圆中多解题阴影面积Word格式文档下载.docx
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四、分割转化
(把不规则图形分割为规则图形的面积的和或差。
—单5厂122.5)(平方单位)
例9、如图10所示,:
正方形ABCD的边长为%以相邻的两边为直径分别画两个半圆.求
阴影部分的面积•
例10、如图:
四边形ABCD为某住宅区的示意图,其周长为800米,为美化环境,计划在住宅区周围5米以外作为绿化带(虚线以内,四边形以外);
求此绿化带的面积。
要求该不规则图形的面积,将阴影分割为四个矩形和四个扇形,进而求得这个阴影部分的面积。
例11、(2007年,滨洲)如图所示,分别以n边形的顶点为圆心,以单位1为半径画圆,
则图中阴影部分的面积之和为个平方单位。
图中各扇形的圆心角无法求,但是所有扇形的圆心角这和恰好是n边形的外
角和,显然等于360°
o即Z1+Z2+Z3++Zn=360°
图10
F
G
N
H蜃11
ABCD
中,AD//BC,
ZA=ZB=90°
E是AB的中点,连接DE、CE,
AD+EC二CD,
12、如图,直角梯形
以下结论
(1)ZCED=90°
;
(2)DE平分ZADC;
(3)以AE为直径的圆与CD相切;
(4)以CD为直径的圆与AE
相切;
(5)ACDE的面积等于梯形ABCD面积的一半.
其中正确结论的个数为()
A・2个B.3个
C
、4个
BC
13、如图,在半径为,圆心角等于45°
的扇形AOB内部,作一个正方形CDEF,使
点C在0A上,点
E在0B上,点F在弧AB上,
则阴影部分的面积为(结果保留
证明题:
(1)如图,AB是。
0的直径,BC丄AB,AD〃0C交G)0于D点,求证:
CD为。
0的切线;
(2)如图,以R込ABC的直角边AB为直径作00,交斜边AC于D,点E为BC的中点,连结DE,求证:
DE是00的切线.
(3)如图,以等腰△ABC的一腰为直径作。
0,交底边BC于D,交另一腰于F,若DE
丄AC于E(或E为CF屮点),求证:
DE是O0的切线.
(4)如图,AB是O0的直径,AE平分ZBAF,交。
0于点E,过点E作直线ED丄AF,
交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点
C,求证:
CD是。
0的切线.
圆中的计算与证明
1、如图在△ABC中,ZC二90°
,点0为AB上一点,以0为圆心的半圆切AC于E,交AB
于D,AC二12,BC二9,求AD的长。
A
B
D
40°
2、如图,AB是00的直径,BD是的弦,延长BD到点C,使DCBD,连结AC,过
点D作DEAC丄垂足为E.
(1)求证:
AB1C;
(2)求证:
DE为的切线;
3、如图AB是。
O的直径,C,D是圆上的两点,若ZABD=40°
,求ZBCD得度数。
4、如图,O0中,弓玄AB±
弦CD于E,0F±
AB于F,0G丄CD于G,
AE=8cm,EB=4cm,贝lj0G二cm
5、(镇江市)如图,正方形ABCD内接于O0,E为DC的中点,直线
于点F.若的半径为罷,则BF的长为
6、
(扬州市)如图,AB是00的直径,ZACD=15:
,,则ZBAD的度数为
7、
边长为a的正方边形的边心距为
8、
半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边
比为
9、)如图,AB、AC是的两条切线,切点分别为B、C,
的一点,已知ZBAC=80:
那么ZBDC=
度.
长之
D是优弧能上
10、△ABC是半径为2厘米的圆内接三角形,若BC=如厘米,则ZA
的度数为
11、
(沈阳市)如图,已知OA、0B是。
0的半径,且0A=5,ZA0B=
AC丄0B于C,则图中阴影部分的面积(结果保留兀)S=
12、(哈尔滨市)将两边长分别为4厘米和6厘米的矩形以其一边所在
直线为轴旋转一周,所得圆柱体的表面积为
—平方厘米.
13、(陕西省)如图,在。
0的内接四边形ABCD中,ZBCD=13(f,则ZB0D的度数是
14、(甘肃省)正三角形的内切圆与外接圆面积之比为
厘米,内切圆半径是
15扬州市)边长为2厘米的正六边形的外接圆半径是
厘米(结果保留根号)•
16、(贵阳市)某种商品的商标图案如图所求(阴影部分),已知菱形ABCD的边长为4,
ZA=60;
BD是以A为圆心,AB长为半径的弧,
CD是以B为圆心,BC长为半径的弧,
则该商标图案的面积为
17、宁夏回族自治区)圆锥的母线长为
米,高为3厘米,在它的侧面展开图中,
18、
(沈阳市)要用圆形铁片截出边长为
扇形的圆心角是度.
