二次函数综合题专项讲解经典Word文件下载.docx
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OD.直线y
kx
c与
轴交于点
（点C在点B的右侧）
则
A
B
C
.
下列命题中正确命题的个数是（
）.
第12题
①abc
0;
②3a
b
③1
k
④
a
b;
⑤
ac
A．1
B．2
C．3
D．4
16．如右图是二次函数y
ax2
bxc的部分图象，由图象可知
ax2
bxc
0时x的取值范围是_____________________________．
第16
题
Q
18．已知抛物线y
1x2
2x的图象如左图所示，点
N为抛物线
N
P
的顶点，直线ON上有两个动点P和Q,且满足PQ
22,在直线
O
ON下方的抛物线上存在点
M,使
PQM为等腰直角三角形，则点
第18
M的坐标为______________________________________________.
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y
1x2与坐标轴分别交于
A、B两点，过A、B
两点的抛物线为yx2
c，点E为第二象限内抛物线上一动点，连接AE,BE.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当
ABE
面积最大时，求点
E的坐标，并求出此时
ABE的面积；
（3）当
EAB
OAB时，求点
E的坐标.
E
BB
第25题备用图
二、二次函数基础
（一）概念：
一般地，形如
c（a，b，c是常数，
0）的函数，叫做
二次函数。
（注意：
和一元二次方程类似，二次项系数定义域是全体实数。
）
a0，而b，c可以为零．二次函数的
1.
如果函数
（k3）
xk23k2
1
是二次函数,则k的值是______
2.
函数y
（a
5）xa2
4a5
2x
1,
当a_______时,它是一次函数;
当
a_______时,它是二次函数.
（二）二次函数的解析式
（1）一般式:
（已知图像上三点或三对
x、y的值，通常选择一般式.）
；
y=ax+bx+c（a≠0,a、b、c为常数），顶点坐标为（-b/2a，（4ac-b
/4a）
（2）顶点式:
（已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.）
y=a（x-h）2+k（a≠0,a、h、k为常数），顶点坐标为（h,k）,对称轴为x=h，有时题目
会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；
（3）交点式:
（已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式）
y=a（x-x1）（x-x2）[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]；
已知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D。
分别根
据下列条件，求此二次函数解析式。
（1）已知A（-1,0），B（3,0），C（0,3/2）.
（2）已知顶点D（1,2）、C（0,3/2）.
1.若函数ya（x3）2过点（２，９），则当X＝４时函数值Y＝
2.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y=-2x2相同，这个函数解析式为________。
3.已知二次函数当x=2时Y有最大值是１，且过点（3，0），求解析式.
4.已知抛物线在X轴上截得的线段长为６，且顶点坐标为（2，3）,求解析式.
5.二次函数yx2
3x4关于Y轴的对称图象的解析式为
____关于X轴的
对称图象的解析式为
_________，关于顶点旋转
180度的图象的解析式为______
（三）二次函数的图象及其性质：
（1）二次函数图像画法
：
画草图关键点：
①开口方向；
②顶点；
③对称轴；
○4与y轴交点。
○5与x轴交点；
（2）顶点坐标为（-b/2a，4ac-b2/4a），对称轴：
x
（3）增减性：
Ox
b，与y轴交点坐标（0，c）
2a
当a>
0时，对称轴左边，y随x增大而减小；
对称轴右边，y随x增大而增大。
当a<
0时，对称轴左边，y随x增大而增大；
对称轴右边，y随x增大而减小。
（4）最值：
当a>
0时，有最大值；
0时，有最小值
（5）图像平移步骤:
①配方ya（xh）2k，确定顶点（h,k）；
②对x轴左加右减；
对
y轴上加下减。
二次函数y=（x-1）（x+2）
的顶点为__________,对称轴为_____
抛物线y
（m
1）x2
（m2
3m4）x
5以Y轴为对称轴则。
M＝
3.
二次函数y
ax
5的图象顶点在
Y轴负半轴上。
且函数值有最小值，则
a的取值
范围是
4.（08绍兴）已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线yx2
1上，下列说法中正确的是（
）
A．若y1y2，则x1
x2
B．若x1
x2，则y1
y2
C．若0x1
x2，则y1y2
D．若x1x2
0，则y1y2
5.
抛物线y（3x
1）2当x
时，Y随X的增大而增大
6.
抛物线y=（k2-2）x
2+m-4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线
y=21x+2上，求
函数解析式。
7.
若A（13,y1）,B（5,y2
）,C（1,y3）为二次函数y
4x5的图象上的三点，则
y1，
4
y2，y3的大小关系是（
A．y1y2y3
B．y2
y1y3
C．y3y1
y2D．y1y3
8.
已知二次函数图象与x轴交点（2,0
）（-1,0）与y轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。
9.把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是y（x1）22则原二次函数的解析式为
（四）直线与抛物线的交点
（抛物线与一元二次方程的关系）
（1）抛物线与y轴的交点：
轴与抛物线
得交点为（0,）.
（2）抛物线与
轴的交点
二次函数
的图像与
轴的两个交点的横坐标
、
，是对应一元二次方
程
的两个实数根.抛物线与
轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的
根的判别式判定：
①有两个交点
抛物线与
轴相交；
这两点间的距离
b2
4ac
ABx2x1
②有一个交点（顶点在
轴上）
轴相切；
③没有交点
轴相离.
