概率论与数理统计习题及答案第3章习题详解Word格式.docx
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计幻懸及冬嚓
f（x,y）
Ae（3x4y）
0,
x0,y0,
其他.
求：
（1）
常数A;
随机变量（X,
Y）的分布函数;
（3）
P{0«
1,0之<
2}.
【解】
f（x,y）dxdy00Ae（3x4y）dxdy寻1
A=12
由定义，有
F（x,y）
f（u,v）dudv
yy
12e（3u4v）dudv（1e3x）（1
00
e4y）
y0,x0,
其他
（3）P{0X1,0Y
P{0X1,0Y2}
12
12e（3x4y）dxdy（1
2}
e3）（1e8）0.9499.
5.设随机变量（X,Y）的概率密度为
k（6xy）,0x2,2y4,f（x,y）=0,
确定常数k;
求P{XV1,Yv3};
（1）由性质有
24
f（x,y）dxdy°
2k（6xy）dydx8k1,
131
028*（6xy）dydx
⑶P{X1.5}f（x,y）dxdy如图af（x,y）dxdy
x1.5D1
⑷P{XY4}f（x,y）dxdy如图bf（x,y）dxdy
XY4D2
a]24
（a）（b）
题5图
6.设X和丫是两个相互独立的随机变量，X在（0,
0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
（1）X与Y的联合分布密度；
（2）
P{YN}.
（1）因X在（0,所以X的密度函数为
题6图
0.2）上服从均匀分布，
fx（x）
丄
0x0.2,
fY（y）
5e5y
yo,
所以
f（x,y）X,Y独立fx（x）gfY（y）
15y
5e
0.2
25e5y
0x0.2且y0,其他.
⑵P（YX）
y
7.设二维随机变量（
f（x,y）dxdy如图25e5ydxdy
D
0.2X-5y0.25x
0dx025edy0（5e5）dx=e-10.3679.
X，Y）的联合分布函数为
F（x，y）=（；
e4x）（1e2y）,x0,y0,
求（X,Y）的联合分布密度.
8e（4x2y）,x0,y0,
0,其他•
［解］f（x,y）-HX也
xy
8.设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
求边缘概率密度.
fY（y）f（x,y）dx
9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
eydy
fY（y）f（x,y）dx
yyx
0edxye,y0,
0,0,其他.
题10图
10•设二维随机变量（X,Y）
f（x，y）=c：
y,
试确定常数c；
求边缘概率密度
f（x,y）dxdy如图
21
4
f（x,y）dy
1212,xydy
x4
f（x,y）dx
11.设随机变量（
的概率密度为
y1,
x2
f（x,y）dxdy
y212,—xydxy4
X,Y）f（x,y）=
dx
-1
212
x
（1
7尹，
cx2ydy
x4）,
令1.
x1,
0y1,
1,yx,0x1,0,其他.
求条件概率密度fYix（y|x）,fxiy（x|y）
题11图
［解］fx（x）f（x,y）dy
1dy2x,0x1,
0,其他.
y1dx1y,1y0,
fY（y）f（x,y）dx1dx1y,0y1,
12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为x，最大的号码为Y.
（1）求x与丫的联合概率分布;
（2）X与丫是否相互独立？
（1）X与丫的联合分布律如下表
5
P{XXi}
11
22
33
6
C510
c5
10
P{Yyi}
（2）因P{X1}cP{Y
3}—丄旦丄P{X1,Y3},
101010010
故X与丫不独立
13.设二维随机变量
（X，Y）
的联合分布律为
丫
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.05
0.12
0.03
（1）求关于X和关于Y的边缘分布;
（1）X和丫的边缘分布如下表
258P{Y=yi}
"
—"
Z
-10-
0.150.300.35
0.050.120.03
0.20.420.38
（2）因P{X2}gP{Y0.4}0.20.80.160.15P（X2,Y0.4）,
故X与丫不独立.
y/2
14.设X和丫是两个相互独立的随机变量，X在
（0，1）上服从均匀分布，丫的概率密度为
fY（y）=2ey/2,yQ
（1）求X和丫的联合概率密度;
（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
题14图
⑵方程a22XaY
0有实根的条件是
（2X）24Y0
/
x2^y,
从而方程有实根的概率为:
1x21
dx-ey/2dy
oo2
11厂[
（1）（0）]
0.1445.
