自动控制原理实验指导书1Word格式.docx
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3901;
1234]，求矩阵A的特征值、特征多项式和特征向量.
A=[1.2350.9;
1234];
[V,D]=eig（A）
V=
0.4181-0.4579-0.3096i-0.4579+0.3096i-0.6044
0.6211-0.1757+0.2740i-0.1757-0.2740i0.0504
0.55240.74740.7474-0.2826
0.3665-0.1592-0.0675i-0.1592+0.0675i0.7432
D=
13.0527000
0-4.1671+1.9663i00
00-4.1671-1.9663i0
0002.1815
p=poly（A）
p=
-6.9000-77.2600-86.1300604.5500
2.基本绘图命令
a）绘制余弦曲线y=cos（x），x∈[0，2π]
x=linspace（0,2*pi）;
y=cos（x）;
plot（x,y）
b）线形为点划线、颜色为红色、数据点标记为加号；
holdon;
plot（x,y,'
r-.+'
）
c）加网格线
gridon
d）标注控制：
x、y坐标轴名称和标题“y=cos（t）”；
xlabel（‘x’）;
ylabel（'
y'
）;
title（'
y=cos（x）'
3.常用拉氏变换和反变换的命令
F=laplace（f）：
f（t）的拉氏变换，结果为F（s），默认变量为s；
f=ilaplace（F）
：
F（s）的拉氏反变换，结果为f（t），变量为t；
例1-1试求函数
的拉氏变换式，并用拉氏反变换观察变换结果。
MATLAB程序如下：
clear;
%清除所有变量
symstAwbs
%定义符号变量t,A,w,b,s
ft=A*sin（w*t+b）;
%定义f（t）的符号函数ft的表达式
Fs=laplace（ft）
%求ft的拉氏变换式Fs,即F（s）
运行结果：
Fs=
A*（cos（b）*w/（s^2+w^2）+sin（b）*s/（s^2+w^2））
可利用拉氏反变换对上述结果进行检验：
ft=ilaplace（Fs）%求Fs的拉氏反变换式ft
ft=
sin（t）
即f（t）=L-1[F（s）]=L-1[1/（s2+1）]=sin（t）
4.求系统的单位阶跃响应
说明：
step（num,den）,其中num：
传递函数分子表达式，den：
传递函数分母表达式，幂次由高到低排列。
例1-1：
若已知单位负反馈前向通道的传递函数为
，试作出其单位阶跃响应曲线，准确读出其动态性能指标，并记录数据。
1）作单位阶跃响应曲线matlab参考程序graph.m如下：
sys=tf（100,[150]）;
sysc=feedback（sys,1）;
step（sysc）;
gridon;
2）运行程序得到系统的单位阶跃曲线如下：
3）在曲线图中空白区域，单击鼠标右键，在快捷菜单中选择“Characteristics”命令，可以显示动态性能指标“PeakResponse”（峰值Cp），“SettingTime”（调节时间ts）、“RiseTime”（上升时间tr）和稳态值“SteadyState”，如图：
4）单击鼠标右键，在出现的快捷菜单中选择“Properties”命令，显示属性编辑对话框，如图：
5）在“Option”选项卡的“Showsettingtimewithin”文本框中，设置时间误差带2%或5%。
6）读图中数据可得到系统稳态值为1，动态性能指标为：
上升时间tr=0.127s,超调量Mp=44%，峰值时间tp=0.321s，调节时间ts=1.41s。
7）已知二价震荡环节的传递函数G（s）=
，其中
，
从0变化到1.25，求此系统的单位阶跃响应曲线、脉冲响应曲线和斜坡响应曲线。
参考函数如下：
（1）系统单位阶跃响应曲线的程序代码:
symss
forzeta=[0,0.25,0.5,0.75,1.0,1.25];
wn=0.4;
wn=sym（num2str（wn））;
zet=sym（num2str（zeta））;
ifzeta==0
figure
（1）
ezplot（ilaplace（wn^2/s/（s^2+wn^2））,[080]）;
gridon
\xi=0'
holdon
elseifzeta==1
ezplot（ilaplace（wn^2/s/（s+wn）^2）,[080]）;
holdon;
else
ezplot（ilaplace（wn^2/s/（s^2+2*zet*wn*s+wn^2））,[080]）;
end
end
\xi:
0,0.4,0.7,0.9,1.0,1.5,'
axis（[08001.8]）
gtext（'
wn=0.4'
绘图结果显示：
系统脉冲响应曲线的程序代码:
ezplot（ilaplace（wn^2/（s^2+wn^2））,[080]）;
