及差化积积化及差万能公式Word格式.docx

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证明过程

α+sin

β=2sin[（

的证明过程

由于

sin（

α+β）=sin

αcos

β+cos

αsin

β，

α-β）=sin

β-cos

将以上两式的左右两边分别相加，得

α+β）+sin（

α-β）=2sinαcosβ，

设α+β=θ，α-β=φ

那么

α=（θ+φ）/2,

β=（θ-φ）/2

把α，β的值代入，即得

+

φ=2

（θ+φ）/2

]cos[（

θ-φ）/2

]

θsin

正切的和差化积

tanα±

tanβ=sin（α±

β）/（cosα·

cosβ）（附证明）

cotα±

cotβ=sin（β±

α）/（sinα·

sinβ）

tanα+cotβ=cos（α-β）/（cosα·

tanα-cotβ=-cos（α+β）/（cosα·

证明：

左侧=tanα±

tanβ=sinα/cosα±

sinβ/cosβ=（sinα·

cosβ±

cosα·

sinβ）/（cosα·

cosβ）=sin（α±

β）/（cosα·

cosβ）=右侧

∴等式建立

注意事项

在应用和差化积时，一定是一次同名三角函数方可推行。

假如异名，一定用引诱公式化为同名；

假如高次函数，一定用降幂公式降为一次

口诀

正加正，正在前，余加余，余并肩

正减正，余在前，余减余，负正弦

反之亦然

1

生动的口诀：

（和差化积）

+帅=帅哥

-帅=哥帅

咕+咕=咕咕哥-哥=负嫂嫂反之亦然

记忆方法

和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下边指出了各自的简单记忆方法。

结果乘以2

这一点最简单的记忆方法是经过三角函数的值域判断。

sin和cos的值

域都是[-1,1]，其积的值域也应当是[-1,1]，而和差的值域倒是[-2,2]，所以乘以2是一定的。

也能够经过其证明来记忆，由于睁开两角和差公式后，未抵消的两项同样而造成有系数2，如：

cos（α-β）-cos（α+β）

=[（cosαcosβ+sinαsinβ）-（cosαcosβ-sinαsinβ）]

=2sinαsinβ

故最后需要乘以2。

只有同名三角函数能和差化积

不论是正弦函数仍是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。

这一点主假如依据证明记忆，由于假如不是同名三角函数，两角和差公式睁开后乘积项的形式都不一样，就不会出现相抵消和同样的项，也就没法化简下去了。

乘积项中的角要除以2

在和差化积公式的证明中，一定先把α和β表示成两角和差的形式，

才能够睁开。

熟知要使两个角的和、差分别等于α和β，这两个角应当是

（α+β）/2和（α-β）/2，也就是乘积项中角的形式。

注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但地点不一样；

而只有和差化积公式中有“乘以2”。

使用哪两种三角函数的积

这一点较好的记忆方法是拆分红两点，一是能否同名乘积，二是“半差角”（α-β）/2的三角函数名。

2

能否同名乘积，仍旧要依据证明记忆。

注意两角和差公式中，余弦的展

开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的睁开则是两对异名三角函数的乘

积。

所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积；

正弦的和差化作异名三角

函数的乘积。

（α-β）/2的三角函数名规律为：

和化为积时，以cos（α-β）/2的形

式出现；

反之，以sin（α-β）/2的形式出现。

由函数的奇偶性记忆这一点是最便利的。

假如要使和化为积，那么α

和β调动地点对结果没有影响，也就是若把（α-β）/2替代为（β-α）/2，

结果应当是同样的，进而（α-β）/2的形式是cos（α-β）/2；

另一种状况能够近似说明。

余弦-余弦差公式中的次序相反/负号

这是一个特别状况，完整能够死记下来。

自然，也有其余方法能够帮助这类状况的判断，如（0,π]内余弦函数的

单一性。

由于这个区间内余弦函数是单一减的，所以当α大于β时，cosα

小于cosβ。

可是这时对应的（α+β）/2和（α-β）/2在（0,π）的范围内，

其正弦的乘积应大于0，所以要么反过来把cosβ放到cosα前方，要么就

在式子的最前方加上负号。

积化和差公式

sinαsinβ=[cos（α-β）-cos（α+β）]/2（注意：

此时差的余弦在和的

余弦前方）

或写作：

sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）]/2（注意：

此时公式

前有负号）

cosαcosβ=[cos（α-β）+cos（α+β）]/2

sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2

cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

证明

积化和差恒等式能够经过睁开角的和差恒等式的右手端来证明。

即只要要把等式右侧用两角和差公式打开就能证明：

sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]=-1/2[（cosαcosβ-sinαsinβ）-（cosαcosβ+sinαsinβ）]=-1/2[cos（α+β）-cos（α-β）]

