高等数学授课教案Word格式文档下载.docx
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理解全微分的概念，了解全微分存在的必要、充分条件。
一、全微分的概念
二、可微的必要条件
三、可微的充分条件
四、几个概念的关系
五、全微分在近似计算中的应用
全微分的概念
全微分存在的充分条件
8题
第4页
1、4多元复合函数的求导法则
熟练掌握多元复合函数的求导法，会求二阶偏导数，会用复合函数求导法求全导数。
一、一个自变量情形
1、类型Ⅰ；
2、类型Ⅱ；
3、类型Ⅲ；
4、类型Ⅳ。
二、多个自变量情形
3、类型Ⅲ。
多元复合函数的求导法
二阶复合偏导数的求法
第5页
1、5隐函数求导法
熟练掌握隐函数的求导法
一、引言
二、一个方程的情形
三、方程组情形
四、反函数的微分法
隐函数的求导法
反函数的微分法
9题
第6页
1、6偏导数的几何应用
了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们的方程的求法。
一、空间曲线的切线与法平面
1、概念；
2、曲线由参数方程表示的情形；
3、曲线由一组方程表示的情形。
二、曲面的切平面与法线
1、曲面方程由隐函数表示的情形；
2、曲面方程由显函数表示的情形
三、方向导数的概念
空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的求法。
曲线由一组方程表示的情形，曲面方程由隐函数表示的情形。
第7页
1、7方向导数与梯度
了解方向导数与梯度的概念，掌握方向导数与梯度的计算方法。
一、方向导数
1、定义；
2、计算公式
二、二元函数的梯度
2、方向导数与梯度的关系；
3、等高线；
4、梯度与等高线的关系。
三、三元函数的梯度
四、场的概念
方向导数与梯度的计算
方向导数与梯度之间的关系
6题
第8页
1、8多元函数极值及其求法
理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。
了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值。
会求解一些较简单的最大最小值的应用问题。
一、多元函数的极值的概念。
二、多元函数取极值的的必要条件与充分条件。
三、最大值与最小值的求法与应用。
四、条件极值
2、拉格朗日乘数法；
多元函数的极值的求法
拉格朗日乘数法
第9页
2、1二重积分的概念与性质
理解二重积分的概念，知道二重积分的性质。
一、二重积分的背景
1、曲顶柱体的体积；
2、平面薄片的质量。
二、二重积分的概念
2、可积性；
3、几何意义。
三、二重积分的性质
1、线性性质；
2、分域性质；
3、比较性质；
4、估值性质；
5、中值定理。
二重积分的概念
二重积分概念与定积分概念的比较
7题
第10页
2、2二重积分的计算法（直角坐标）
熟练掌握直角坐标下二重积分的计算法。
教学要求
一、直角坐标系下二重积分的计算法
1、
--型区域；
2、
3、一般区域。
二、确定二重积分的积分限
三、例题
二重积分的计算法（直角坐标）
确定二重积分的积分限
10题
第11页
2、3二重积分的计算法（极坐标）
熟练掌握极坐标下二重积分的计算法。
一、极坐标系下二重积分的计算法
二、化为二次积分
二重积分的计算法（极坐标）
化为二次积分
第12页
2、4二重积分的应用
掌握二重积分的元素法，会用二重积分求曲面的面积，能应用二重积分来表达一些几何量与物理量（如重心、转动惯量）。
一、二重积分的元素法
二、曲面的面积
1、命题；
2、计算公式；
3、例题。
二重积分求曲面的面积
用二重积分来表达一些物理量
第13页
2、5三重积分的概念及其计算法
理解三重积分的概念，，掌握三重积分的计算法（直角坐标），了解先二后一法计算三重积分。
一、三重积分
3、性质；
4、空间物体的质量。
二、三重积分的计算
1、化为三次积分限的确定；
2、计算举例。
