专题05 二次函数与线段和角的数量关系问题宿迁28题盐城27题常州28题苏州28题等原卷版Word格式.docx

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若存在，求出点P的横坐标；

若不存在，请说明理由；

（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．

4．（2019年苏州28题）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．

（1）求a的值；

（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；

（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标．

5．（2018年无锡28题）已知：

如图，一次函数y＝kx﹣1的图象经过点A（3

，m）（m＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC＝2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC＝CD．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（

，0），求这条抛物线的函数表达式．

6．（2017年苏州28题）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

（1）求b、c的值；

（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'

恰好在线段BE上，求点F的坐标；

（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：

抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？

如果存在，求出点Q的坐标；

如果不存在，说明理由．

【专项突破】

【题组一】

1．（2020•无锡模拟）如图，已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．过点A的直线y＝kx+2k（k≠0）与这个二次函数的图象的另一个交点为F，与该图象的对称轴交于点E，与y轴交于点D，且DE＝EF．

（1）求点A的坐标；

（2）若△BDF的面积为12，求这个二次函数的关系式；

（3）设二次函数的顶点为P，连接PF，PC，若∠CPF＝2∠DAB，求此时二次函数的表达式．

2．（2020•镇江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y

x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．

（1）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；

（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．

3．（2020•滨湖区模拟）已知二次函数y＝ax2+4amx（m＞0）的对称轴与x轴交于点B，与直线l：

y

交于点C，点A是该二次函数图象与直线l在第二象限的交点，点D是抛物线的顶点，已知AC：

CO＝1：

2，∠DOB＝45°

，△ACD的面积为2．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）若点P为抛物线对称轴上的一个点，且∠POC＝45°

，求点P坐标．

4．（2020•营口模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C（0，2）．

（2）若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标；

（3）如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．

【题组二】

5．（2019•梁溪区校级二模）已知，在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m），其中m＜0，与x轴相交于点B（4，0）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点B，它与直线l相交于另一点C．

（1）若AC：

BC＝1：

3，求a的值（用含m的代数式表示）；

（2）在

（1）的条件下，若抛物线的顶点为F，其对称轴与直线l和x轴分别相交于点D、E，当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似时，求抛物线的函数表达式．

6．（2019•邗江区校级二模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝4．

（1）求该抛物线的函数解析式．

（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：

S△CDF＝4：

3时，求点D的坐标．

（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣2），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？

若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

7．（2019•靖江市校级一模）如图，抛物线y＝mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．

（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；

（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；

（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB＝∠OAD，且点D为线段AE的中点．

①求m的值；

②此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n

4

my

12

50成立，求实数n的最小值．

8．（2019•姑苏区校级二模）已知抛物线经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（0，3），点D为抛物线在第一象限内图象上一动点，连接AD，交y轴于点E，将点C关于线段AD作轴对称，对称点为C'

，连接AC'

．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1如果点C'

落在x轴，求点E坐标；

（3）如图2，连接AC、BC，BC与AD交于点F，拖动点D，点C'

落在第四象限，作FG∥AC，交x轴于点M，交AC'

于点G，若∠AGF＝90°

，求点M的横坐标．

【题组三】

9．（2019•宿豫区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且抛物线经过点D（2，3）．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点G在x轴上．原抛物线上一点M平移后的对应点为点N，如果△AMN是以MN为底边的等腰三角形，求点N的坐标；

（3）若点P为抛物线上第一象限内的动点，过点B作BE⊥OP，垂足为E，点Q为y轴上的一个动点，连接QE、QD，试求QE+QD的最小值．

10．（2019•灌南县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx

的图象经过点A（﹣1，0）、C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，

①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标；

②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°

，求t的取值范围．

11．（2019•润州区二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线AB相交，与x轴、y轴交于A（2，0）、B

（1）求点O关于AB的对称点P的坐标；

（2）若点P在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的关系式．

（3）在

（2）的条件下，在△ABP内存在点M，使得MA+MB+MP的值最小，则相应点M的坐标为　　．

12．（2019•洪泽区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过A（1，0）和B（5，0），与y轴交于点C点为点D，连接BC，BD．点P是抛物线对称轴上的一个动点

（1）a＝　　，b　　；

（2）若∠CPB＝90°

，求点P的坐标；

（3）是否存在点P，使得以P、D、B为顶点的三角形中有两个内角的和等于∠ABC？

若存在，求出点P的坐标；

（4）如图②，抛物线对称轴交x轴于点E，设∠BDE的度数为a，点M是线段BC上动点，作射线AM，将AM绕A点逆时针旋转2a度，旋转后的射线交直线BC与点N，请直接写出MN的最小值．（直接写出结果）

【题组四】

13．（2019•高港区三模）定义：

两条长度相等，且它们所在的直线互相垂直，我们称这两条线段互为等垂线段．如图①，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）若线段AB与线段BC互为等垂线段．求A、B、C的坐标．

（2）如图②，点D是反比例函数y

的图象上任意一点，点E（m，1），线段DE与线段AB互为等垂线段，求m的值；

（3）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B两点．

①用含a的代数式表示b．

②点P为平面直角坐标系内的一点，在抛物线上存在点Q，使得线段PQ与线段AB互为等垂线段，且它们互相平分，请直接写出满足上述条件的a值．

14．（2019•丹阳市一模）如图

（1），二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0）的图象与x轴、直线y＝x的交点分别为点A（4，0）、B（5，5）．