15■设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命
（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为
1000
x1000,
f（x）=h
求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图，Z的分布函数Fz（z）P{Z2}P{?
z}
（1）当ZWO时,Fz（z）0
（2）当0<
z<
时，
（这时当
x=1000
时,y=1000）（如图a）
L,、106..
yz106,
Fz（z）22dxdy
103dy
10322dx
y^xy
z
10xy
103106
z
-10323
Tyzy
dy-
itr
题15
16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160,202）分布•随机地选取只，求其中没有一只寿命小于180的概率.
【解】设这四只寿命为Xi（i=1,2,3,4）,贝VXi〜N
（160,202）,
从而
P{min（XjXz’XsXq）180}Xi之间独立P{X1180}gP{X2180}
P{X3180}gP{X4180}
[1
P{X1180}]g1
P{X2180}]g1P{X3180}]c[1P{X4180}]
P{X1
180}]4
180160
20
（1）]
（0.158）
0.00063.
17•设X,Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为
P{X=k}=p（k），k=0,1,2，…，
P{Y=r}=q（r）,r=0,1,2,….
证明随机变量Z=X+Y的分布律为
P{Z=i}=P（k）q（ik）,i=0,1,2,•••.
【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，所以
{Zi}{XYi}
{X0,Yi}U{X1,Yi1}ULU{Xi,Y0}
于是
P{Zi}P{Xk,Yik}X,Y相互独立P{Xk}gP{Yik}
k0k0
18•设X,Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n,p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.
【证明】方法一：
X+Y可能取值为0,1,2,…,2n.
k
P{XYk}P{Xi,Yki}
i0
方法二：
设Ml,p2,…?
pn；
full'
\,，…W均服
从两点分布（参数为p）,则
X=\+\+・・・+\
Y=\\/+・・・\
X+Y二\+\+…+\+\\+
所以，X+Y服从参数为（2n,p）的二项分
19.设随机变量（X,Y）的分布律为
2I
0.01
0.07
0.09
0.02
0.04
0.06
0.08
（1）求P{X=2
Y=2}，P{
Y=3X=0};
⑵求V=max
的分布律；
（3）求U=min
（X，Y）E
（4）求W=X+Y的分布律
■
（1）P{X2|Y
2}P{X2,Y
P{Y2}
P{X2,Y2}
0.051
0.252'
I,
咒1
25ESS
17
-16-
P{Y3|X0}晋h
k}P{Xk,Yi},
k0
i0,123,4,5
所以V的分布律为
V=max（X,Y）0
0.040.160.280.240.28
（3）p{u
i}
P{min（X,Y）i}
P{Xi,Yi}
P{Xi,Y
ki
k}P{Xk,Yi}
ki1
i0,123,
U=min（X,Y）0
0.28
0.25
0.17
（4）类似上述过程，有
W=X+
00.00.00.10.10.20.10.10.0
26394925
20.雷达的圆形屏幕半径为R设目标出现点（X,Y）在屏幕上服从均匀分布.
（1）求P{Y>
0|Y>
X};
（2）设M=max{X,Y},求P{M>
0}.
r.
