数的整除性13文档格式.docx

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解：

这个数的奇数位上的数字之和三个是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20。

因为25-20=5，有因为11不能被5整除，所以123456789不能被11整除

再例如：

判断13574能否是11的倍数？

这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字和的差是：

（4+5+1）—（7+3）=0因为0是任何整数的倍数，所以11能被0整除。

因此13574是11的倍数。

7.能被7（11或13）整除的数的特征：

一个整数的末三位数与末三位以前的数字组成的数之差，（大减小）能被7（11或13）整除

例如：

判断1059282是否是7的倍数？

把1059282分成1059和282两个数，因为1059-282=777，由777能被7整除，所以1059282能被7整除，因此1059282是7的倍数

判断3546725能否被3整除？

把3546725分乘3456和725两个数。

因为3456—725=2821。

在把2821分成2和821两个数。

因为82—2=819，又819能被13整除，所以2819能被13整除，进而3546725能被13整除

例1在下面的数中，哪些能被4整除？

哪些能被8整除？

哪些能被9整除？

　　234，789，7756，8865，3728，8064。

能被4整除的数有7756，3728，8064；

　　能被8整除的数有3728，8064；

　　能被9整除的数有234，8865，8064。

例2在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？

　　解：

如果56□2能被9整除，那么

　　5＋6＋□＋2＝13＋□

　　应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；

　　如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；

　　如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。

　　到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。

根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。

例如，判断一个数能否被6整除，因为6＝2×

3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。

同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；

判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；

如此等等。

例3从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。

因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。

根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。

例4五位数

能被72整除，问：

A与B各代表什么数字？

分析与解：

已知

能被72整除。

因为72＝8×

9，8和9是互质数，所以

既能被8整除，又能被9整除。

根据能被8整除的数的特征，要求

能被8整除，由此可确定B＝6。

再根据能被9整除的数的特征，

的各位数字之和为

　　A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，

　　因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。

在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。

例5六位数

是6的倍数，这样的六位数有多少个？

因为6＝2×

3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。

由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值。

再由六位数能被3整除，推知

　　3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B

　　能被3整除，故2B能被3整除。

B可取0，3，6，9这4个值。

由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求A≠B，所以符合条件的六位数共有5×

4＝20（个）。

例6要使六位数

能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？

　　分析与解：

因为36＝4×

9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。

六位数

能被4整除，就要

能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。

　　要使所得的商最小，就要使

这个六位数尽可能小。

因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。

先试取A=0。

的各位数字之和为12＋B＋C。

它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。

因为B，C应尽量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使

尽可能小，应取B＝1，C＝5。

　　当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156÷

36＝4171。

课堂练习

1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？

2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？

3．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。

在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？

4．五位数

能被12整除，求这个五位数。

5．有一个能被24整除的四位数□23□，这个四位数最大是几？

最小是几？

数的整除

（二）

数的整除性质主要有：

（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。

　　（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。

　　（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

　　（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。

　　灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。

　　例1在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。

分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。

因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被9×

25×

8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；

再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。

这个七位数是4735800。

例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？

因为41×

271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。

按“11111”把2000个1每五位分成一节，2000÷

5=400，就有400节，

　　因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质

（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。

例3现有四个数：

76550，76551，76552，76554。

能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？

根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：

12=12×

1=6×

2=3×

4。

　　要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：

（1）找出一个数能被12整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12整除；

（2）找出一个数能被6整除，另一个数能被2整除，那么它们的积就能被12整除；

　　（3）找出一个数能被4整除，另一个数能被3整除，那么它们的积能被12整除。

　　容易判断，这四个数都不能被12整除，所以第

（1）种情况不存在。

　　对于第

（2）种情况，四个数中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶数，所以可以选76554和76550，76554和76552。

　　对于第（3）种情况，四个数中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以选76552和76551，76552和76554。