ezplot（ilaplace（wn^2/（s+wn）^2）,[080]）;
ezplot（ilaplace（wn^2/（s^2+2*zet*wn*s+wn^2））,[080]）;
gridon
0,0.25,0.5,0.75,1.0,1.25,'
axis（[080-0.40.4]）
0'
0.25'
0.5'
0.75'
1.0'
1.25'
系统斜坡响应曲线的程序代码:
ezplot（ilaplace（wn^2/s^2/（s^2+wn^2））,[080]）;
ezplot（ilaplace（wn^2/s^2/（s^2+2*wn*s+wn^2））,[080]）;
ezplot（ilaplace（wn^2/s^2/（s^2+2*zeta*wn*s+wn^2））,[080]）;
0,0.25,0.5,0.75,1.0,1.25'
axis（[080080]）
由上至下为zeta=0，0.25，0.5，0.75，1.0，1.25
【分析】：
可见，当wn一定时，系统随着阻尼比zeta的增大，闭环极点的实部在s左半平面的位置更加远离原点，虚部减小到0，超调量减小，调节时间缩短，稳定性更好。
[实验要求]
1.利用所学知识，编写实验内容中1.到4.的相应程序，并将所用到的命令行、中间变量和最终结果及产生的图形写在实验报告上。
2.在例1-1的7）中，令zeta=0.25保持不变，编写程序并绘制出wn=10,30和50时，对应系统的单位阶跃、脉冲和斜坡响应曲线。
实验二控制系统的频域分析
一、实验目的
1.以二阶系统为例，掌握控制系统频率特性的基本原理；
2.掌握控制系统Nyquist图的绘制方法，并加深理解控制系统奈奎斯特稳定性判据的实际应用；
3.掌握利用matlab函数求取控制系统频域指标相角裕度、幅值裕度的方法；
4.掌握控制系统伯德图的绘制方法，并会利用伯德图分析控制系统稳定性。
二、实验原理
1.对数频率特性曲线
又称频率特性的对数坐标图或伯德图，又两张图组成，一张为对数幅频特性，其纵坐标为20log|G（jw）|,单位为分贝，用符号dB表示。
20log|G（jw）|常用L（w）表示。
另一张是相频特性图，其纵坐标为（°
），两张图的纵坐标均按线性分度，横坐标是角频率w，采用lg（w）分度（为了能在一张图上同时展示出频率特性的低频和高频部分）。
故坐标点w不得为零。
1到10的距离等于10到100的距离。
这个距离表示十倍频程，用dec表示。
2.对数稳定判据
对数频率特性曲线是奈氏判据移植于对数频率坐标的结果。
若G（jw）H（jw）包围（-1，j0）点，即G（jw）H（jw）在点（-1，j0）左边有交点，在Bode图中表现为L（w）>
0分贝所在的频段范围内，
与-180°
线有交点。
对数频率稳定性判据的内容为：
闭环系统稳定的充分必要条件为：
当w从零变化为+∞时，在开环系统对数幅频特性曲线L（w）>
0分贝的频段内，相频特性
穿越（2k+1）Л（k=0，±
1、±
2，...）的次数N为P/2,其中N=N+-N-，N+为正穿越次数，N-为负穿越次数。
P为开环传函的正实部极点数。
3.稳定裕度
1）相角裕度
。
当开环相频特性曲线（奈氏曲线）的幅值为1时，其相位角
与-180°
（即负实轴）的相角差
，称为相角裕度
，即：
，式中，
为奈氏曲线与单位圆相交处的频率，称为幅值穿越频率或剪切频率。
当w=wc时，有|G（jw）H（jw）|=1.相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后
度，则系统将变为临界稳定。
当
0时，相位裕度为正，闭环系统稳定。
=0时，表示奈氏曲线恰好通过（-1，j0）点，系统处于临界稳定状态。
<
0时，相角裕度为负，闭环系统不稳定。
2）增益裕度Kg。
增益裕度Kg定义为奈氏曲线与负实轴相交处的幅值的倒数。
即：
，式中wg为奈氏曲线与负实轴相交处的频率，称为相位穿越频率，又称为相角交界频率。
当w=wg时，有
，k=0,±
1,....对数坐标下，增益裕度定义为：
。
增益裕度的含义是：
对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大Kg，则系统将变为临界稳定状态。
当Kg>
1,即20lgKg（dB）>
0时，闭环系统稳定。
当Kg=1时，系统处于临界稳定状态。
当Kg<
1,即20lgKg（dB）<
0时，闭环系统不稳定。
三、实验内容及步骤
（1）产生频率向量
频率向量可由logspace（）函数来构成。
此函数的调用格式为ω=logspace（m,n,npts），此命令可生成一个以10为底的指数向量（10m~10n），点数由npts任意选定。
（2）绘制系统奈氏曲线
奈氏图由nyquist函数绘制，调用格式如下：
格式1：
nyquist（num,den）:
作nyquist图，角频率向量的范围自动设定，默认w∈（-∞，+∞）。
注意：
在自动控制理论中，幅频特性L（w）为w的偶函数，相频特性
