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（3）运动加速度：

从图线的斜率得到加速度，斜率的大小表示加速度的大小，斜率的正负反映了加速度的方向．

（4）运动的位移：

从图线与时间轴围成的面积得到位移，图线与时间轴围成的面积大小表示位移的大小，时间轴以上的面积表示位移与规定的正方向相同，时间轴以下的面积表示位移与规定的正方向相反．

2．理解v－t图象时应注意

v－t图象斜率为正（即向上倾斜）不一定做加速运动，斜率为负（即向下倾斜）不一定做减速运动，物体做加速还是减速运动，取决于v和a的符号，v、a同正或同负加速，v、a一正一负则减速．

3．v－t图象是直线不代表物体做直线运动，物体做直线运动还是曲线运动取决于合外力（加速度）的方向与速度方向之间的关系．

4．x－t图象与v－t图象的区别

如表所示

比较内容

斜率

纵截距

图象与t轴所围面积

特例

匀速直线运动

匀变速直线运动

x－t图象

速度

初位置x0

倾斜的直线

抛物线

v－t图象

加速度

初速度v0

位移

与时间轴平行的直线

突破练习

1．被称为“史上最严交规”于2013年1月1日起施行．对校车、大中型客货车、危险品运输车等重点车型驾驶人的严重交通违法行为，提高了记分分值．图2是张明在2013年春节假期试驾中某次小轿车在平直公路上运动的0～25s内的速度随时间变化的图象，下列说法错误的是（　　）

图2

A．小轿车在0～15s内的位移为200m

B．小轿车在10s～15s内加速度为零

C．小轿车在10s末运动方向发生改变

D．小轿车在4s～9s内的加速度大小大于16s～24s内的加速度大小

解析　由题图知，小轿车在0～15s内的位移为200m，A项正确；

10s～15s内小轿车匀速运动，B项正确；

0～25s内小轿车始终未改变方向，C项错误；

小轿车4s～9s内的加速度大小是2m/s2，16s～24s内的加速度大小是1m/s2，D项正确．

2．近两年来，“奥的斯电梯”在北京、上海等地频出事故，致使大家“谈奥色变”，为此检修人员对电梯进行检修，检修人员搭乘电梯的v－t图象如图3，以下说法正确的是（　　）

图3

A．6s末电梯离出发点最远

B．2s～4s电梯静止不动

C．在4s～5s和5s～6s内电梯的加速度方向相反

D．在4s～5s和5s～6s内电梯的运动方向相反

答案　D

解析　由题图可知5s末速度反向，故5s末电梯离出发点最远，A错误，D正确；

2s～4s速度大小不变，电梯做匀速直线运动，B错误；

在4s～5s和5s～6s内电梯的加速度大小、方向均不变，C错误．

3．如图4，水平虚线MN的上方有一匀强磁场，矩形导线框abcd从某处以v0的速度竖直上抛，向上运动高度H后进入与线框平面垂直的匀强磁场，此过程中导线框的ab边始终与边界MN平行，在导线框从抛出到速度减为零的过程中，以下四个图能正确反映导线框的速度与时间的关系的是（　　）

图4

解析　在ab边进入磁场之前，线框做加速度为g的匀减速运动，进入磁场后做加速度逐渐减小的减速运动，故选项C正确．

考题2　对匀变速直线运动规律的考查

例2

　（2013·

新课标Ⅰ·

24）水平桌面上有两个玩具车A和B，两者用一轻质细橡皮筋相连，在橡皮筋上有一红色标记R.在初始时橡皮筋处于拉直状态，A、B和R分别位于直角坐标系中（0,2l）、（0，－l）和（0,0）点．已知A从静止开始沿y轴正向做加速度大小为a的匀加速运动；