三、用“先二后一”法计算三重积分。
直角坐标下计算三重积分的方法
“先二后一”法计算三重积分
第14页
2、6利用柱坐标和球坐标计算三重积分
掌握在柱坐标及球坐标系下计算三重积分。
一、柱坐标系下计算三重积分
1、柱坐标；
2、柱坐标系下三重积分的表示；
3、化为三次积分并计算
二、球坐标系下计算三重积分
1、球坐标；
2、球坐标系下三重积分；
三、三重积分的应用
1、三重积分的元素法；
2、空间体的体积；
3、空间物体的转动惯量。
柱坐标系下计算三重积分
球坐标系下计算三重积分
第15页
3、1对弧长的曲线积分
理解对弧长的曲线积分的概念与性质，掌握对弧长的曲线积分的计算。
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1、曲线形构件的质量；
2、概念；
3、可积性；
4、性质；
5、推广。
二、对弧长的曲线积分的计算方法
1、参数方程情形；
2、直角方程情形；
3、举例。
三、对弧长的曲线积分应用：
变力沿曲线所作的功
对弧长的曲线积分的概念与计算
对弧长的曲线积分的计算
第16页
3、2对坐标的曲线积分
理解对坐标的曲线积分的概念与性质，掌握对坐标的曲线积分的计算。
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
4、推广
二、对坐标的曲线积分的计算方法
三、两类曲线积分的联系。
对坐标的曲线积分的概念与计算
两类曲线积分的联系
第17页
3、3格林公式及其应用
熟悉格林公式，会运用平面曲线积分与路径无关的条件。
一、格林公式
1、引言；
2、格林公式；
平面图形的面积。
二、平面曲线积分与路径无关的条件
2、等价定义；
3、条件。
三、二元函数的全微分求积
1、定理；
2、求原函数；
3、由原函数求曲线积分
格林公式成立的条件，用格林公式计算曲线积分。
平面曲线积分与路径无关的条件
第18页
3、4对面积的曲面积分
知道对面积的曲面积分的概念与性质，会计算对面积的曲面积分。
一、对面积的曲面积分的概念与性质
1、曲面的质量；
2、定义；
3、性质
二、计算法
1、公式；
2、举例
对面积的曲面积分的概念与性质
对面积的曲面积分的计算
第19页
3、5对坐标的曲面积分
知道对坐标的曲面积分的概念与性质，会计算坐标的曲面积分。
能用曲面积分表示一些物理量。
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
2、性质
2、例题
三、两类曲面积分的联系
四、曲面积分的应用
1、求质量；
2、求重心坐标；
3、求流量
对坐标的曲面积分的概念与性质
对坐标的曲面积分的计算
第20页
3、7高斯公式，斯托克斯公式
知道高斯公式、斯托克斯公式，知道散度、旋度的概念。
一、高斯公式
2、应用高斯公式计算曲面积分。
二、散度
三、斯托克斯公式
四、旋度
应用高斯公式计算曲面积分
斯托克斯公式的应用
第21页
4、1数项级数概念与性质
理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数收敛的必要条件。
知道无穷级数的基本性质。
一、常数项级数的概念
2、部分和；
3、收敛与发散、余项；
二、基本性质
1、数乘；
2、和、差；
3、级数前增加或去掉有限项；
4、加括号。
三、级数收敛的必要条件。
四、几何级数的敛散性。
常数项级数收敛与发散的概念
用定义求收敛级数的和
第22页
4、2正项级数的审敛法
掌握正项级数的比较审敛法。
熟练掌握正项级数比值审敛法。
一、正项级数的概念
2、等价条件。
二、比较审敛法
2、推理；
3、比较标准：
P-级数；
4、极限形式的比较判别法。
三、比值审敛法
2、例题。
四、根值审敛法简介
正项级数比值审敛法
正项级数的比较审敛法
第23页
4、3一般项级数的审敛法
掌握交错级数的莱布尼兹定理，并能估计交错级数的截断误差。
了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。