当a0时，图象落在
x轴的上方，无论
x为任何实数，都有y
0；
当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．
（3）直线与抛物线的交点：
一次函数的图像与二次函数
①方程组有两组不同的解时一个交点；
③方程组无解时
的图像
的交点，由方程组
与有两个交点;
与没有交点.
的解的数目来确定：
②方程组只有一组解时与只有
（4）两点之间的距离：
X轴上两点为A（x1,0）、B（x2,0）|AB||x2x1|
Y轴上两点为C（0,y1）、D（0,y2）|CD|
|y2
y1
|
已知A（x
y
）、B
（x
（x2
x1）2
（y2
y1）2
AB|=
已知二次函数
2x
的图象与X轴有两个交点，则a的取值范围是
若抛物线y
a的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是（
Ａ．a1
Ｂ．a
Ｃ．a≥1
Ｄ．a≤1
不论x为何值,函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值恒大于
0的条件是（）
A.a>
0,△>
B.a>
0,
△<
C.a<
0,△<
D.a<
4.已知二次函数y=x2+mx+m-5，求证①不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；
②当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短。
（五）二次函数与方程不等式：
1.y=ax2+bx+c中，a<
0，抛物线与x轴有两个交点A（2，0）B（-1，0），
则ax2+bx+c>
0的解是____________;
ax2+bx+c<
0的解是____________
2.（大连）右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，?
观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．
（六）二次函数的应用最值问题：
例题：
1.（20XX年贵阳市）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱
售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价
13
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3分）
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3
分）
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？
最大利润是多少？
（4分）
三、选择题专项练习
根据图像判断a,b,c的符号（抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点）
（1）a开口方向
a＞0抛物线开口向上；
a＜0抛物线开口向下；
（|a|越大，则抛物线的开口越小）
（2）b对称轴（与a左同右异）
a与b同号（即ab＞0）对称轴在y轴左；
a与b异号（即ab＜0）对称轴在y轴右。
（3）c与y轴的交点
抛物线经过原点;
与轴交于正半轴；
与
轴交于负半轴.
1.如右图，二次函数yax2bxc的图像与
y轴正半轴相交，其顶点坐标为（
），下列结论：
①ac＜0
1
②a
③4ac
4a
④a
c＜0.其中正确结论的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
2.已知二次函数
c的图象如图所示，对称轴为直线
x=1，下列结论正确的是
A.
B．2ab
．
方
c
的
两
根
是
x1
1，x2
3
．当y>
0时，y随
x的增大而减小．
3.如右图为抛物线
c的图象，A、B、C为抛物线与坐标
轴的交点，且
OA=OC=1，则下列关系中正确的是
A、ab
B、a
C、b<
a
D、ac<
0
4.已知二次函数
y＝ax2
a0的图象如右图，则下列结论中正
确的是
A．a＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0
．3是方程ax
2bxc＝0的一个根
5.已知二次函数
ca0
）的图象如左图所示，下列结论：
①b
2－4
ac＞0②a＞0③b＞0④c＞0⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是
A、2个
、3个
C、4个D、5个
6.已知二次函数
y=ax
2+bx+c的图象如右图，其对称轴
x=﹣1，下
列结果①b2＞4ac；
②abc＞0；
③2a+b=0；
④a+b+c＞0；
⑤a﹣b+c
＜0，则正确的结论是
A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤
7.已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如左
图所示，有下列结论：
①abc＞0，②b﹣4ac＜0，③a﹣b+c＞0，④
4a﹣2b+c＜0，其中正确结论的个数是
A、1B、2C、3D、4
8.如右图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：
（1）b2﹣4ac＞0；
（2）c＞1；
（3）2a﹣b＜0；
（4）a+b+c＜0．你认
为其中错误的有
A、2个
B、3个
C、4个
D、1个
9．如左图，二次函数
yax2
c的
图象的顶点为
D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1,3，
与
abc
②2ab0；
③
，下面五个结论：
①
④c
3a；
⑤只有a
1时，
ABD是等腰直
角三角形，其中正确的结论有（
A.2个
B.3个
C.4
个
D.5个
10．小明从如右图所示的二次函数
c的图象
中，观察得出了下面五条信息：
②c
③a
④2a
3b0；
⑤c
4b
0．你认为其中正确信息的个数有
A．2个
．3个
C．4个
．5个
11.二次函数y
c的图象如左下图所示，下列结论：
①b2
4ac0；
②ab
③ab
c0；
④4a
b0；
⑤当y
2时，x等于0．
⑥
有两个不相等的实数根
⑦
⑧ax2
10
0有两个不相等的实数根
⑨ax2
4有两个不相等的实数根
其中正确的是（
12.（天津市）已知二次函数y
bxc的图象如下图所示，下列结论：
②bac；
③4a
2bc
④2c
3b；
⑤abm（am
b），
（m
1的实数）其中正确的结论有（
）。
C.4个
D.5个
四、二次函数综合题主要类型
（一）与三角形.
1.如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中
点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△PAC=4S△BOC．求点P的坐标；
（三角形面积）
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
2.（2013?
雅安）如图，已知抛物线
y=ax+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三
点，其顶点为D，对称轴是直线
L，L与x轴交于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴
L上的一个动点，求
△PBC周长的最小值；
（三角形周长）
（3）如图
（2），若E是线段AD上的一个动点（
E与A、D不重合），过E点作平行于
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