学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义第一章 11 111 任 意 角 Word版含答案Word文档格式.docx
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(3)终边相同的角一定相等.( )
答案:
(1)√
(2)√ (3)×
2.与45°
角终边相同的角是( )
A.-45°
B.225°
C.395°
D.-315°
D
3.下列说法正确的是( )
A.锐角是第一象限角B.第二象限角是钝角
C.第一象限角是锐角D.第四象限角是负角
A
4.将35°
角的终边按顺时针方向旋转60°
所得的角度数为________,将35°
角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________.
-25°
395°
任意角的概念
[典例] 下列命题正确的是( )
A.终边与始边重合的角是零角
B.终边和始边都相同的两个角一定相等
C.在90°
≤β<
180°
范围内的角β不一定是钝角
D.小于90°
的角是锐角
[解析] 终边与始边重合的角还可能是360°
,720°
,…,故A错;
终边和始边都相同的两个角可能相差360°
的整数倍,如30°
与-330°
,故B错;
由于在90°
范围内的角β包含90°
角,所以不一定是钝角,C正确;
小于90°
的角可以是0°
,也可以是负角,故D错误.
[答案] C
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.
[活学活用]
如图,射线OA绕端点O旋转90°
到射线OB的位置,接着再旋转-30°
到OC的位置,则∠AOC的度数为________.
解析:
∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°
+(-30°
)=60°
.
60°
终边相同角的表示
[典例] 写出与75°
角终边相同的角β的集合,并求在360°
1080°
范围内与75°
角终边相同的角.
[解] 与75°
角终边相同的角的集合为
S={β|β=k·
+75°
,k∈Z}.
当360°
时,即360°
≤k·
<
,
解得≤k<
2.又k∈Z,所以k=1或k=2.
当k=1时,β=435°
;
当k=2时,β=795°
综上所述,与75°
角终边相同且在360°
范围内的角为435°
角和795°
角.
1.终边落在直线上的角的集合的步骤
(1)写出在0°
~360°
范围内相应的角;
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合;
(3)根据条件能合并一定合并,使结果简洁.
2.终边相同角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°
的整数倍.
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°
分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合.
解:
(1)在0°
范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0°
和180°
,因此,所有与0°
角终边相同的角构成集合S1={β|β=0°
+k·
,k∈Z},而所有与180°
角终边相同的角构成集合S2={β|β=180°
,k∈Z},于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1∪S2={β|β=k·
(2)由图形易知,在0°
范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°
和315°
,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°
,k∈Z}∪{β|β=315°
360,k∈Z}={β|β=135°
,k∈Z}.
象限角的判断
[典例] 已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是第几象限角.
(1)-75°
(2)855°
(3)-510°
[解] 作出各角,其对应的终边如图所示:
(1)由图①可知:
-75°
是第四象限角.
(2)由图②可知:
855°
是第二象限角.
(3)由图③可知:
-510°
是第三象限角.
象限角的判定方法
(1)根据图象判定.依据是终边相同的角的概念,因为0°
之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系.
(2)将角转化到0°
范围内.在直角坐标平面内,在0°
范围内没有两个角终边是相同的.
若α是第四象限角,则180°
-α一定在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
选C ∵α与-α的终边关于x轴对称,且α是第四象限角,∴-α是第一象限角.
而180°
-α可看成-α按逆时针旋转180°
得到,
∴180°
-α是第三象限角.
角,nα(n∈N*)所在象限的确定
[典例] 已知α是第二象限角,求角所在的象限.
[解] 法一:
∵α是第二象限角,
∴k·
+90°
α<
k·
+180°
(k∈Z).
∴·
+45°
·
当k为偶数时,令k=2n(n∈Z),得
n·
这表明是第一象限角;
当k为奇数时,令k=2n+1(n∈Z),得
+225°
+270°
这表明是第三象限角.
∴为第一或第三象限角.
法二:
如图,先将各象限分成2等份,再从x轴正向的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则标有二的区域即为的终边所在的区域,故为第一或第三象限角.
[一题多变]
1.[变设问]在本例条件下,求角2α的终边的位置.
720°
2α<
+360°
∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.
2.[变条件]若角α变为第三象限角,则角是第几象限角?
如图所示,先将各象限分成2等份,再从x轴正半轴的上方起,按逆时针方向,依次将各区域标上一、二、三、四,则标有三的区域即为角的终边所在的区域,故角为第二或第四象限角.
倍角、分角所在象限的判定思路
(1)已知角α终边所在的象限,确定nα终边所在的象限,可依据角α的范围求出nα的范围,再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况.
(2)已知角α终边所在的象限,确定终边所在的象限,分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论:
k被n整除;
k被n除余1;
k被n除余2,…,k被n除余n-1.然后方可下结论.几何法依据数形结合思想,简单直观.
层级一 学业水平达标
1.-215°
是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
选B 由于-215°
=-360°
+145°
,而145°
是第二象限角,则-215°
也是第二象限角.
2.下面各组角中,终边相同的是( )
A.390°
,690°
B.-330°
,750°
C.480°
,-420°
D.3000°
,-840°
选B ∵-330°
+30°
=720°
∴-330°
与750°
终边相同.
3.若α=k·
,k∈Z,则α所在的象限是( )
A.第一、三象限B.第一、二象限
C.第二、四象限D.第三、四象限
选A 由题意知α=k·
,k∈Z,
当k=2n+1,n∈Z,
α=2n·
=n·
,在第三象限,
当k=2n,n∈Z,
,在第一象限.