一、交错级数及其审敛法
2、莱布尼兹审敛法；
3、交错级数的截断误差
二、绝对收敛与条件收敛
2、绝对收敛与条件收敛的关系；
交错级数的莱布尼兹定理
估计交错级数的截断误差
第24页
4、4函数项级数，幂级数
知道函数项级数的收敛域及和函数的概念，熟练掌握较简单幂级数的收敛域的求法。
一、函数项级数
2、收敛域及例；
3、和函数和余项
二、幂级数
2、幂级数的收敛性；
3、收敛半径的概念；
4、收敛半径的求法及例子；
5、幂级数的加、减、乘、除运算。
幂级数的收敛域的求法
函数项级数的和函数和余项
第25页
4、5幂级数的性质，泰勒级数
知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，知道函数展开为泰勒级数的充要条件。
一、幂级数的分析性质
1、连续性；
2、可导性；
4、求和函数。
二、函数展开成幂级数
1、泰勒级数；
2、展开的充要条件；
3、函数展开成幂级数。
幂级数的分析性质及其应用
求幂级数的和函数
第26页
4、6函数展开成幂级数
掌握
、
的麦克劳林展开式，并能利用这些展开式将一些简单的函数展开成幂级数。
会用幂级数进行一些近似近似计算。
一、函数展开成幂级数
1、直接展开法；
的麦克劳林展开式；
3、间接展开法；
4、
的麦克劳林展开式
二、用幂级数进行一些近似近似计算。
函数展开成幂级数的间接展开法
函数展开成幂级数的直接展开法，余项的极限。
第27页
4、7傅里叶级数
知道函数展开为傅里叶级数的充分条件，并能将定义在
上的函数展开为傅里叶级数。
一、三角函数系
1、周期函数；
2、非正弦周期函数；
3、三角函数；
4、三角函数系的正交性。
二、函数展开成傅立叶级数
1、傅立叶级数；
2、充分条件；
3、周期为
的函数展开为傅里叶级数。
4、定义在
将周期函数与
上的函数展开为傅里叶级数
傅里叶级数收敛于函数的充分条件
4题
讲授
第28页
4、8正弦级数或余弦级数，周期为
的函数的傅立叶级数
能将定义在
和
上的函数展开为正弦或余弦级数。
一、正弦与余弦级数
1、奇函数与偶函数的傅立叶级数；
2、例；
3、函数展开成正弦或余弦级数。
二、周期为
2、例子。
函数展开成正弦或余弦级数
周期为
第29页
5、1微分方程的概念，可分离变量方程
了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。
熟练掌握变量可分离的方程的解法。
一、基本概念
1、微分方程；
2、解；
3、通解；
4、初始条件和特解。
二、可分离变量的微分方程
1、引例；
2、分离变量法；
可分离变量的微分方程的解法
微分方程的概念
第30页
5、2齐次方程
会解齐次方程和伯努利方程，从中领会用变量代换求解方程的思想。
一、齐次方程
2、解法；
二、可化为齐次方程的方程
三、用变量代换法解微分方程
用变量代换法解微分方程的思想
可化为齐次方程的方程
第31页
5、3一阶线性微分方程，全微分方程
熟练掌握一阶线性微分方程的解法，会解伯努利方程，会解较简单的全微分方程。
一、一阶线性微分方程
1、齐次情形（分离变量）1、非齐次情形（常数变易）
二、贝努里方程
1、解法；
2、例子
三、全微分方程
2、通解求法；
3、例；
4、积分因子
一阶线性微分方程的解法
全微分方程，积分因子
12题
第32页
5、4可降阶的高阶微分方程
知道下列几种特殊的高阶方程：
，
的降阶法。
一、高阶方程：
二、高阶方程：
三、高阶方程：
重点与难点：
用降阶法解特殊类型的高阶微分方程。
第33页
5、5二阶线性方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程
了解二阶线性微分方程解的结构，熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
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