　　综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被12整除的有以下三组数：

76550和76554，76552和76554，76551和76552。

例4在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？

从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求：

　　①各数位上的数字之和等于43；

　　②能被11整除。

　　因为能被11整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43的五位数较少，所以应选择①为突破口。

有两种情况：

（1）五位数由一个7和四个9组成；

（2）五位数由两个8和三个9组成。

　　上面两种情况中的五位数能不能被11整除？

9，8，7如何摆放呢？

根据被11整除的数的特征，如果奇数位数字之和是27，偶数位数字之和是16，那么差是11，就能被11整除。

满足这些要求的五位数是：

97999，99979，98989。

例5能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？

10个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。

我们采用反证法。

　　假设题目的要求能实现。

那么由题意，从前到后每两个数一组共有5组，每组的两数之和都能被3整除，推知1～10的和也应能被3整除。

实际上，1～10的和等于55，不能被3整除。

这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。

　　练习

　　1.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？

2.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？

3.173□是个四位数。

数学老师说：

“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可以被9，11，6整除。

”问：

数学老师先后填入的3个数字之和是多少？

班有多少名学生？

　6.能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？

数的整除性（三）

　　我们先看一个特殊的数——1001。

因为1001=7×

11×

13，所以凡是1001的整数倍的数都能被7，11和13整除。

能被7，11和13整除的数的特征：

　　如果数A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7或11或13整除，那么数A能被7或11或13整除。

否则，数A就不能被7或11或13整除。

　例2判断306371能否被7整除？

能否被13整除？

因为371-306=65，65是13的倍数，不是7的倍数，所以306371能被13整除，不能被7整除。

例3已知10□8971能被13整除，求□中的数。

10□8-971=1008-971+□0=37+□0。

　　上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×

9-37=80，推知□中的数是8。

2位数进行改写。

根据十进制数的意义，有

　　因为100010001各数位上数字之和是3，能够被3整除，所以这个12位数能被3整除。

　　根据能被7（或13）整除的数的特征，100010001与（100010-1=）100009要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。

　　同理，100009与（100-9=）91要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。

　　因为91=7×

13，所以100010001能被7和13整除，推知这个12位数能被7和13整除。

根据能被7整除的数的特征，555555与999999都能被7

　　因为上式中等号左边的数与等号右边第一个数都能被7整除，所以等号右边第二个数也能被7整除，推知55□99能被7整除。

根据能被7整除的数的特征，□99-55=□44也应能被7整除。

由□44能被7整除，易知□内应是6。

下面再告诉大家两个判断整除性的小窍门。

　　判断一个数能否被27或37整除的方法：

　　对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27（或37）整除；

否则，这个数就不能被27（或37）整除。

例6判断下列各数能否被27或37整除：

（1）2673135；

（2）8990615496。

（1）2673135=2，673，135，2+673+135=810。

　　因为810能被27整除，不能被37整除，所以2673135能被27整除，不能被37整除。

（2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。

　　2，109大于三位数，可以再对2，109的各节求和，2+109=111。

　　因为111能被37整除，不能被27整除，所以2109能被37整除，不能被27整除，进一步推知8990615496能被37整除，不能被27整除。

　　由上例看出，若各节的数之和大于三位数，则可以再连续对和的各节求和。

判断一个数能否被个位是9的数整除的方法：

　　为了叙述方便，将个位是9的数记为k9（=10k+9），其中k为自然数。

　　对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的（k+1）倍。

连续进行这一变换。

如果最终所得的结果等于k9，那么这个数能被k9整除；

否则，这个数就不能被k9整除。

例7

（1）判断18937能否被29整除；

（2）判断296416与37289能否被59整除。

（1）上述变换可以表示为：

　　由此可知，296416能被59整除，37289不能被59整除

　　。

一般地，每进行一次变换，被判断的数的位数就将减少一位。

当被判断的数变换到小于除数时，即可停止变换，得出不能整除的结论。

练习

　　1.下列各数哪些能被7整除？

哪些能被13整除？

　　88205，167128，250894，396500，

　　675696，796842，805532，75778885。

2.六位数175□62是13的倍数。

□中的数字是几？

　7.九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。

8.在下列各数中，哪些能被27整除？

哪些能被37整除？

　　1861026，1884924，2175683，2560437，

　　11159126，131313555，266117778。

　9.在下列各数中，哪些能被19整除？

哪些能被79整除？

　　55119，55537，62899，71258，

　　186637，872231，5381717。