一元二次方程的解法及韦达定理Word文件下载.docx
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对于形如(x+a)2=b的方程也是用直接开方的方法。
注意点:
①二次项的系数为1,且a≥0
②如果a为根式,注意化简。
例1:
解方程:
5x2=1
例2:
x2=
例3:
4x2+12x+9=12
2、配方法:
对于形如:
ax2+bx+c=0(其中a≠0)的方程,我们可以采用配方法的方法来解。
步骤:
①把二次项的系数化为1.
两边同时除以a,可以得到:
X2+
x+
=0
②配方:
(x+
)2+c-
③移项:
)2=
-c
④用直接法求出方程的解。
X=-
±
解除方程的解后,要检查根号内是否要进一步化简。
例:
x2+x=1
3、公式法:
ax2+bx+c=0(其中a≠0)的方程,我们也可以采用公式法的方法来解。
根据配方法,我们可以得到方程的解为:
X=-
进一步变形,就可以知道:
形如:
ax2+bx+c=0(其中a≠0)的方程的解为:
x1=
,x2=
1解除方程的解后,要检查根号内是否要进一步化简。
2解题步骤要规范。
例:
x2+5x+2=0
除了以上几种教材里的方法,一元二次方程还有其他的解法。
4、换元法
对于一个方程,如果在结构上有某种特殊的相似性,可以考虑用换元法;
或者,当这个题目有比较复杂的根式,换元法也是可以考虑的解法。
(x2+5x+2)2+(x2+5x+2)-2=0
5、有理化方法:
对于一个方程,如果含有两个根式,并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值,那就可以考虑用有理化的方法。
6、主元法:
对于一个方程,如果有两个未知数,那么,我们可以确定其中的一个为“主元“,将另一个未知数设定为常数,用公式法可以解出结果。
解方程
除了这种方法,遇到这种题目,你还有别的解法吗?
二、判别式的运用:
我们知道:
方程ax2+bx+c=0(其中a≠0)的解为:
其中,我们把:
=b2-4ac称之为判别式
(1)当
>
0的时候,方程有两个不同的实数根。
(2)当
=0的时候,方程有两个相同的实数根。
(3)当
<
0的时候,方程没有实数根。
没有实数根与没有根是两个不同的概念。
判别式的运用:
(1)求方程系数的取值范围。
已知方程ax2+8x+a=0有两个不同的实数根,求a的取值范围。
(2)求最大值最小值的问题。
求
的最大值和最小值。
已知a>
0,b>
0,且a+2b+ab=30,求a、b为何值时,ab取得最大值。
三、韦达定理
对于方程ax2+bx+c=0(其中a≠0)的解为:
那么就有:
x1+x2=
x1x2=
.
除了这两个式子之外,还有几个,我们也必须要熟悉的:
(1)|x1-x2|=
(2)
+
=
(3)
注:
以上的几个公式,教材没有提及,所以,运用的时候要加以证明,在做选择题或者填空题时可以直接运用。
下面给出公式
(1)的推理:
|x1-x2|=
韦达定理的应用:
1、运用韦达定理求方程的解或者系数的范围。
如果关于x的方程:
例题2:
已知关于x的方程(a2-1)x2-(a+1)x+1=0的两个根互为倒数,求a的值。
2、构造方程进行计算:
已知3a2+2a-1=0,3b2+2b-1=0。
求|a-b|的值
已知a,b,c都是整数,且有a+b+c=0,abc=16,求a、b、c三个数中的最大数的最小值。
例题3:
已知在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且S△AOB=4,S△COD=9,求四边形ABCD面积的最小值。
一元二次方程习题
1、等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2-9x+18=0的两个解,求这个三角形的周长。
【举一反三】
Rt△ABC两边的长分别是一元二次方程x2-5x+6=0的两个解,求这个三角形的面积。
矩形的两边的差为2,对角线的长为4,求矩形的面积。
2、解方程:
(1)x2-2=-2x;
(2)x(x-3)+x-3=0;
(3)4x2+12x+9=81.
3、先化简,再求值:
(a-1)÷
(
-1),其中a为方程x2+3x+2=0的一个根.
设a,b分别是方程x2+3x+1=0的两个根,求:
(1)a2+b2+ab的值;
(2)求a3+b3的值
已知:
5a2+12a-1=0,b2-12b-5=0,且:
ab≠1,求:
的值。
4、关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,求a的取值范围。
已知关于x的方程x2-2(k-3)x+k2-4k-1=0.
(1)若这个方程有实数根,求k的取值范围;
(2)若这个方程有一个根为1,求k的值;
(3)若以方程x2-2(k-3)x+k2-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y=
的图象上,求满足条件的m的最小值.
已知关于
的方程
(1)
有两个不相等的实数根,且关于
的方程
(2)
没有实数根,问
取什么整数时,方程
(1)有整数解?
0,且:
a+2b+ab=30,求ab的最大值。
5、若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根,求m+n的值。
6、关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1,(a,m,b均为常数,a≠0),解方程方程a(x+m+2)2+b=0。
7、设方程(x-a)(x-b)-x=0的两根是c、d,解方程(x-c)(x-d)+x=0。
8、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人欢乐流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
解题方案:
设每轮传染中平均一个人传染了x个人,
(Ⅰ)用含x的解析式表示:
第一轮后共有人患了流感;
第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人,第二轮后共有人患了流感;
(Ⅱ)根据题意,列出相应方程为;
(Ⅲ)解这个方程,得;
(Ⅳ)根据问题的实际意义,平均一个人传染了个人.