高一数学二次函数试题有具体解答Word格式文档下载.docx

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∴b=﹣2a；

∴f〔x〕=ax2﹣2ax+c．

又与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x1∈〔2，3〕，a＜0，

∴即：

，

∴，

∴a+c＞﹣2a=b．C符合．

又a＜0，b=﹣2a＞0，c＞0，

∴abc＜0，排出A，

∵二次函数f〔x〕=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，

∴f〔1〕=a+b+c＞0，排出B，f〔﹣1〕=f〔3〕，

图象与x轴的两个交点中一个交点的横坐标x1∈〔2，3〕，

∴f〔﹣1〕=f〔3〕＜0，而f〔﹣1〕=a﹣b+c=﹣b+c＜0，

∴3b＞2c，排出D．

故选C．

此题考察了二次函数图象与性质，关键在于准确把握题目信息的意图，合理转化，十分是分析与应用是难点．属于中档题．

3．〔2020?

厦门模拟〕已知函数，这两个

函数图象的交点个数为〔〕

A．1B．2C．3D．4

一次函数的性质与图象．

综合题．

此题考察的知识点是指数函数的图象，要求函数y=f〔x〕的图象与函数y=3x的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．

在同一坐标系下，画出函数y=f〔x〕的图象与函数y=3x的图象如下列图：

由图可知，两个函数图象共有2个交点

故选B．

求两个函数图象的交点个数，我们能够使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，析图象后，即可等到答案．

4．已知函数f〔x〕=mx2+〔m﹣3〕x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实

数m的取值范围是〔〕

A．[0，1]B．〔0，1〕C．〔﹣∞，1〕D．〔﹣∞，1]

二次函数的图象．

常规题型；

计算题；

分类讨论．

此题考察的是函数的图象问题．在解答时，应先结合m能否为零对函数能否为二次函数进行区别，对于二次函数情况下充分结合图形的特点利用判别式和对称轴即可获得

问题解答．

由题意可知：

当m=0时，由f〔x〕=0知，﹣3x+1=0，∴＞0，符合题意；

当m＞0时，由f〔0〕=1可知：

，解得0＜m≤1；

当m＜0时，由f〔0〕=1可知，函数图象恒与X轴正半轴有一个交点

综上可知，m的取值范围是：

〔﹣∞，1]．

故选D．

此题考察的是二次函数的图象问题．在解答的经过当中充分体现了数形结合的思想、函数与方程的思想以及问题提转化的能力．值得同学们体会和反思．

5．已知，若|f〔x〕|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值

范围〔〕

B．[﹣1，0]C．[0，1]D．[﹣1，0〕

A．〔﹣∞﹣1]∪[0，

+∞〕

先画出函数和|f〔x〕|的图象；

利用图象再结合答案即可解

决此题．

函数的图象如图：

|f〔x〕|的图象如图：

由于|f〔x〕|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，

所以y=ax的图象应在y=|f〔x〕|的图象的下方，

故须斜率为负，或为0．

当斜率为负时，排除答案A，C；

当a=0，y=0知足要求，排除D．

此题主要考察函数的图象．其中涉及到二次函数，一次函数，分段函数以及带绝对值的函数的图象，是对函数的大汇总，在画整体带绝对值的函数图象时，注意起翻折原

则是X轴上方的保持不变，X轴下方的沿x轴对折．

6．已知二次函数f〔x〕=x2﹣ax+4，若f〔x+1〕是偶函数，则实数a的值为〔〕

A．﹣1B．1C．﹣2D．2

根据f〔x〕求出f〔x+1〕，由f〔x+1〕是偶函数得到f〔x+1〕=f〔﹣x+1〕即可得到关于a的方程，求出集即可得到a的值．

∵f〔x〕=x2﹣ax+4，

∴f〔x+1〕=〔x+1〕2﹣a〔x+1〕+4

=x2+2x+1﹣ax﹣a+4

=x2+〔2﹣a〕x+5﹣a，

f〔1﹣x〕=〔1﹣x〕2﹣a〔1﹣x〕+4

=x2﹣2x+1﹣a+ax+4

=x2+〔a﹣2〕x+5﹣a．

∵f〔x+1〕是偶函数，

∴f〔x+1〕=f〔﹣x+1〕，

∴a﹣2=2﹣a，即a=2．

故选D

此题考察学生灵敏运用函数的奇偶性解决实际问题．是一道基础题．

7．已知m＞2，点〔m﹣1，y1〕，〔m．y2〕，〔m+1，y3〕都在二次函数y=x2﹣2x的图象上，则〔〕

A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y3

函数的性质及应用．

根据二次函数的解析式，可判定出二次函数y=x2﹣2x的图象形状，进而判定出函数的单调性，结合m＞2可得1＜m﹣1＜m＜m+1，结合函数的单调性可判定出y1，y2，y3的大小．