为w的奇函数，则w从零变化到+∞与从零变化到-∞的曲线是关于实轴对称的。
格式2：
nyquist（num,den,w）:
作开环系统的奈氏曲线，角频率向量w的范围可以人工给定，生成格式为w=logspace（d1,d2,n）,表示将变量w作对数等分，d1和d2表示变量范围10d1~10d2，n为等分点数。
格式3：
[re,im,w]=nyquist（num,den）:
返回变量不做曲线，其中re为频率响应的实部，im为频率响应的虚部，w是频率点。
例2-1已知
，绘制nyquist图，判定系统的稳定性。
num=0.5;
den=[1210.5];
figure
（1）;
nyquist（num,den）
由于横坐标角频率的范围不够，从图中很难看出w从-∞变化到+∞时的相角，通过重新设置坐标范围显示全部范围的曲线，在当前图形Figure1窗口中选择“Eidt”菜单选项下的命令“AxesProperties”选项，在图形下方会增加一个坐标设置对话框，如图所示：
根据实际需要更改该对话框的参数，使图形完全显示w从-∞变化到+∞时，系统奈氏曲线的形状。
为应用奈氏曲线稳定性判据对闭环系统判稳，必须知道G（s）H（s）不稳定根的个数p是否为0，可以通过求其特征方程的根函数roots求得:
p=[1210.5];
roots（p）
结果显示，系统有三个特征根：
-1.5652，-0.2174+j0.5217，-0.2174-j0.5217.而且特征根的实部全为负数，都在s平面的左半平面，是稳定根，故p=0.
由此，系统奈氏曲线没有包围且远离（-1，j0）点，且p=0，因此系统闭环稳定。
（3）绘制连续系统伯德图
bode（num,den,w）:
使用给定角频率w绘制系统的bode图。
其中w为对数等分，生成格式为w=logspace（d1,d2,n）,表示将变量w作对数等分，d1和d2表示变量范围10d1~10d2，n为等分点数。
bode（num,den）:
在当前图形窗口中直接绘制系统的bode图，角频率w的范围自动设定。
[mag,phase,w]=bode（num,den）:
返回变量格式，不做图，计算系统bode图的输出数据，其中输出变量mag是系统bode图的幅值向量mag=|G（jw）|,注意此幅值不是分贝值，须用mag（dB）=20*log（mag）转换；
phase为bode图的幅角向量，phase=∠G（jw）,单位为（°
）；
w是系统bode图的频率向量，单位是rad/s。
例2-2已知控制系统开环传递函数
，绘制其bode图。
参考程序如下：
num=[10];
den=[1210];
bode（num,den）%显示系统的伯德图
运行结果如下：
bode（num,den）
例2-3在上述系统bode图中，确定谐振峰值的大小Mr和谐振频率wr。
[m,p,w]=bode（num,den）;
%返回变量格式，得到（m,p,w）向量
mr=max（m）%由最大值函数得到m的最大值
wr=spline（m,w,mr）%由插值函数spline求得谐振频率。
运行结果为：
谐振峰值Mr=1.6667，谐振频率wr=2.8284rad/s
其中spline（）为3次样条函数插值，函数格式为：
spline（x,y,xi）,式中，y=f（x）,xi为等分值。
（4）计算系统的稳定裕度，包括增益裕度Gm和相位裕度Pm。
margin（num,den）
给定开环系统的数学模型，作bode图，并在图上标注增益裕度Gm和对应频率wg，相位裕度Pm和对应频率wc。
[Gm,Pm,wg,wc]=margin（num,den）
返回变量格式，不做图。
[Gm,Pm,wg,wc]=margin（m,p,w）
给定频率特性的参数向量：
幅值m、相位p和频率w，由插值法计算Gm及wg、Pm及wc。
例2-4已知单位负反馈系统的开环传函
，求系统的稳定裕度，并分别用格式2和格式3计算，比较误差。
k=2;
z=[];
p=[0-1-2];
[num,den]=zp2tf（z,p,k）;
Margin（num,den）;
[Gm1,Pm1,wg1,wc1]=margin（num,den）%格式2求出系统稳定裕度
[Gm2,Pm2,wg2,wc2]=margin（m,p,w）%格式3求出系统稳定裕度
程序运行后显示系统的bode图如图所示，并在图的上方标出了稳定裕度，同时格式2、3求出稳定裕度显示在命令窗口中。
分析：
比较以下两组数据：
由格式2计算出的数据：
Gm1=3；
wg1=1.4142rad/s，Pm1=32.6133°
，wc1=0.7494rad/s
由格式3计算出的数据：
Gm2=3；
wg2=1.4141rad/s，PM=32.6138°
，wc2=0.7492rad/s
由于格式2计算时的w的点数是自动给定的，因此直接求取的稳定裕度与采用格式3经插值后得到的稳定裕度比较，后者的精确度高一些，这两种格式计算出的Gm不是分贝值，可以转化成dB，20lgGm=20lg3dB=9.54dB.
