自考初等数论试题及答案_精品文档.doc

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初等数论考试试卷1

一、单项选择题（每题3分，共18分）

1、如果，，则（D）.

ABCD

2、如果，，则15（A）.

A整除B不整除C等于D不一定

3、在整数中正素数的个数（C）.

A有1个B有限多C无限多D不一定

4、如果,是任意整数,则A

ABCTD

5、如果（A）,则不定方程有解.

ABCD

6、整数5874192能被（B）整除.

A3B3与9C9D3或9

二、填空题（每题3分，共18分）

1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.

2、同余式有解的充分必要条件是（）.

3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为（）.

4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者（与互素）.

5、的公倍数是它们最小公倍数的（倍数）.

6、如果是两个正整数,则存在（唯一）整数,使,.

三、计算题（每题8分，共32分）

1、求[136,221,391]=?

解[136,221,391]

=[[136,221],391]

=[]

=[1768,391]------------（4分）

=

=104391

=40664.------------（4分）

2、求解不定方程.

解：

因为（9，21）=3，，所以有解；----------------------------（2分）

化简得；-------------------（1分）

考虑，有，-------------------（2分）

所以原方程的特解为，-------------------（1分）

因此，所求的解是。

-------------------（2分）

3、解同余式.

解因为（12,45）=3¦5,所以同余式有解,而且解的个数为3.----------（1分）

又同余式等价于,即.------------（1分）

我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是（10,3）,---------（2分）

即定理4.1中的.------（1分）

因此同余式的3个解为

---------（1分）

-----------------（1分）

.---------（1分）

4、求,其中563是素数.（8分）

解把看成Jacobi符号,我们有

---------------（3分）----------------------（2分）

-----------------（2分）

即429是563的平方剩余.---------------（1分）

四、证明题（第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分）

1、证明对于任意整数,数是整数.

证明因为==,------（3分）

而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,-----（2分）

并且（2,3）=1,-----（1分）

所以从和有,-----（3分）

即是整数.-----（1分）

2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.

证明因为,-------------（3分）

所以只需证明T.

而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,

所以这只需将n=0,±1,±2代入分别得值1，7，1，19，7.

对于模5,的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,

所以T---------（7分）

所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。

--------（1分）

3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.

证明设是正数,并且,----------（3分）

如果,---------（1分）

则因为对于模4,只与0,1,2,-1等同余,

所以只能与0,1同余,

所以

---------（4分）

而这与的假设不符,---------（2分）

即定理的结论成立.------（1分）

4