B平行于x轴朝x轴正向匀速运动．在两车此后运动的过程中，标记R在某时刻通过点（l，l）．假定橡皮筋的伸长是均匀的，求B运动速度的大小．

审题突破

①画出平面直角坐标系，画出A、B、R的初始位置．

②A沿y轴正向做初速度为零、加速度为a的匀加速运动．B沿x轴正向做匀速运动．

③A、B两车的运动时间相等．

④根据AK与BK的长度之比始终不变，确定A和B的位移关系．

解析　设B车的速度大小为v.如图，标记R在时刻t通过点K（l，l），

此时A、B的位置分别为H、G.由运动学公式，H的纵坐标yA、G的横

坐标xB分别为

yA＝2l＋

at2①

xB＝vt②

在开始运动时，R到A和B的距离之比为2∶1，即

OE∶OF＝2∶1

由于橡皮筋的伸长是均匀的，在以后任一时刻R到A和B的距离之比都为2∶1.因此，在时刻t有

HK∶KG＝2∶1③

由于△FGH∽△IGK，有

HG∶KG＝xB∶（xB－l）④

HG∶KG＝（yA＋l）∶（2l）⑤

由③④⑤式得

xB＝

l⑥

yA＝5l⑦

联立①②⑥⑦式得

v＝

答案　

方法点拨

1．匀变速直线运动速度公式和位移公式：

v＝v0＋at

x＝v0t＋

at2

匀变速直线运动的推论式：

v2－v

＝2ax

x＝

t

以上四个公式均是矢量式，解题时须规定正方向，要注意各物理量的正负．

2．选取匀变速直线运动公式的技巧

在匀变速直线运动公式中除时间t外、x、v0、v、a均为矢量，解题时应先选好正方向，其基本思路是：

在仔细审题的基础上，正确判断物体的运动性质，抓住一段运动过程，

寻找x、v0、v、a、t五个物理量中的已知量、相关量与待求量；

选用合适的规律列方程，

如在不涉及时间时可用v2－v

＝2ax，不涉及加速度时可用v

＝

，不涉及速

度时可用xn－xm＝（n－m）aT2（n>

m），初速度为零时可用推论式等；

对于缺少的物理量，可

以先设出，在实际解题过程中往往可以消去．

4．一辆汽车沿着一条平直的公路行驶，公路旁边有与公路平行的一行电线杆，相邻电线杆间的间隔均为50m，取汽车驶过某一根电线杆的时刻为零时刻，此电线杆作为第1根电线杆，此时刻汽车行驶的速度大小为v1＝5m/s，假设汽车的运动为匀加速直线运动，10s末汽车恰好经过第3根电线杆，则下列说法中不正确的是（　　）

A．汽车运动的加速度大小为1m/s2

B．汽车继续行驶，经过第7根电线杆时的瞬时速度大小为25m/s

C．汽车在第3根至第7根电线杆间运动所需的时间为20s

D．汽车在第3根至第7根电线杆间的平均速度为20m/s

解析　由做匀加速直线运动的位移规律x＝v0t＋

at2知汽车运动的加速度大小为1m/s2，A正确；

由v2－v

＝2ax知汽车经过第7根电线杆时的瞬时速度大小为25m/s，B正确；

由v＝v0＋at知汽车从第1根至第7根电线杆用时为20s，所以从第3根运动至第7根电线杆所需时间为10s，C错误；

由

知汽车在第3根至第7根电线杆间的平均速度为20m/s，D正确．

5．如图5所示为一滑草场的示意图，山坡AB、BC可视为斜面，AB长25m，BC长97m．一滑行者从山坡顶端A由静止开始匀加速下滑，在AB段下滑时加速度大小为a1＝2m/s2，进入BC段下滑时加速度大小为a2＝1m/s2，从斜面AB滑上斜面BC时速度大小不变，滑行者在离C点适当距离处开始以大小为a3＝2m/s2的加速度制动减速后，恰好能停在C点，求滑行者从A到C所用的时间．

图5

答案　16s

解析　滑行者在AB段下滑过程，根据运动学公式可得：

v

＝2a1xAB

vB＝a1t1

联立解得：

t1＝5s

设滑行者在D点开始减速，从B到D的过程，根据运动学公式可得：

－v

＝2a2xBD

vD－vB＝a2t2

从D到C的过程，根据运动学公式可得：

＝2a3xDC

vD＝a3t3

据题意：

xBD＋xDC＝97m

t2＝4s

t3＝7s

从A到C的时间：

t＝t1＋t2＋t3＝16s

6．2011年8月10日，改装后的瓦良格号航空母舰进行出海航行试验，中国成为拥有航空母舰的国家之一．已知该航空母舰的飞行甲板长度为L＝300m，某种战斗机在航空母舰上起飞过程中的最大加速度为a＝4.5m/s2，飞机速度要达到v＝60m/s才能安全起飞．

