届安徽省合肥八中高三第一学期一模适应性考试数学试题.docx
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届安徽省合肥八中高三第一学期一模适应性考试数学试题
合肥八中2018届高三一模适应考试
数学试题（理科）
一、选择题：
本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集是实数集，，，则（（）
A.B.C.D.
答案：
D
2.复数的共轭复数=（）
A.B.C.D.
答案:
B
3.命题“对于任意,都有”的否定是（）
A.对于任意,都有B.不存在,使得
C.存在,使得D.存在,都有
答案:
D
4．如图，一个空间几何体的主视图、左视图都是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及一点，那么这个几何体的表面积为（ ）
A.B．πC.D．2π
答案:
B
5．设向量满足，则（）
A.2B.3C.D.
答案：
C
6.已知随机变量服从正态分布，，则（）
A．B．C．D，
答案:
A
7.执行右图的程序框图，若输入，则输出的（）
A．6
B．7
C．8
D．9
答案:
B
8.要得到函数的图象，需要把函数的图象（）
A.向左平移个单位B.向左平移个单位
C.向右平移个单位D.向右平移个单位
答案:
D
9．设F1和F2为双曲线的两个焦点，若F1，F2，（0,2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）
A.y=±B.y=±C.y=±D.y=±
答案：
C
10.已知锐角中，分别是内角所对边长，且满足若，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
答案：
A
11.如图是一个由三根细铁杆PA、PB、PC组成的支架，三根杆的两两夹角都是60º，一个半径为1的球放在支架上，则球心到点P的距离是（）
A.B.C.D.2
答案:
C
12.已知函数，其中e为自然对数的底数．若函数与有相同的值域，则实数a的最大值为（）
A.B.C.D.
答案：
B
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置.
13．若，
=
答案
14．已知是曲线C：
上的动点，则的最大值与最小值的差为
答案:
15.将编号的小球放入编号为盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编
号不能相同，则不同的放球方法有种
答案：
12
16.
已知函数的定义域和值域都是[—2，2]，其图象分别如下所示：
给出下列四个命题：
（1）函数有且仅有6个零点
（2）函数有且仅有3个零点
（3）函数y=在[－1，1]上单增（4）函数在[－1，1]上单增
其中正确的命题是（）
答案：
（1）（3）
三、解答题：
本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
（一）必考题：
共60分。
17（本小题满分12分）
设为数列的前项和，已知，对任意，都有．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前项和为,求证：
.
18（本小题满分12分）
如图所示，在已知三棱柱ABF-DCE中，∠ADE=90°，∠ABC=60°，AB=AD=2AF，平面ABCD⊥平面ADEF，点M在线段BE上，点G是线段AD的中点.
（1）试确定点M的位置，使得AF∥平面GMC；
（2）求直线BG与平面GCE所成角的正弦值.
【答案】
（1）点为线段上靠近点的三等分点；
（2）.
试题解析：
（1）取的中点，连接交于点，点即为所求的点.
连接，∵是的中点，是的中点，∴，
又平面，平面，所以直线平面，
∵，，∴，∴，
故点为线段上靠近点的三等分点.
（2）不妨设，由
（1）知，
又平面平面，平面平面，
平面，∴平面.
故，，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
∵，，
∴为正三角形，，
∴，，，，
∴，，
设平面的一个法向量，则由，可得令，则，
∵，且，故，故，
故直线与平面所成角的正弦值为.
19（本小题满分12分）
现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率;
（II）已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数,求的分布列和数学期望.
【答案】
20（本小题满分12分）
已知函数，其中
求的单调区间；
若的最小值为1，求a的取值范围。
20.解（Ⅰ）
∵∴
①当时，在区间∴的单调增区间为
②当时，
由
∴
（Ⅱ）当时，由（Ⅱ）①知，
当时，由（Ⅱ）②知，在处取得最小值
综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是
21（12分）．已知椭圆方程为：
，椭圆的右焦点为，离心率为，直线：
与椭圆相交于、两点，且
（1）椭圆的方程及求的面积；
（2）在椭圆上是否存在一点，使为平行四边形，若存在，求出的取值范围，若不存在说明理由.
【答案】
（1），
（2）不存在
试题解析：
（1）由已知
椭圆方程为：
设A（，B，则,的坐标满足
消去化简得，，
，得
.
，，即
即,
=.
O到直线的距离
.
（2）若存在平行四边形OAPB使在椭圆上，则，设，
则,,由于在椭圆上，所以，从而化简得
化简得①，由，知②
联立方程①②知，故不存在在椭圆上的平行四边形.
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（II）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
23.[选修4-5：
不等式选讲]（10分）
（I）已知函数f（x）＝|x－2|－|x＋1|.解不等式f（x）≥；
（Ⅱ）已知x，y，z均为正数．求证：
＋＋≥＋＋.
【解析】（Ⅰ）答案:
（5分）
（Ⅱ）证明：
因为x，y，z都是为正数，
所以＋＝≥ ①
同理可得＋≥ ②
＋≥ ③（8分）
当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，
得：
＋＋≥＋＋.（10分）
或直接用柯西不等式证明：
≥，
即＋＋≥＋＋.
或要证＋＋≥＋＋即证x2＋y2＋z2≥yz＋xz＋xy，再证（x－y）2＋（x－z）2＋（y－z）2≥0显然成立．
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