∵二次函数y=x2﹣2x的图象是开口朝上且以直线x=1为对称轴的抛物线故二次函数y=x2﹣2x在区间[1，+∞〕上为增函数

又∵m＞2

∴1＜m﹣1＜m＜m+1

∴y1＜y2＜y3

故选A

此题考察的知识点是二次函数的图象和性质，其中根据函数的解析式分析出函数的单调性是解答的关键．

8．已知，若函数y=f〔x〕﹣c的图象与x轴恰有两个

公共点，则实数c的取值集合是〔〕

A．{c|c≤﹣5或c=﹣1或c=3}B．{c|c＜﹣5或c=﹣1或c=3}

C．{c|2＜c＜3或c＞4}D．{c|2＜c≤3或c≥4}

作出函数y=f〔x〕的图象，然后根据图象确定实数c的取值集合．

作出函数的图象如图：

由y=f〔x〕﹣c=0得f〔x〕=c，

所以由图象可知要使方程f〔x〕=c，恰有两个公共点，则有c=﹣1或c=3或c＜﹣5．故选B．

此题主要考察二次函数的图象，以及两个图象的交点问题，利用数形结合是解决这类问题常见的方法．9．〔2020?

渭南三模〕设函数若f〔﹣4〕=f〔0〕，f〔﹣2〕=0，

则关于x的不等式f〔x〕≤1的解集为〔〕

A．〔﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞〕B．[﹣3，﹣1]C．[﹣3，﹣1]∪〔0，

D．[﹣3，+∞〕

二次函数的性质；

一元二次不等式的解法．

利用f〔﹣4〕=f〔0〕，f〔﹣2〕=0，建立方程组，解得b=c=4，由此能

求出关于x的不等式f〔x〕≤1的解集．

∵函数，

f〔﹣4〕=f〔0〕，f〔﹣2〕=0，

解得b=c=4，

∴当x＞0时，f〔x〕=﹣2≤1；

当x≤0时，

由f〔x〕=x2+4x+4≤1，

解得﹣3≤x≤﹣1．

综上所述，x的不等式f〔x〕≤1的解集为{x|x＞0，或﹣3≤x≤﹣1}．

此题考察二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意一元二次不等式的性和应用．

10．〔2020?

湖北模拟〕设函数f〔x〕=ax2+bx+c，若f〔x〕＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，

则〔〕

A．f〔5〕＜f〔2〕＜f〔﹣1〕B．f〔﹣1〕＜f〔2〕＜

f〔5〕

C．f〔2〕＜f〔﹣1〕＜

D．f〔2〕＜f〔5〕＜f

〔﹣1〕

由于函数f〔x〕=ax2+bx+c，若f〔x〕＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，利用不等式与函数之间的联络及二次函数的对称性即可求解．

由于函数f〔x〕=ax2+bx+c且f〔x〕＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，利用不等式与函数的联络能够知道：

﹣2，4应为方程ax2+bx+c=0的两个根，∴利用二次函数的韦达定理能够知道：

由此得次二次函数为开口向上，对称轴x=﹣=1，

利用二次函数的图象关于对称轴对称能够知道：

f〔5〕＞f〔﹣1〕＞f〔2〕故选C

此题考察了函数与不等式之间的联络，二次函数的对称性及利用对称性比拟函数值的大小．

11．〔2020?

大连模拟〕已知函数y=x2﹣4|x|+5在〔﹣∞，a〕内单调递减，则实数a的取值范围是〔〕

A．a≥﹣2B．a≤﹣2C．a≥0D．a≤2

先对函数y=x2﹣4|x|+5取绝对值，画出其对应的图象，利用图象来找实数a的取值范围即可．

由于y=x2﹣4|x|+5=其图象如图．

由图得，函数y=x2﹣4|x|+5在〔﹣∞，a〕内单调递减区间为〔﹣∞，﹣2]，

故实数a的取值范围是a≤﹣2．

此题考察了二次函数的图象，通过图象来找函数的单调区间，数形结合有助于我们的解题，形象直观．

12．若函数f〔x〕=x2+2〔a+1〕x+2在区间〔﹣∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是