（1）如果航空母舰静止，战斗机被弹射装置弹出后开始加速，要保证飞机起飞安全，战斗机被弹射装置弹出时的速度至少是多大？

（2）如果航空母舰匀速前进，在没有弹射装置的情况下，要保证飞机安全起飞，航空母舰前进的速度至少是多大？

答案　

（1）30m/s　　

（2）8m/s

解析　

（1）设战斗机被弹射出来时的最小速度为v0，

＝2ax得

v0＝

＝30m/s

（2）设飞机起飞所用时间为t，在时间t内航空母舰航行距离为x，航空母舰的最小速度为v1

对航空母舰有　x＝v1t

对飞机有　v＝v1＋at

＝2a（L＋x）

由以上三式联立解得v1＝v－

＝（60－30

）m/s≈8m/s.

考题3　对追及、相遇问题的考查

例3

　如图6是一个十字路口的示意图，每条停车线到十字路口中心O的距离均为20m.一人骑电动助力车以7m/s的速度到达停车线（图中A点）时，发现左前方道路一辆轿车正以8m/s的速度驶来，车头已抵达停车线（图中B），设两车均沿道路中央做直线运动，助力车可视为质点，轿车长4.8m，宽度可不计．

图6

（1）请通过计算判断两车保持上述速度匀速运动时，是否会发生相撞事故？

（2）若轿车保持上述速度匀速运动，而助力车立即做匀加速直线运动，为避免发生相撞事故，助力车的加速度至少要多大？

解析　

（1）轿车车头到达O点的时间为：

t1＝

s＝2.5s

轿车通过O点的时间为：

Δt＝

s＝0.6s

助力车到达O点的时间为

t2＝

s≈2.9s

因为t1<

t2<

t1＋Δt，所以会发生交通事故

（2）当助力车到达O点的时间小于t1＝2.5s时，可避免交通事故的发生，设助力车的最小加速度为am，则

x＝v2t1＋

amt

解得am＝0.8m/s2

答案　

（1）会发生相撞事故　

（2）0.8m/s2

1．同一条直线上的追及与相遇问题的常见类型有：

（1）匀速运动的物体追匀加速运动的物体：

若开始计时时做匀加速运动的物体的速度小于做匀速运动物体的速度或做匀加速运动的物体由静止启动，必须在两者速度相等或之前追上；

若两者速度相等时仍然追不上就永远追不上，两者之间的距离先减小后增大，速度相等时相距最近．

（2）匀加速运动的物体追匀速或匀减速运动的物体：

一定能追上，两者速度相等时相距最远．

（3）匀减速运动的物体追匀速或匀加速运动的物体，可参考

（1）分析．

2．不同直线上两物体的运动问题：

（1）要注意两物体的时间关系——相等或有一时间差．

（2）要注意两物体的位移关系——由题目给定条件确定．

3．同一直线上追及相遇问题的分析方法：

（1）临界分析法：

抓住追及相遇问题的临界条件是解决问题的关键，当速度相等时，距离最远或最近；

（2）数学极值法：

设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>

0，即有两个解，说明可以相遇两次；

若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；

若Δ<

0，则说明追不上或不能相遇．（3）图象法：

将两者的v－t图象在同一个坐标系中画出，然后用图象分析求解．

7．在平直公路上有甲、乙两辆汽车同时从同一位置沿着同一方向做匀加速直线运动，它们速度的平方随位移变化的图象如图7所示，则下列说法不正确的是（　　）

图7

A．甲车的加速度比乙车的加速度大

B．在x＝0.5m处甲、乙两车的速度相等

C．在x＝0.5m处甲、乙两车相遇

D．在t＝2s末甲、乙两车相遇

解析　根据速度位移关系v2－v

＝2ax得，v2＝2ax＋v

，两图线的斜率k＝2a，甲图线斜率大于乙图线的斜率，则甲车的加速度比乙车的加速度大，故A正确．由题图看出，在0.5m位置甲、乙两车速率的平方相同，则两车的速度大小相等，故B正确．根据公式x＝