题20图
【解】因（X,Y）的联合概率密度为
f（x,y）d
y0
yx
nR1
d2rdr
n40nR2
-nR1
4d2rdr
n40n2
3/83;
1/24;
13
1P{X0,Y0}1f（x,y）d1-
x044
21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X,Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？
【解】区域D的面积为
-dxInxx
e2
2.（X,Y）
e
So
所以fX
（2）1
22.设随机变量X和丫相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余
二-19-
数值填入表中的空白处
yiy2
P{X=Xi}=pi
X、
JJ
ya
Xi
X2
1/8
P{丫=yj}=pj
1/6
【解】因P{Y
yj}
Pj
P{X
i1
Xi,Yyj},
故P{Y
%}
X1,Y
ydP{XX2,Yyj,
y1}1
824.
而X与Y独立，故P{XXi}gP{Yyj}P{Xx,%},从而P{XXi}6P{Xx,,Yyi}24.
即：
P{XXi}丄/I-.
2464
又
P{XXi}P{Xx-,Yy}P{Xx-,Yy?
}P{Xx-,Y73},
即4o48P{Xxi,Yya},
4248
从而P{Xx-,Yya}右
同理P{Yy?
}-,P{XX2,Yy?
}-
28
弋1
-20-3
同理P{Xx2}3.
111
P{XX2,YV3}P{YV3}P{XX1,YV3}---.
3124
故
7-
y1
y2
y3
P{Xx}P
X1
—
24
12
P{Y
yj}Pj
-
23.设某班车起点站上客人数X服从参数为X»
0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0<
p<
1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：
（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；
（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.
-21-*
【解】⑴P{Ym|Xn}C：
pm（1p）nm,0mn,n0,1,2,L.
⑵P{Xn,Ym}P{Xn}gP{Ym|Xn}
C：
pm（1p）nmg^n,nmn,n0,1,2丄•
n!
24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~0；
o27，而Y的概率密度为f（y）,求随0.30.7
机变量U=X+Y的概率密度g（u）.
【解】设F（y）是丫的分布函数，则由全概率
公式，知U=X+Y的分布函数为
G（u）P{XYu}0.3P{XYu|X1}0.7P{XYu|X2}
0.3P{Yu1|X1}0.7P{Yu2|X2}
由于X和Y独立，可见
G（u）0.3P{Yu1}0.7P{Yu2}
0.3F（u1）0.7F（u2）.
由此，得U的概率密度为
g（u）G（u）0.3F（u1）0.7F（u2）
0.3f（u1）0.7f（u2）.
25.25.设随机变量X与丫相互独立，且均服从区间［0,3］上的均匀分布，求P{max{X,Y}<
1}.
解：
因为随即变量服从［0，3］上的均匀分布，
于是有
f（x）
3,0x3,
0,x0,x3;
—,0y3,
f（y）3'
y
0,y0,y3.
因为X,丫相互独立，所以
f（x,y）9,
0,x
0x3,0
0,y0,x
y3,
3,y3.
推得
P{max{X,Y}1}
9.
26.设二维随机变量（X，
Y）的概率分布为
a
0.1
b
c
其中a,b,c为常数
且
X的数学期望
E（X）
=0.2,P{YW（X<
0}=0.5记Z=X+Y.求：
（1）a,b,c的值;
（2）Z的概率分布；
（3）P{X=Z}.
解
（1）由概率分布的性质知，
a+b+c+0.6=1
即a+b+c=0.4.
由E（X）0.2，可得
ac
0.1.
再
由
P{X0,Y0}ab0.1
P{Y0X0}
0.5,
P{X0}ab0.5
得
ab0.3.
解以上关于a,b,c的三个方程得
a0.2,b0.1,c
（2）Z的可能取值为2，1,
0,1,2，
P{Z2}P{X1,Y
1}0.2
J?
P{Z1}P{X1,Y0}P{X
0,Y1}0.1,
P{Z0}P{X1,Y1}P{X0,Y0}
P{X1,Y1}0.3,
0,Y1}0.3,
P{Z2}P{X1,Y1}
0.1,
即Z的概率分布为
P
0.3
一—一厂
-24-4
⑶
P{XZ}P{Y0}0.1b0.20.10.10.20.4.
Bocker
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