小学数学六年级上第03讲 递推计数含答案Word文件下载.docx

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练习1、一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈二级台阶或三级台阶．走完这12级台阶，共有多少种不同的走法？

例2．用10个

的长方形纸片覆盖一个

的方格表，共有多少种覆盖方法？

「分析」与例1的类似，我们还是从简单情形入手找递推关系．可具体从什么样的情形入手呢？

练习2、用7个

例3．在一个平面上画出100条直线，最多可以把平面分成几个部分？

「分析」当直线数量不多时，画图数一数即可．但现在有100条，画图数并不现实．我们不妨在纸上将直线逐一画出，并在画的过程中仔细观察：

每增加一条直线，平面被分成的部分会增加多少？

这个增量有什么变化规律？

练习3、如果在一个圆内画出50条直线，最多可以把圆分成多少部分？

下面我们来学习一类很经典的递推计数问题——传球问题．

例4．四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中．请问：

整个传球过程共有多少种不同的可能？

「分析」看到这个问题，很多同学可能想通过树形图来求解，我们不妨来试一试．设穿着红、黄、绿、蓝四种颜色球衣的人分别是A、B、C、D．如下图，最开始时，球在A手上，第一次传球由A传给B、C、D，也就是第一层有三个字母就够了．然后B、C、D都会继续往下传球，各有3种传法，传到第二层需要9个字母．再传到第三层，需要27个字母……每一层需要的字母增加迅猛！

如果传8次球，到最后一层会用到

个字母，这要多大的一个树形图啊！

可见画树形图的方案不可行．但树形图对这道题就没有用了吗？

并非如此．它可以帮助我们找出传球过程中所隐藏的递推关系．事实上，我们并不关心树形图长啥样，我们关心的是数量——树形图每一层分支的数量．因此，只要知道每一层各字母出现的次数就可以了，我们不妨制作一个表格来统计这个次数．如下表，我们用第一列来表示层数，第一行来表示每个人，其余空格用于填写字母在该层中出现的次数．请你从上方的树形图中数一数，填出表格中的前几行．然后思考一下：

这其中隐藏着什么样的递推关系？

练习4、三个人分别穿着红、黄、蓝三种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过7次传球后传到蓝衣人手中．请问：

解传球问题的方法称为“传球法”．“传球法”是递推法的一种特殊形式，是一种极其实用的数表累加计数法．

例5．一个七位数，每一位都是1、2或者3，而且没有连续的两个1，这样的七位数一共有多少个？

「分析」这道题与前面两道题有何异同？

应该如何求解呢？

前面的计数问题，递推关系都表现为数列、数表的简单累加，但这不是递推的全部．简单累加只是递推的一种表现形式，递推还有很多其它形式．下面我们就来看一道无法通过简单累加求解的计数问题．

例6．圆周上有10个点A1、A2、

、A10，以这些点为端点连接5条线段，要求线段之间没有公共点，共有多少种连接方式？

「分析」圆周上10个点，连5条线段，连法很多，很难直接画出来枚举．像这类问题，我们同样还是从简单的情况入手．那么是应该按1个点、2个点、3个点、……这样依次计数，来找递推关系吗？

作业

1.有10个蛋黄派，萱萱每天吃1个或2个，那么共有多少种不同的吃法？

2.甲、乙两人玩抓石子游戏，共有12个石子，甲先乙后轮流抓取．每次可以抓取其中的2个、3个或4个，直到最后抓取完毕为止．那么共有多少种抓取石子的方案？

3.用直线把一个平面分成100部分，至少要在平面上画几条直线？

4.一个七位数，它由数字0、1、2、3、4组成，相邻位置上的数字不相同，并且个位数字是2．这样的七位数有多少个？

5.用8个

的长方形纸片覆盖下面的方格表，共有多少种覆盖方法？

例题

例1．答案：

927

详解：

将作文数量与完成作文的方法数列成一张表格，如下所示：

下面解释一下这张数表是如何累加得到的．写1、2、3篇作文的方法数可以枚举得到．写4篇作文的完成方法数可以分三类去数：

如果第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下3篇有4种完成方法；

如果第一天写2篇，同样参考数表可得，剩下2篇有2种完成方法；

如果第一天写3篇，那么剩下1篇还有1种完成方法——因此4篇作文的完成方法总数为

，如上表箭头所示．接着分析5篇作文的完成方法数，仍然分三类：

第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下4篇还有7种完成方法；

第一天写2篇，那么剩下3篇还有4种完成方法；

第一天写3篇，那么剩下2篇还有2种完成方法——因此5篇作文的完成方法数等于

……以此类推便可填满整张表格．

例2．答案：

28

我们同样可以列出一个递推数列，将其表示如下：

下面详细说明该问题的递推规律．覆盖1×

3、2×

3和3×

3方格表的方法数可以枚举得到．接着分析覆盖4×

3的表格有几种覆盖方法．如下图所示，左上角的阴影方格在覆盖的时候有两种方法：

竖着覆盖或横着覆盖．当竖着覆盖时，余下部分恰好是一个3×

3的方格表，覆盖方法数为2；

当横着覆盖时，其下方的方格只能被横放的纸片盖住，因此只剩下一个1×

3的方格表需要覆盖，方法数为1．由此可得4×

3表格的方法数为2+1=3．用同样的方法分析5×

3的

方格表，可得其覆盖方法数等于

的方法数加上

的方法数，因此等于

．接着以此类推即可．

例3．答案：

5051

我们同样可以列出一个递推数列，将其写为如下的一张数表：

下面详细说明该递推过程．平面上有1、2、3条直线的情形画图即可解决，我们从第4条直线开始分析．如右图所示，当画上第4条直线时，会把原有的区域一分为二（如编号为I、II、III、IV的4个区域），因此会增加4个新区域．而之所以能产生4个新区域，就是由于第4条直线会与原有的3条直线产生3个交点，而这3个交点会把第4条直线分为4部分，每一部分都会位于一个原有的区域中，因此每一部分都就会把原有的某个区域一分为二，因此直线被分为几部分，区域数量自然也就增加几部分．上述逻辑关系在下方右侧有明确的表示．由此可得，增加到第n条直线就会增加n个新区域，因此答案是