t得两车经过0.5m位置时位移x相同，速度v相同，而乙的初速度大于零，则乙运动时间小于甲运动时间，故两车位移达到0.5m所用的时间不等，C错误．由x＝v0t＋

at2及图象可知甲的位移时间关系为x＝t2，乙的位移时间关系为x＝

＋t，将t＝2s代入可知D正确．

8．t＝0时，甲、乙两汽车从相距70km的两地开始相向行驶，它们的v－t图象如图8所示，忽略汽车掉头所需时间，下列对汽车运动状况的描述正确的是（　　）

图8

A．在第1小时末，乙车改变运动方向

B．在第2小时末，甲、乙两车相距60km

C．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大

D．在第4小时末，甲、乙两车相遇

解析　甲做初速度为0的匀加速直线运动，乙先向负方向做初速度为0的匀加速直线运动，第1小时末又向负方向做匀减速直线运动，在第2小时末速度为0，最后保持这一加速度，回头向正方向做匀加速直线运动．

第1小时末是乙车加速、减速的分界点，但没改变运动方向，A错误．

0～2h末，从图象围成的面积可知甲车发生位移为30km、正向，乙车发生的位移为30km、负向．两车相距70km－30km－30km＝10km，故B错误．

图象的斜率大，其加速度就大，由图象知，乙车加速度在4h内一直比甲车加速度大，C正确．

两车原来相距70km，从图象围成的面积看出，0～4h末甲车运动位移120km，乙车运动位移60km－30km＝30km，故此时两车相距20km，如图所示，故D错误．

9．高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30m/s，距离s0＝100m，t＝0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化如图9所示，取运动方向为正方向，通过计算说明两车在0～9s内会不会相撞？

图9

答案　不会相撞

解析　令a1＝－10m/s2，a2＝5m/s2，a3＝－5m/s2.

t1＝3s末，甲车速度：

v1＝v0＋a1t1＝0；

设3s后经过t2时间，甲、乙两车速度相等，此时距离最近：

a2t2＝v0＋a3t2；

等速之前，甲车位移：

x甲＝

t1＋

a2t

乙车位移：

x乙＝v0t1＋v0t2＋

a3t

联立解得x乙－x甲＝90m<

s0＝100m，不会相撞．

例4

　（15分）一辆货车在倾角θ＝37°

的足够长的斜坡上以速度v＝10m/s匀速行驶，货车质量M＝2×

103kg、车厢长L＝10.5m，车厢上表面粗糙．车厢内紧靠车厢前挡板处有一正方体物体A与货车相对静止一起运动，物体A边长l为0.5m，质量m＝1×

103kg.从t＝0时刻货车开始加速，物体A与车厢发生相对滑动，货车开始加速后的v－t图象如图10所示，物体A与车厢后挡板刚接触时恰好与货车速度相同．已知斜坡对货车阻力大小为货车对斜坡压力的0.1倍，空气阻力不计，sin37°

