62

这两数是186，31或93，62。

两个自然数的和是50，他们的最大公因数是5，则这两个数的差是多少？

【解析】设这两个数是5×

a、5×

则5×

a+5×

b=50

5×

（a+b）=50

a+b=10

所以a=9，b=1或a=7，b=3

差为：

a-5×

b=5×

（a-b）=40或20

（第六届“希望杯”邀请赛培训题）

若a=b-1（a，b都是自然数，且a≠0），则a和b的最大公约数是_______，最小公倍数是_______。

【解析】因为a=b-1，所以a，b是两个连续自然数，a与b互质，所以a和b的最大公约数是1，最小公倍数是ab。

（第三届走美杯试题）

幼儿园的老师给班里的孩子送来40个橘子，200块饼干，120粒奶糖，平均分发完毕还剩4个橘子，20块饼干，12粒奶糖，这班里共有多少位朋友？

【解析】剩“20块饼干”，说明20块饼干不够分给每人1块，即小朋友的人数应在20人以上。

根据已知条件，可以求出小朋友一共分了的橘子、饼干、奶糖数量，而小朋友的人数应该是这三样东西所分数量的公约数，且要大于20。

橘子：

40-4=36（个），饼干：

200-20=180（块），奶糖：

120-12=108（粒）

36、180和108的最大公约数是36，大于20的公约数只有36

所以这个班有36个小朋友。

加工某种机器零件，要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件。

要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人？

【解析】为了使生产均衡，则每道工序每小时生产的零件个数应相等，设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人，有6A＝10B＝15C＝k，那么k的最小值为6、10、15的最小公倍数，即[6,10,15]=30。

所以A=5，B=3，C=2，则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人。

甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多长时间才能在A点相遇？

【解析】甲、乙走一圈分别需要5分钟和8分钟，因此他们要是在A点再次相遇，两人都要走整圈数，所以所需的时间应是5和8的最小公倍数40分钟。

有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米．已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人可以首次相聚？

【解析】这是一道追及问题，两两相遇的情况共有3种，即乙追上甲、甲追上丙、乙追上丙。

要三个人相聚，只需乙追上甲的同时也追上丙即可。

乙追上甲需要：

400÷

（120－80）=10（分钟），每10分钟乙追上甲一次；

乙追上丙需要：

（120－70）=8（分钟），每8分钟乙追上丙一次；

8、10的最小公倍数为40。

所以40分钟后三个人可以相聚。

大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米．由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印．求圆形花圃的周长。

【解析】要想求出花圃的周长，只要求出小明或爸爸走一圈留下了多少个脚印就行了。

我们知道小明和爸爸步测时的起点和走的方向完全相同，且两人的脚印有重合的，这说明他俩从起点出发起到第一次脚印重合止所走的路程是相同的。

这个路程是小明和爸爸步长的倍数，又是第一次重合，所以这个路程是他们步长的最小公倍数。

54和72的最小公倍数是216，从起点到第一次脚印重合时止：

小明的脚印数为216÷

54=4（个），爸爸的脚印数为216÷

72=3（个）。

因为他们俩有一个脚印是重合的，所以在216厘米长的这段路程内共有脚印4+3-1=6（个）。

又因为60÷

6=10，216×

10=2160（厘米）

所以这个花圃的周长为21.6米。

【练习1】1995的约数共有多少个？

【解析】1995=3×

19，所以1995的约数有（1+1）×

（1+1）×

（1+1）=8（个）

【练习2】把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的长方形纸裁成同样大小、边长为整数厘米的正方形纸块，而且没有剩余，问：

能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？

共可裁成几块？

【解析】本题实际是最大公因数的应用题，要裁成同样大小、边长为整数厘米的正方形纸块，而且没有剩余，则正方形的边长是长方形纸长和宽的公因数，又要求正方形边长最大，因此正方形的边长是长方形纸长和宽的最大公因数。

利用短除法求135和105的最大公因数，可得最大公因数是15，所以最大正方形的边长为15厘米，块数为135÷

15×

105÷

15=63（块）。

【练习3】有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？

在每份礼物中，三样水果各多少？

【解析】要把苹果、桔子和梨分成份同样的份数，则份数是苹果、桔子和梨的公因数，又要求份数最多，因此份数是苹果、桔子和梨的最大公因数。

利用短除法求336、252、210的最大公因数，最大公因数是2×

7=42，这些水果最多可以分成42份同样的礼物。

每份礼物中苹果有336÷

42=8（个），桔子有210÷

42=5（个），梨有210÷

42=5（个）。

【练习4】用长24厘米，宽16厘米，高4厘米的长方体木块，按同样的方式放置。

堆成一个正方体最少需要多少块？

【解析】24、16、4的最小公倍数是48。

24）×

16）×

4）=72（块）

【练习5】有甲、乙、丙三只船，甲船每小时航行6千米，乙船每小时航行5千米，丙船每小时航行3千米．三船同时同地同方向出发，环绕周围是15千米的海岛航行。

（）小时后三船再次相会在一起。

【解析】这是一道追及问题，两两相遇的情况共有3种，即甲追上乙、甲追上丙、乙追上丙。

要三个人相聚，只需甲追上乙的同时也追上丙即可。

甲追上乙需要：

15÷

（6－5）=15（小时），每15小时甲追上乙一次；

甲追上丙需要：

（6－3）=5（小时），每5小时甲追上丙一次；

15、5的最小公倍数为15。

所以15小时后三个人可以相聚。

【练习6】如图，某公园的两段路AB＝175米，BC＝125米。

在这两段路上安装路灯，要求A、B、C三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等。

则在这两段路上至少要安装多少个路灯？

【解析】175、125的最大公因数是5×

5=25

AB段需：

175÷

25+1=8（个）

BC段需：

125÷

25+1=6（个）

共需：

8+6-1=13（个）

【练习7】小明参加少年宫音乐小组，7月8号开学，每4天上一次课；

小萍参加美术小组，7月9号开学，每5天上一次课；

小强参加棋艺小组，7月10号开学，每6天上一次课。

那么他们三个在同一天去少年宫上课的首次时间是几月几日？

【解析】把他们都看成7月4日开学，那么每过60天一起去上课，所以第一次同一天上课时间为9月2日。

【练习8】2010年爷爷和孙子今年的年龄和不足90岁，爷爷的年龄是孙子的7倍；

若干年后，爷爷的年龄是孙子的6倍；

再过若干年后，爷爷的年龄是孙子的5倍。

那么，1949年爷爷是（）岁。

【解析】抓住年龄差不变这一点。

爷爷的年龄可以是孙子的7倍、6倍、5倍，也就是说爷爷和孙子的年龄差可以被6、5、4整除。

6、5、4的最小公倍数是60，所以至少为60。

今年爷爷的年龄为70，孙子的年龄为10，和不足90，也是唯一的答案。

2010年70岁，1949年就应该为70－（2012－1949）=9岁。