（5）绘制尼柯尔斯图（Nichols图）
尼柯尔斯图是将线性非时变系统在不同频率下的增益分贝值及相位绘在一直角坐标系的图上，尼柯尔斯图将二种波德图（波德增益图及波德相位图）结合成一张图，而频率只是曲线中的参数，不直接在图中显示。
尼柯尔斯图，其中可看到增益裕度及相位裕度。
尼柯尔斯图可以用来分析系统的稳定性，以及增益裕度、相位裕度等有关系统相对稳定性。
在尼柯尔斯图上可以看到相位-180度，增益0dB的点。
找出尼柯尔斯图对应相位-180度的点[1]
若此点在增益0dB的点上方，表示其增益大于0dB，对应的单位回授系统不稳定。
若此点在增益0dB的点下方，表示其增益小于0dB，对应的单位回授系统稳定，而两者的距离即为增益裕度。
而根据尼柯尔斯图对应增益0dB度的点也可以判断是否稳定，及相位裕度：
若此点在相位-180度点左方，表示其相位小于-180度，对应的单位回授系统不稳定。
若此点在相位-180度点右方，表示其相位大于-180度，对应的单位回授系统稳定，而两者的距离即为相位裕度。
函数调用格式为[mag,phase,ω]=nichols（num,den,ω）
例2-3已知单位负反馈的开环传递函数为
，试绘制Nichols图。
解MATLAB程序为
%Example7_29.m
num=1;
den=conv（[1,0],conv（[1,1],[0.2,1]））;
w=logspace（-1,1,400）;
[mag,phase]=nichols（num,den,w）;
plot（phase,20*log10（mag））
ngrid
执行后可得如图7-21所示的Nichols图。
1．用所学知识，编写实验内容中
（1）到（4）的相应程序，并将命令行、中间过程和结果写在实验报告上。
2.已知二阶系统的开环传递函数为：
，绘制出
取不同值时，
在0.1到10之间的频率范围上的bode图。
3.某单位负反馈系统的闭环传递函数为
，求
（1）在w=0.1rad/s到w=1000rad/s之间，用logspace函数生成系统闭环伯德图，估计系统的谐振峰值Mr，谐振频率wr和带宽wb。
（2）由Mr和wr推算系统阻尼比
和无阻尼自然频率wn，写出闭环传函，并与已知传函作比较。
4.某单位负反馈系统的传递函数
（1）当k=4时，计算系统的增益裕度，相位裕度，在bode图上标注低频段斜率，高频段斜率及低频段、高频段的渐进相位角。
（2）如果希望增益裕度为16dB，求出对应的k值，并验证。
5.已知
（1）绘制bode图，在幅频特性曲线上标出：
低频段斜率、高频段斜率、开环截止频率和中频段穿越频率；
在相频特性曲线上标出：
低频段渐进相位角、高频段渐进相位角和-180度线的穿越频率。
（2）计算系统的稳定裕度20lgKg和
，并确定系统的稳定性。
（3）在图上作近似的渐近线，与原准确特性相比较。
6.已知系统的结构图如图所示，分别令
1）Gc（s）=1；
2）Gc（s）=
做bode图，分别计算两个系统的稳定裕度值。
然后做性能比较及时域仿真验证。
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