＝0.6，cos37°

＝0.8，g＝10m/s2.求：

（1）车厢与物体A间的动摩擦因数；

（2）物体A与车厢相对静止后，货车的输出功率．

图10

解析　

（1）对物体A：

μmgcosθ－mgsinθ＝ma①

at2②

v＝v0＋at③

对货车，匀加速阶段货车运动的距离：

x1＝

（v0＋v）t0＝140m④

匀速阶段货车运动的距离：

x2＝v（t－t0）＝18（t－10）⑤

L－l＝（x1＋x2）－x⑥

由以上各式可得：

μ＝0.83⑦

（2）F＝Ff⑧

Ff＝k（M＋m）gcosθ＋（M＋m）gsinθ⑨

P＝Fv⑩

P＝3.67×

105W⑪

答案　

（1）0.83　

（2）3.67×

105W

评分细则　1.②③④⑤⑥⑦⑪式各1分，其余各式均2分．

2．若将①式写成mgsinθ－μmgcosθ＝ma，并且②和③分别写成x＝v0t－

at2和v＝v0－at，同样给4分．

3．若⑧式和⑩式合并为一式：

P＝Ffv，或将⑧⑨⑩三式合并，同样给分．

4．符号混乱、物理意义不清楚者，要酌情扣分．

知识专题练　训练2

1．设物体运动的加速度为a，速度为v，位移为x，现有四个不同物体的运动图象如图所示，t＝0时刻物体的速度均为零，则其中物体做单向直线运动的图象是（　　）

解析　由位移－时间图象可知，位移随时间先增大后减小，2s后反向运动，4s末到达初始位置，故A错误；

由速度－时间图象可知，速度0～2s内沿正方向运动，2s～4s沿负方向运动，方向改变，故B错误；

由C图象可知：

物体在0～2s内做匀加速运动，2s～4s内做匀减速运动，4s末速度减为0，然后重复前面的过程，是单向直线运动，故C正确；

由D图象可知：

物体在第1s内做匀加速运动，1s～2s内做匀减速运动，2s末速度减为0，第3s内沿负方向运动，不是单向直线运动，故D错误．

2．某跳伞运动员从悬停在高空的直升机上跳下，他从跳离飞机到落地的过程中在空中沿竖直方向运动的v－t图象如图1所示，则下列关于他的运动情况分析不正确的是（　　）

A．0～10s加速度向下，10s～15s加速度向上

B．0～10s、10s～15s内都在做加速度逐渐减小的变速运动

C．0～10s内下落的距离大于100m

D．10s～15s内下落的距离大于75m

解析　由题图可知0～10s的加速度方向为正，大小逐渐减小，10s～15s的加速度方向为负，大小也逐渐减小，则A、B正确；

由图象的面积，可得0～10s的位移大于100m,10s～15s的位移小于75m，则C正确，D错误．

3．一个质量为m＝1kg的物体放在水平光滑地面上，在一水平外力F1＝2N的作用下从静止开始做直线运动，物体运动5s后外力撤去，在此时刻再加上一个与F1反向的力F2＝6N，物体又运动5s．规定外力F1的方向为正方向，则在物体运动的10s的时间内，下列关于物体的速度图象，正确的是（　　）

解析　0～5s时间内，物体的加速度a1＝2m/s2，做匀加速运动，末速度v＝a1t1＝10m/s，然后做加速度a2＝6m/s2的匀减速运动，速度减为零后再反向匀加速，v2＝v1－a2t2＝10－6×

5＝－20m/s，选项D正确．

4．将地面上静止的物体竖直向上吊起，物体由地面运动至最高点的过程中的v－t图象如图2所示．以下判断正确的是（　　）

A．前3s内货物只受重力作用

B．最后2s内物体的位移大小为12m

C．前3s内与最后2s内货物的平均速度相同

D．第3s末至第5s末的过程中，货物的机械能守恒

解析　物体先做匀加速直线运动，加速度大小为2m/s2，所以绳子拉力应为F－mg＝ma，A错．在最后2s内通过位移等于相应面积大小，即6m，B错．由于前3s内与最后2s内物体做匀变速直线运动，所以

，C正确．第3s末至第5s末的过程中物体做匀速直线运动，所以F＝mg，外力F做正功，所以机械能不守恒，应增加，D错．

5．甲、乙两个物体从同一地点、沿同一直线同时做直线运动，其v－t图象如图3所示，则（　　）

A．1s时甲和乙相遇

B．2s时甲的速度方向反向

C．4s时乙的加速度方向反向

D．0～2s内甲所受合外力做的功大于乙所受合外力做的功

解析　速度时间图线与时间轴围成的面积表示位移，图线的斜率表示加速度，由题图可知，2s时甲和乙的位移相同，故甲、乙相遇，A错误；

甲物体一直沿正方向运动，2s时甲的加速度方向反向，B错误；

0～2s，乙物体做匀速运动，2s～4s，做匀减速运动，4s时乙的速度为0,4s～6s，做反向的加速运动，加速度始终恒定不变，C错误；

根据动能定理可知合外力的功等于动能的变化，故D正确．

6．一物块以一定的初速度沿斜面向上滑出，利用速度传感器可以在计算机屏幕上得到其速度大小随时间的变化关系图象如图4所示，则物块（　　）

A．上滑过程的加速度大小为4m/s2

B．下滑过程的加速度与上滑过程的加速度方向相反

C．物块在斜面上不受摩擦力作用

D．物块在1.5s时刻回到出发点

解析　由图象可得物块上滑过程加速度的大小a1＝

m/s2＝8m/s2，A错．由于物块上滑时减速，故加速度的方向沿斜面向下；

物块沿斜面下滑时，加速度大小为a2＝

m/s2＝2m/s2，物块下滑时速度增大，故下滑时加速度方向沿斜面向下，B错．若物块在斜面上不受摩擦力，则上滑、下滑过程受力情况相同，由牛顿第二定律知，上滑、下滑过程加速度应该相等，C错．由v－t图象