A．a＜﹣5B．a≤﹣5C．a＞﹣5D．a≥﹣5

由题意可得﹣〔a+1〕≥4，由此解得a的取值范围．

由题意可得，﹣〔a+1〕≥4

∴a≤﹣5

故选B

此题主要考察求二次函数的单调性，属于基础题．

13．已知二次函数f〔x〕=a〔x﹣m〕〔x﹣n〕〔m＜n〕，若不等式f〔x〕＞0的解集是〔m，

n〕且不等式f〔x〕+2＞0的解集是〔α，β〕，则实数m、n、α、β的大小关系是〔〕

A．m＜α＜β＜nB．α＜m＜n＜βC．m＜α＜n＜βD．α＜m＜β＜n

令g〔x〕=f〔x〕+2，因f〔x〕=a〔x﹣m〕〔x﹣n〕＞0的解集是〔m，n〕，讲明a为负数，再根据图象变换的性质可知

f〔x〕的图象是由g〔x〕向下平移得来的，α、β是g〔x〕=0的两根，m和n是f〔x〕

=0的两根，画出图象，则可得到答案．

令g〔x〕=f〔x〕+2=a〔x﹣α〕〔x﹣β〕，f〔x〕=a〔x﹣m〕〔x﹣n〕

则f〔x〕的图象是由g〔x〕向下平2个单位长度移得来的，

依题意可知a，b是g〔x〕=0的两根，

m和n是f〔x〕=0的两根，α、β是g〔x〕=0的两根

作出图象如图，可得α＜m＜n＜β，

此题主要考察了一元二次方程根的分布与系数的关系，采用数形结合的方法是解决此题的关键．考察了

生分析问题和解决的能力，不失为一道成功的考题．

14．已知函数f〔x〕=﹣x2+ax+b2﹣b+1，〔a，b∈R〕对任意实数x都有f〔1﹣x〕=f〔1+x〕

成立，若当x∈[﹣1，1]时，f〔x〕＞0恒成立，则b的取值范围是〔〕

A．﹣1＜b＜0

B．b＞2

C．b＞2或b＜﹣1

D．b＜﹣1

函数的图象．专题：

计算题．分析：

先根据条件“对任意实数x都有f〔1﹣x〕=f〔1+x〕成立〞得到对称轴，求出a，再研究函数f〔x〕在[﹣1，1]上的单调性，求出函数的最小值，使最小值大于零即可．

∵对任意实数x都有f〔1﹣x〕=f〔1+x〕成立，∴函数f〔x〕的对称轴为x=1=，解得a=2，

∵函数f〔x〕的对称轴为x=1，开口向下，

∴函数f〔x〕在[﹣1，1]上是单调递增函数，

而f〔x〕＞0恒成立，f〔x〕min=f〔﹣1〕=b2﹣b﹣2＞0，

解得b＜﹣1或b＞2，

故选C

此题主要考察了函数恒成立问题，二次函数在给定区间上恒成立问题必须从开口方向，对称轴，判别式及端点的函数值符号4个角度进行考虑．

15．已知函数

，若f〔2a+1〕＞f〔a〕，则实数a的取值范围是〔〕A．B．〔﹣∞，﹣3〕∪〔﹣1，+∞〕C．D．〔﹣3，﹣1〕

先判定函数f〔x〕的奇偶性和单调性，求参数的取值范围．

由于函数，所以作出函数f〔x〕的图象，则函数f〔x〕为偶函数，且在〔+∞〕上单调递增．

则f〔2a+1〕＞f〔a〕，等价为f〔|2a+1|〕＞f〔|a|〕，

所以|2a+1|＞|a|，平方得4a2+4a+1＞a2，即3a2+4a+1＞0，

解得．

此题主要考察二次函数的图象和性质，以及函数单调性的应用．

16．不等式〔m﹣2〕x2+2〔m﹣2〕x﹣4≤0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是〔〕A．﹣2＜m＜2B．﹣2≤m≤2C．﹣2≤m＜2D．﹣2＜m≤2

等式〔m﹣2〕x2+2〔m﹣2〕x﹣4≤0对一切实数x都成立，包括两种情况，一是二次项及一次项系数全为0，常数项小于等于0，而是二次项系数小于0，△小于等于0，分类讨论后，综合讨论结果，即可得到答案．