其余的3个式子也是同样的证明方法。

（拜见和差化积）

作用

积化和差公式能够将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘以常数的形式，所以使用积化和差公式能够达到降次的成效。

3

在历史上，对数出现以前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算，运算需要利用三角函数表。

运算过程：

将两个数经过乘、除10的方幂化为0到1之间的数，经过

查表求出对应的反三角函数值，马上原式化为10^k*sinαsinβ的形式，套用积化和差后再次查表求三角函数的值，并最后利用加减算出结果。

对数出现后，积化和差公式的这个作用由更为便利的对数代替。

积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下边指出了各自的简单记忆方法。

结果除以2

域都是[-1,1]，其和差的值域应当是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，所以除以2是一定的。

=（cosαcosβ+sinαsinβ）-（cosαcosβ-sinαsinβ）

故最后需要除以2。

使用同名三角函数的和差

不论乘积项中的三角函数能否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。

使用哪一种三角函数的和差

仍旧要依据证明记忆。

注意两角和差公式中，余弦的睁开中含有两对同

名三角函数的乘积，正弦的睁开则是两对异名三角函数的乘积。

所以反过来，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；

异名三角函数的乘积，化作正弦的

和差。

是和仍是差？

这是积化和差公式的使用中最简单犯错的一项。

规律为：

“小角”β以

cosβ的形式出现时，乘积化为和；

反之，则乘积化为差。

假如β的形式是cosβ，那

么若把β替代为-β，结果应当是同样的，也就是含α+β和α-β的两项

4

调动地点对结果没有影响，进而结果的形式应当是和；

正弦-正弦积公式中的次序相反/负号

自然，也有其余方法能够帮助这类状况的判断，如[0,π]内余弦函

数的单一性。

由于这个区间内余弦函数是单一减的，所以cos（α+β）不大

于cos（α-β）。

可是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos（α-β）放到cos（α+β）前方，要么就在式子的最前方加上负号。

全能公式

【词语】：

【释义】：

应用公式sinα=[2tan（α/2）]/{1+[tan（α/2）]^2}

cosα=[1-tan（α/2）^2]/{1+[tan（α/2）]^2}

tanα=[2tan（α/2）]/{1-[tan（α/2）]^2}

sinα、cosα、tanα代换成tan（α/2）的式子，这类代换称为全能置换。

【推导】：

（字符版）

sinα=2sin（α/2）cos（α/2）=[2sin（α/2）cos（α/2）]/[sin（α/2）^2+cos（α/2）^2]=[2tan（α/2）]/[1+（tan

2）^2]

cosα=[cos（α/2）^2-sin（α/2）^2]=[cos（α-/2）^2sin（α/2）^2]/[sin（a/2）^2+cos（a/2）^2]=[1-tan（α/2）

^2]/[1+（tanα/2）^2]

tanα=tan[2*（α/2）]=2tan（α/2）/[1-tan（α/2）^2]=[2tan（α/2）]/[1-（tanα/2）^2]

物业安保培训方案

为规范保安工作，使保安工作系统化/规范化,最后使保安具备知足工作需要的知识和技术，特拟订本教课教材纲领。

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一、课程设置及内容所有课程分为专业理论知识和技术训练两大科目。

此中专业理论知识内容包含：

保安理论知识、消防业务知识、职业道德、法律知识、保安礼仪、救护知识。

作技术训练内容包含：

岗位操作引导、勤务技术、消防技术、军事

技术。

二．培训的及要求培训目的

1）保安人员培训应以保安理论知识、消防知识、法律知识教课为主，在教课过程中，应要修业员全面熟知保安理论知识及消防专业知识，在工作中的操作与运用，并基本掌握现场

保护及办理知识2）职业道德课程的教课应依据不一样的岗位元而予以不一样的内容，使保何在各自不一样的工作岗位上都能养成拥有本职业特色的优秀职业道德和行为规范）法律

知识教课是理论课的主要内容之一，要求所有保安都应熟知国家相关法律、法例，成为懂法、知法、守纪的公民，运用法律这一有力武器与违纪犯法分子作斗争。

工作进口门

卫保卫，定点保卫及地区巡逻为主要内容，在平时管理和发生突发事件时能够运用所学的技术保护企业财富以及自己安全。

2、培训要求

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经过法律知识及职业道德教育，使保安建立法律意识和优秀的职业道德观点，能够运用法律知识正确办理工作中发生的各样问题；

加强保安人员敬业爱岗、无私奉献更好的为企业

4）服务的精神。

5）

6）

7）工作技术培训

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