相似三角形的六大证明技巧大全Word格式.docx
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如图，已知△ABC，∠ADE=∠C，则△ADE∽
△ACB（AA），∴AE·
AC=AD·
AB.
若连CD、BE，进而能证明△ACD∽△ABE（SAS）
反X型：
如图，已知角∠BAO=∠CDO，则△AOB∽△DOC
（AA），∴OA·
OC=OD·
OB.若连AD，BC，进而能证明△AOD∽△BOC.
CB
AHB
类射影：
如图，已知△ABC，∠ABD=∠C，则△ABD∽
△ACB（AA），∴AB2=AD·
AC.
射影定理
如图，已知∠ACB=90°
，CH⊥AB于H，则
AC2AHAB,BC2BHBA,HC2HAHB
精彩文案
“旋转相似”与“一线三等角”
BD
DE
ABC
巩固练习
反A型与反X型
旋转相似：
如图，已知△ABC∽△ADE，则AB
AD
，
AC
AE
∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD∽△CAE（SAS）
一线三等角：
如图，已知∠A=∠C=∠DBE，则△DAB∽△BCE
（AA）
已知△ABC中，∠AEF=∠ACB，求证：
（1）AEAB
AFAC
（2）∠BEO=∠CFO，∠
EBO=∠FCO（3）∠OEF=∠OBC，∠OFE=∠OCB
F
类射影
如图，已知AB2
ACAD，求证：
BD
AB
BC
已知△ABC，∠ACB=90°
，CH⊥AB于H，求证：
AC2AHAB，BC2BHBA，
HC2HAHB
14
模块二比例式的证明方法
通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A型，X型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”.但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题.合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧.
技巧一：
三点定型法
技巧二：
等线段代换
技巧三：
等比代换
技巧四：
等积代换
技巧五：
证等量先证等比
技巧六：
几何计算
三点定型
【例1
】如图，平行四边形
ABCD中，E是AB延长线上的一点，
DE交BC于F，求证：
DC
CF．
【例2
】如图，△ABC中，
BAC
90
，M为BC的中点，DM
BC交CA的延长线于
D，交AB于E．求证：
AM2
MDME
M
【例3】
如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，
ABC的平分线BE交AC于E，
交AD于F．求证：
BF
AB．
BE
悄悄地替换比例式中的某条线段⋯
【例4】如图，在△ABC，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于
F，求证：
FD2FBFC
BDCF
【例5】
如图，四边形ABCD是平行四边形，点
E在边BA的延长线上，CE交AD于F，
ECAD．求证：
ACBECEAD．
AB
【例6】如图，△ACB为等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°
，∠DAE=45°
，求证：
2
ABBECD
BDEC
7
△ABC
ABAC
，AD是中线，P是AD上一点，过
CF∥AB
如图，
中，
作
【例】
延长BP交AC于E，交CF于F．求证：
BP2
PEPF．
P
BDC
16
【例8】如图，平行四边形ABCD中，过B作直线AC、AD于O，E、交CD的延长线
于F，求证：
OB2OEOF．
AE
BC
【例9】
如图，在△ABC中，已知
A90时，AD
BC于
D，E为直角边AC的中点，
过D、E作直线交AB的延长线于F．求证：
ABAF
ACDF．
【例10】如图，在△ABC中（AB＞AC）的边AB上取一点D，在边
AC上取一点E，使
ADAE，直线DE和BC的延长线交于点P．求证：
BPCE
CPBD
BCP
【例11】如图，△ABC中，BD、CE是高，EHBC于H、交BD于G、交CA的延长
线于M．求证：
HE2HGMH．
G
H
【例12】如图，在△ABC中，AD
BC于D，DE
AB于E，DF
AC于F，连EF，
求证：
∠AEF=∠C
【例13】如图，在△ABC中，BAC
90，D为AC中点，AE
BD，E为垂足，求证：
CBDECD．
【例14】在Rt△ABC中，AD⊥BC，P为AD中点，MN⊥BC，求证MN2ANNC
N
BDMC
18
【例15】已知，平行四边形ABCD中，E、F分别在直线
AD、CD上，EF//AC，BE、BF
分别交AC于M、N.，求证：
AM=CN.
【例16】已知如图AB=AC，BD//AC，AB//CE，过A点的直线分别交BD、CE于D、E.求
证：
AM=NC，MN//DE.
【例17】如图，△ABC为等腰直角三角形，点P为AB上任意一点，PF⊥BC，PE⊥AC，
AF交PE于N，BE交PF于M.，求证：
PM=PN，MN//AB.
ENP
【例18】如图，正方形BFDE内接于△ABC，CE与DF交于点N，AF交ED于点M，CE
与AF交于点P.求证：
（1）MN//AC；
（2）EM=DN.
MD
PN
【例19】（※）设
E、F分别为
AC、AB的中点，D为BC上一点，P在BF上，DP//CF，
Q
在
CE
上，
DQ//BE
PQ
交
于
R
CF
S
RS
1
，交
于，求证：
3
GQ
RS
20
【例20】（※）如图，梯形ABCD的底边AB上任取一点M，过分别交AD、BC于K、N，连KN，分别交对角线AC、BD
M作MK//BD，MN//AC，
于P、Q，求证：
KP=QN.
ON
KS
【例21】（2016年四月调考）如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是角平分线，AE是中线，
BF⊥AD于G，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H.
（1）求证：
AH=BH，
（2）
若∠BAC=60°
，求FG的值.
DG
【例22】（2016七一华源）如图：
正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、
CD上，∠1＝∠2＝∠3＝α.求证：
（1）EF＋EG＝AE
（2）求证：
CE＋CG＝AF
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