当m=2时，不等式〔m﹣2〕x2+2〔m﹣2〕x﹣4≤0可化为﹣4≤0对一切实数x都成立，

故m=2知足条件；

当m＜2时，若不等式〔m﹣2〕x2+2〔m﹣2〕x﹣4≤0对一切实数x都成立，

则

解得﹣2≤m＜2

综上知足条件的实数m的取值范围是﹣2≤m≤2

此题考察的知识点是二次函数的性质，其中解答时容易忽略m=2时，不等式〔m﹣2〕x2+2〔m﹣2〕x﹣4≤0可化为﹣4≤0对一切实数x都成立，而错选C

17．f〔x〕=ax2+bx+c，不等式f〔x〕＞0的解集是{x|x1＜x＜x2}，f〔0〕＞0，则f〔x1+x2〕的值〔〕

A．小于0B．大于0

C．等于0D．以上三种情况都有可能

根据已知条件得到a＜0且x1，x2是ax2+bx+c=0的两个根，由韦达定理得到x1+x2=﹣，由于f〔0〕＞0，得到c＞0，

得到f〔x1+x2〕=．

由于不等式f〔x〕＞0的解集是{x|x1＜x＜x2}，

所以a＜0且x1，x2是ax2+bx+c=0的两个根，

所以x1+x2=﹣，

又由于f〔0〕＞0，

所以c＞0，

所以f〔x1+x2〕=

此题考察二次不等式的解集形式、与相应的二次方程的根的关系；

考察二次方程的韦达定理，属于基础题．

18．〔2021?

山西模拟〕二次函数f〔x〕知足f〔4+x〕=f〔﹣x〕，且f〔2〕=1，f〔0〕=3，若f〔x〕在[0，m]上有最小值1，最大值3，则实数m的取值范围是〔〕

A．[2，4]B．〔0，2]C．〔0，+∞〕D．[2，+∞〕

由f〔4+x〕=f〔﹣x〕可知f〔4〕=f〔0〕=3是最大值，f〔2〕=1是最小值，而f〔x〕在[0，m]上有最小值1，最大值3，讲明m至少得是2，进而可得到答案．

由f〔4+x〕=f〔﹣x〕，

可知f〔4〕=f〔0〕=3是最大值，而f〔2〕=1是最小值，

而f〔x〕在[0，m]上有最小值1，最大值3，则m必须得有2，

又f〔4〕=f〔0〕=3，故m可以等于4，

故答案选A．

此题主要考察二次函数的值域和单调性．

19．〔2020?

绵阳一模〕已知函数f〔x〕=ax2+2ax+4〔a＞0〕，若x1＜x2，x1+x2=0，则〔〕A．f〔x1〕＜f〔x2〕B．f〔x1〕=f〔x2〕

C．f〔x1〕＞f〔x2〕D．f〔x1〕与f〔x2〕的大小不能确定

函数值作差进行比拟大小，根据条件判f〔x1〕﹣f〔x2〕的正负即可．

由题意，可有f〔x1〕﹣f〔x2〕=〔ax12+2ax1+4〕﹣〔ax22+2ax2+4〕=a〔x1﹣x2〕〔x1+x2〕+2a〔x1﹣x2〕=a〔x1﹣x2〕〔x1+x2+2〕

由于a＞0，x1＜x2，x1+x2=0

所以a＞0，x1﹣x2＜0，x1+x2+2＞0

所以f〔x1〕﹣f〔x2〕＜0

即f〔x1〕＜f〔x2〕．

此题主要考察：

函数值作差进行比拟大小，根据条件判式子的正负．

20．二次函数f〔x〕=ax2﹣2〔a﹣1〕x+2在区间〔4，+∞〕内是减函数，则实数a的取值

范围为〔〕

D．a=﹣3

A．B．C．

且a≠0

二次函数在闭区间上的最值．

综合题；

考虑两种情况：

当a大于0时，得出二次函数的图象为开口向上的抛物线，根据二次函数的增减性得到函数在区间〔4，+∞〕内是减函数不可能；

当a小于0时，得出二

次函数的图象为开口向下的抛物线，根据二次函数的顶点坐标公式求出此函数的顶点

坐标，由于二次函数f〔x〕=ax2﹣2〔a﹣1〕x+2在区间〔4，+∞〕内是减函数，经过

判定得出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．

当a＞0时，得到二次函数为开口向上的抛物线，与二次函数在区间〔4，+∞〕

内是减函数矛盾，a取空集；

当a＜0时，二次函数f〔x〕=ax2﹣2〔a﹣1〕x+2在区间〔4，+∞〕内是减函数，

得到x=≤4，解得：

a≤﹣．

此题考察学生灵敏运用二次函数的图象与性质解决实际问题，考察了分类讨论的数学思想，是一道综合题．

21．函数y=﹣x2﹣4x+1，x∈[﹣3，3]的值域为〔〕

A．[﹣∞，5]B．[5，+∞]C．[﹣20，5]D．[﹣4，5]