．

例4．

答案：

1641

本题的方法称为“传球法”．传球法在很多问题中有着广泛的应用．如右侧表格所示，除了第“0”行外，其余每一行的数量都是由上一行的数量通过某种规则累加得到的．比如第“1”行A下方的0，就是通过第“0”行B、C、D的数量相加得到的；

第“3”行B下方的7，就是通过第“2”行A、C、D的数量相加得到的；

第“4”行C下方的20，就是通过第“5”行A、B、D的数量相加得到的；

第“6”行D下方的182，就是通过第“5”行A、B、C的数量相加得到的．之所以有这样的累加规则，就是因为A想拿球，必须由B、C、D传球给他，所以他下方的数也必须由B、C、D累加给他——这就是传球规则决定累加规则．依据这一累加规则，我们不停地将数表向下累加，每传一次球就多累加一行，最后得到第“8”行．这一行的四个数分别为1641、1640、1640和1640．他们分别表示8次传球后，由A、B、C、D拿球的传球方法数．由于题目要求最后球回到A手中，因此答案为1641种．

例5．

1224

我们把这个七位数看作是1、2、3三个人之间传6次球的一个传球顺序，具体的传球规则是：

1能传球给2、3，但不能给自己；

2、3都能传球给1、2、3．依据“传球规则决定累加规则”，我们可以列出如右表所示的一张递推表格．表格的第“0”行是发球行，对应的是这个七位数的首位数字．由于1、2、3都能作首位，因此第“0”行写的都是1．接着按照传球规则累加即可．表格中第“6”行（最后一行）中的三个数分别表示第六次传球后，球在1、2、3手中的方法数，对于七位数而言，就是表示分别以1、2、3结尾的符合题意的七位数有多少个．所以最后答案应该把它们全加起来，等于328+448+448=1224．

例6．答案：

42

我们依照连续偶数的次序进行递推累加．

（1）圆周上有2个点，只有1种连法．

（2）圆周上有4个点，只有2种连法．（3）圆周上有6个点A1、A2、A3、A4、A5、A6（如下左图），那么与A1相连的点只能是A2、A4或A6．依次分三类情况讨论：

第一，A1连A2，剩下4个点连法数为2；

第二，A1连A4，剩下4个点连法数为1；

第三，A1连A4，剩下4个点连法数也为2．由此可得，6个点共有5种不同的连法．（4）如果圆周上有8个点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8（如下右图），那么与A1相连的点有四种可能，分别是A2、A4、A6或A8．以此分四类讨论，共14种方法．

（5）如果圆周上有10个点，同样考虑能与A1相连的点，分五类讨论，如下图所示．共42种方法．

评析：

本题虽然不像之前那样，只遵循一个简单的累加规则，但也仍然是一个由小求大的递推过程：

在求解6个点的方法数时，会用到2个、4个点的方法数；

在求解8个点的方法数时，也会用到2个、4个、6个点的方法数；

而在求解10个点的方法数时，则会用到2个、4个、6个、8个点的方法数……由此可见“由小求大”应该说是递推法真正的内涵．我们再处理问题时，要有能力将数目较大的情形通过变形，化归为数目较小的情形来解决．

另外，请大家观察右图．从A处出发，每次只能向右或向上走一步，那么从A到B、C、D、E、F的最短路径分别有多少？

大家不妨用标数法（参考四年级上册第16讲《加法原理与乘法原理》）自己做一做，在把相应的结果与本题的结果对照一下，你能发现其中的奥妙吗？

练习：

练习1、

12

简答：

仿照例题1进行分类讨论，列出如下数表进行累加即可，注意累加规则．

练习2、

21

仿照例题2，找到左上角的方格，按照该方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两类讨论即可得递推规则．

练习3、

1276

本题与直线分平面的问题本质相同，因此与例题3类似进行递推即可．如下表所示

练习4、

43

本题的传球规则和例题4相同，都只能把球传给别人，因此累加规则也相同．但最后的拿球人不是发球人这一点要注意！

作业：

1.答案：

89

2.答案：

36

3.

14

略．

4.答案：

3277

如右表所示，用传球法列表解决．传球规则是：

0不能发球，其它都可以发球；

传球不能传给自己，只能传给别人；

总共传球传6次．

5.答案：

29

如下方左图所示，和例题2类似，找到某个方格，依据这个方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两种情况讨论．情况一，横着覆盖：

这类情况其实就是

的覆盖方法，利用练习2的分析方法和相关结论，可得答案为21．情况二，竖着覆盖：

在这类情况下，有另外四个格子的覆盖方法唯一确定，如下方右图中的虚线所示，剩下需要覆盖的是一个

的方格表，其方法数量也可参考练习2的分析方法和相关结论来取得，答案为8．上述两种情况相加，可得答案为