∴α是第一或第三象限的角.
4.终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A.{α|90°
}
B.{α|90°
,k∈Z}
C.{α|-270°
-180°
D.{α|-270°
选D 终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°
,k∈Z},而选项D是从顺时针方向来看的,故选项D正确.
5.将-885°
化为α+k·
(0°
≤α<360°
,k∈Z)的形式是( )
A.-165°
+(-2)×
B.195°
+(-3)×
C.195°
D.165°
选B -885°
=195°
,0°
≤195°
,故选B.
6.在下列说法中:
①时钟经过两个小时,时针转过的角是60°
②钝角一定大于锐角;
③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°
④-2000°
其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上).
①时钟经过两个小时,时针按顺时针方向旋转60°
,因而转过的角为-60°
,所以①不正确.
②钝角α的取值范围为90°
,锐角θ的取值范围为0°
θ<
90°
,因此钝角一定大于锐角,所以②正确.
③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°
,所以③不正确.
=-6×
+160°
与160°
终边相同,是第二象限角,所以④正确.
①③
7.α满足180°
,5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,那么α=________.
5α=α+k·
,k∈Z,∴α=k·
,k∈Z.
又∵180°
,∴α=270°
270°
8.若角α=2016°
,则与角α具有相同终边的最小正角为________,最大负角为________.
∵2016°
=5×
+216°
,∴与角α终边相同的角的集合为{α|α=216°
,k∈Z},∴最小正角是216°
,最大负角是-144°
216°
-144°
9.在0°
范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是第几象限角:
(1)549°
(2)-60°
(3)-503°
36′.
=189°
,而180°
189°
,因此,549°
角为第三象限角,且在0°
范围内,与189°
角有相同的终边.
=300°
-360°
,而270°
300°
,因此,-60°
角为第四象限角,且在0°
范围内,与300°
36′=216°
24′-2×
24′<
,因此,-503°
36′角是第三象限角,且在0°
范围内,与216°
24′角有相同的终边.
10.已知角的集合M={α|α=30°
,k∈Z},回答下列问题:
(1)集合M中大于-360°
且小于360°
的角是哪几个?
(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式.
(1)令-360°
30°
,则-<
k<
,又∵k∈Z,∴k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,∴集合M中大于-360°
的角共有8个,分别是-330°
,-240°
,-150°
,-60°
,30°
,120°
,210°
,300°
(2)集合M中的第二象限角与120°
角的终边相同,
∴β=120°
层级二 应试能力达标
1.给出下列四个结论:
①-15°
是第四象限角;
②185°
是第三象限角;
③475°
是第二象限角;
④-350°
是第一象限角.其中正确的个数为( )
A.1 B.2
C.3D.4
选D ①-15°
②180°
185°
=360°
+115°
,而90°
115°
,所以475°
+10°
是第一象限角,
所以四个结论都是正确的.
2.若角2α与240°
角的终边相同,则α=( )
A.120°
,k∈Z
B.120°
C.240°
D.240°
选B 角2α与240°
角的终边相同,则2α=240°
,k∈Z,则α=120°
,k∈Z.选B.
3.若α与β终边相同,则α-β的终边落在( )
A.x轴的非负半轴上
B.x轴的非正半轴上
C.y轴的非负半轴上
D.y轴的非正半轴上
选A ∵α=β+k·
∴α-β=k·
∴其终边在x轴的非负半轴上.
4.设集合M={α|α=45°
,k∈Z},N={α|α=90°
45°
,k∈Z},则集合M与N的关系是( )
A.M∩N=∅B.MN
C.NMD.M=N
选C 对于集合M,α=45°
=45°
+2k·
=(2k+1)·
,即M={α|α=(2k+1)·
,k∈Z};
对于集合N,α=90°
=2×
=(k+2)·
,即N={α|α=(k+2)·
,k∈Z}={α|α=n·
,n∈Z}.∵2k+1表示所有的奇数,而n表示所有的整数,∴NM,故选C.
5.从13:
00到14:
00,时针转过的角为________,分针转过的角为________.
经过一小时,时针顺时针旋转30°
,分针顺时针旋转360°
,结合负角的定义可知时针转过的角为-30°
,分针转过的角为-360°
-30°
-360°
6.已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是第______象限角.
由题意知k·
(k∈Z),故k·
(k∈Z),按照k的奇偶性进行讨论.当k=2n(n∈Z)时,n·
+n·
(n∈Z),∴α在第一象限;
当k=2n+1(n∈Z)时,180°
(n∈Z),∴α在第三象限.故α是第一或第三象限角.
一或三
7.试写出终边在直线y=-x上的角的集合S,并把S中适合不等式-180°
≤α<
的元素α写出来.
终边在直线y=-x上的角的集合
S={α|α=k·
+120°
,k∈Z}∪{α|α=k·
+300°
,k∈Z}={α|α=k·
,k∈Z},其中适合不等式-180°
的元素α为-60°
8.如图,分别写出适合下列条件的角的集合:
(1)终边落在射线OB上;
(2)终边落在直线OA上;
(3)终边落在阴影区域内(含边界).
(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1={α|α=60°
(2)终边落在直线OA上的角的集合为
S2={α|α=30°
(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为
S3={α|30°
≤α≤60°