先求出函数的对称轴方程，根据到对称轴距离的远近即可求出其值域．

∵f〔x〕=y=﹣x2﹣4x+1

=﹣〔x+2〕2+5

对称轴为x=﹣2，开口向下．

所以在[﹣3，﹣2]上递增，在[﹣2，3]上递减．

且3离对称轴距离远．

所以当x=3时，有最小值为f〔3〕=﹣20．

当x=﹣2时，函数有最大值为f〔2〕=5．

即值域为[﹣20，5]．

此题主要考察二次函数在闭区间上的最值问题．二次函数在闭区间上的最值问题，一定要讨论对称轴和间的位置关系．

22．实数x、y知足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值为〔〕

A．B．4C．D．5

把3x2+2y2=6x化为y2=3x﹣x2，求出x的取值范围，并代入x2+y2中消去y，然后根

据二次函数的性质求出它的最值即可．

∵实数x、y知足3x2+2y2=6x，

∴y2=3x﹣x2≥0，因而0≤x≤2，

∴x2+y2=3x﹣x2=〔x﹣3〕2，0≤x≤2，

∴当x=2时，x2+y2的最大值为4．

此题主要考察二次函数在闭区间上的最值的知识点，解答此题的关键是熟练把握二次函数的性质，此题难度不大．属中档题．

23．已知函数f〔x〕=x2﹣2x+5，x∈[2，4]，若存在实数x∈[2，4]使m﹣f〔x〕＞0成立，

则m的取值范围为〔〕

A．〔5，+∞〕B．〔13，+∞〕C．〔4，+∞〕D．〔﹣∞，13〕

存在实数x∈[2，4]，使m﹣f〔x〕＞0成立，等价于x∈[2，4]，m＞f〔x〕min．利用

配方法求二次函数的最小值，即可得结论．

存在实数x∈[2，4]，使m﹣f〔x〕＞0成立，等价于x∈[2，4]，m＞f〔x〕min．

∵函数f〔x〕=x2﹣2x+5=〔x﹣1〕2+4

∴函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1

∵x∈[2，4]，

∴x=2时，f〔x〕min=f〔2〕=22﹣2×

2+5=5

∴m＞5

此题考察的重点是存在性问题，解题的关键是求二次函数的最小值，存在实数x∈[2，4]，使m﹣f〔x〕成立，等价于x∈[2，4]，m＞f〔x〕min．易错点是与对于任意实数x∈[2，4]，使m﹣f〔x〕＞0成立问题混淆．

二．解答题〔共7小题〕

24．已知函数f〔x〕=|x2﹣2x|﹣1

〔1〕在坐标系中画出函数f〔x〕的简图；

〔2〕观察图象，写出函数f〔x〕的单调增区间及函数f〔x〕的零点个数；

〔3〕利用图象，写出使方程f〔x〕+a=0有四个不同解的实数a的取值范围．

数形结合；

〔1〕分类讨论，去掉绝对值，化简函数的解析式，结合函数的解析式画出函数的图象．

〔2〕结合图象写出函数的单调增区间，以及函数的零点个数．

〔3〕要使方程f〔x〕+a=0有四个不同解，需函数f〔x〕的图象和y=﹣a有4个交

点，结合

图象列出不等式，求得实数a的取值范围．

〔1〕∵函数f〔x〕=|x2﹣2x|﹣1，当x＜0或x＞2时，函数f〔x〕=x2﹣2x﹣1，当0≤x≤2时，f〔x〕=﹣x2+2x﹣1，如右图所示．

〔2〕由函数的图象可得，增区间为[0，1]，[2，+∞〕，函数f〔x〕有三个零点．

点，

∴﹣1＜﹣a＜0，∴0＜a＜1．

此题考察由函数的解析式做出函数图象的方法，体现了分类讨论、数形结合的数学思想．

25．〔2020?

徐汇区三模〕已知函数f〔x〕=|x|?

〔a﹣x〕，a∈R．

〔1〕当a=4时，画出函数f〔x〕的大致图象，并写出其单调递增区间；

〔2〕若函数f〔x〕在x∈[0，2]上是单调递减函数，务实数a的取值范围；

〔3〕若不等式|x|?

〔a﹣x〕≤6对x∈[0，2]恒成立，务实数a的取值范围．

函数单调性的性质；

函数恒成立问题．

〔1〕首先对x分类讨论，去掉绝对值符号；

然后根据二次函数的图象特征，即可画出其草图；

而其单调性，观察图象显而易见．

〔2〕由x∈[0，2]易于把函数f〔x〕化简为二次函数，再把其单调减区间表示出来，

进而根据f〔x〕在x∈[0，2]上是单调递减函数，可得a的不等式，则a可求．

〔3〕要用分离参数的方法把a分离出来，需对x=0单独讨论；

由于0＜x≤2时，

恒成立，则利用导数法求出x+的最小值即可．