（1）a＝　　，b＝　　，∠AOB＝　　°

；

（2）连接AB，点P是抛物线上一点（异于点A），且∠PBO＝∠OBA，求点P的坐标　　；

（3）如图

（2），点C、D是线段OB上的动点，且CD＝2

．设点C的横坐标为m．

①过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线相交于点F、E，连接EF．当CF+DE取得最大值时，求m的值并判断四边形CDEF的形状；

②连接AC、AD，求m为何值时，AC+AD取得最小值，并求出这个最小值．

15．（2019•建湖县二模）如图，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C直线y＝﹣x+4经过点B、C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点A的直线交抛物线于点M，交直线BC于点N．

①点N位于x轴上方时，是否存在这样的点M，使得AM：

NM＝5：

3？

若存在，求出点M的坐标；

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时，请求出点M的横坐标．

16．（2019•无锡二模）已知，如图，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：

y＝kx

对称．

（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；

（2）求二次函数解析式；

（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两动点，连接CN，NM、MD，求D的坐标并直接写出CN+NM+MD的最小值．

【题组五】

17．（2019•兴化市二模）已知，关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax（a＞0）的顶点为C，与x轴交于点O、A，关于x的一次函数y＝﹣ax（a＞0）．

（1）试说明点C在一次函数的图象上；

（2）若两个点（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±

2）都在二次函数的图象上，是否存在整数k，满足

？

如果存在，请求出k的值；

如果不存在，请说明理由；

（3）若点E是二次函数图象上一动点，E点的横坐标是n，且﹣1≤n≤1，过点E作y轴的平行线，与一次函数图象交于点F，当0＜a≤2时，求线段EF的最大值．

18．（2019•清江浦区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点B（﹣3，0）和C（4，0）与y轴交于点A．

（1）a＝　　，b＝　　；

（2）点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB向B运动，同时，点N从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BC向C运动，当点M到达B点时，两点停止运动．t为何值时，以B、M、N为顶点的三角形是等腰三角形？

（3）点P是第一象限抛物线上的一点，若BP恰好平分∠ABC，请直接写出此时点P的坐标．

19．（2019•常州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：

y＝kx+m交y轴于点C，与抛物线y＝ax2+bx交于点A（4，0）、B（

，

）．

（1）直线l的表达式为：

　　，抛物线的表达式为：

　　；

（2）若点P是二次函数y＝ax2+bx在第四象限内的图象上的一点，且2S△APB＝S△AOB，求△AOP的面积；

（3）若点Q是二次函数图象上一点，设点Q到直线l的距离为d，到抛物线的对称轴的距离为d1，当|d﹣d1|＝2时，请直接写出点Q的坐标．

20．（2019•东台市模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，顶点是D．

（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；

（2）在x轴上取点F，在抛物线上取点E，使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；

（3）将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于y轴的直线翻折，E为所得新抛物线x轴上方一动点，过E作x轴的垂线，交x轴于G，交直线l：

x﹣1于点F，以EF为直径作圆在直线l上截得弦MN，求弦MN长度的最大值．

【题组六】

21．（2019•昆山市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（2，0），B（﹣3，0），交y轴于点C，且经过点D（﹣6，﹣6），连接AD，BD．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）若点M为X轴上方的抛物线上一点，能否在点A左侧的x轴上找到另一点N，使得△AMN与△ABD相似？

若相似，请求出此时点M、点N的坐标；

（3）若点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与A，D重合），过点P作PQ∥y轴交直线AD于点Q，以PQ为直径作⊙E，则⊙E在直线AD上所截得的线段长度的最大值等于　　．（直接写出答案）

22．（2019•泰兴市一模）如图1，抛物线l1：

：

y1＝a（x﹣2）2与直线l2：

y2＝﹣am（x﹣2）+b（a，m，b为常数，a≠0，m＜0）交于A，B两点，直线l2交x轴交于点C．点A的坐标为（m+2，n）．

（1）若a＝﹣1，m＝﹣3，则A的坐标为　　，b＝　　，点B的坐标为　　；

（2）已知点M（0，﹣4），N（3，﹣4），抛物线l1与线段MN有两个公共点，求a的取值范围；

（3）①如图1，求证：

AB＝3AC；

②如图2，设抛物线顶点为F，直线l2交抛物线的对称轴于点D，直线l3：

y3＝2am（x﹣2）+d（d为常数，d≠0）经过点A，并交抛物线的对称轴于点E，若∠BFD＝p∠AED（p为常数），则p的值是否发生变化？

若不变，请求出p的值；

若变化，请说明理由．

23．（2019•铜山区二模）已知，如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象交x轴于A（﹣1，0），交y轴于点C（0，3），D是抛物线的顶点，对称轴DF经过x轴上的点F（1，0）．

（1）求二次函数关系式；

（2）对称轴DF与BC交于点M，点P为对称轴DF上一动点．

①求AP

PD的最小值及取得最小值时点P的坐标；

②在①的条件下，把△APF沿着x轴向右平移t个单位长度（0≤t≤4）时，设△APF与△MBF重叠部分面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并求出S的最大值．

24．（2019•靖江市一模）如图1，将抛物线y＝ax2（a＜0平移到顶点M恰好落在直线y＝x+3上，且抛物线过直线与y轴的交点A，设此时抛物线顶点的横坐标为m（m＞0）．

（1）用含m的代数式表示a；

（2）如图2，Rt△CBT与抛物线交于C、D、T三点，∠B＝90°

，BC∥x轴，CD＝2．BD＝t．BT＝2t，△TDC的面积为4．

①求抛物线方程；

②如图3，P为抛物线AM段上任一点，Q（0，4），连结QP并延长交线段AM于N，求

的最大值．