4厘米的正方形铁片,则选用的
圆形铁片的直径最小要厘米.
19、(重庆市)如图,四边形ABCD内接于0O,AD〃Cc小广、
Be,AB+CD=AD+BC,
若AD=4,BC=6,则四边形ABCD的面积为・
20、(天津市)已知。
0屮,两弦AB与CD相交于点E,若E为AB的屮点,
CE:
ED=1:
4,AB=4,则CD的长等于
21(北京市海淀区)一种圆状包装的保鲜膜,如图所示,其规格为“20厘米X60米”,经测量这筒保鲜膜的内径%、夕卜径的长分别为3.2厘米、4.0厘米,则该种保鲜膜的厚度约为厘米(兀取3.14,结果保留两位有效数字).
22、(北京市东城区)在RtAABCZC=
31
AB=,BC=旋
转一周,所得圆锥的侧面展开图的面积是・
23、山东省)如图,点P是半径为5的O0内一点,且OP=3,在过点
P的所有弦中,长度为整数的弦一共有个
以AC所在直线为轴
24、(宁夏回族自治区)已知圆的内接正六边形的周长为
18,那么
圆的面积为
25、(甘肃省)如图,在AABC中,ZBAC=90,AB=AC=2,以AB为直径的圆交BC
于D,则图中阴影部分的面积为
26、(甘肃省)弧长为6n的弧所对的圆心角为60,则弧所在的圆的半径为
27、北京市朝阳区)如果圆锥的侧面积为20n平方厘米,它的母线长为5厘米,那么此
圆锥的底面半径的长等于
28、(北京市西城区)“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题,
“今在圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?
”用
现在的数学语言表述是:
“如图,CD为。
0的直径,弦AB丄CD,垂足为E,CE=1寸,AB
=寸,求直径CD的长”.依题意,CD长
29、(河南省)如图,O、0、0、0、0相互外离,它们的半径都是1,顺次连
ABCDE
结五个圆心得到五边形ABCDE,则图中五个扇形(阴影部分)的面积Z和是
(第32题)
6厘米,母线长为5厘米,围
30、(贵阳市)一个形如圆锥的冰淇淋纸筒,其底面直径为
成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是
31、(哈尔滨市)如图,圆内接正六边形ABCDEF中,AC、BF交于点M.则SAABM:
SAAFM
32、女口图,RtAABC中,ZC二90。
,ZABC二30。
AB二6.点D在AB边上,点E是BC边上一点(不与点B、C重合),且DA=DE,则AD的取值范围是・
典型基本图型:
图形1:
如图1:
AB是。
0的直径,点E、C是00上的两点,基本结论有:
(1)在“AC平分ZBAE”;
“AD丄CD”;
“DC是。
0的切线”三个论断中,知二推一。
(2)如图2、3,DE等于弓形BCE的高;
DC=AE的弦心距OF(或弓形BCE的半弦EF)。
(3)如图(4):
杵CK丄AB
①CK二CD;
BK二DE;
CK二
丄于K,则:
Z
BE二DC;
AE+AB二2BK二2AD;
②ZlADCsZACB=AC2二AD?
AB
(4)在
(1)中的条件①、②、③中任选两个条件,当BG丄CD
于E时(如图5),则:
4DG2
1DE二GB;
②DC二CG;
③AD+BG二AB;
④AD?
BG二二DC2
图形2:
如图:
RtZABC中,ZACB二90。
。
点0是AC上一点,以0C
AC于点E,基本结论有:
图'
(1)在“B0平分ZCBA”;
“BO〃DE”;
“AB是。
0的切线”;
“BD二BC”。
四个论断
中,知一推三。
(2)①G是/BCD的内心;
②
(3)在图
(1)中的线段
_1
、2
③/BCOs/CDEBO?
DE=CO?
CE=CE2;
aE1
BC、CE、AE、ADF知二求四。
(4)如图(3),若①BC二CE,
则:
②AD二2二mnZADE
®
BC:
AC:
AB二3:
4:
5;
(在①、②、③中知一推二)④设
BE、CD交于点H,,贝IJBH二2EH
图形3:
RtNABC中,ZABC二90°
,以AB为直径作。
0交AC于D,基本结论有:
如右图:
(1)DE切G)0
E是BC的中点;
(2)若DE切00,贝IJ:
①DE=BE=CE;
2D、0、B、E四点共圆=ZCED二2ZA圆中多解问题
DE_CD_BC
3CD・CA二4BE2,RBDBA
图形特殊化:
在
(1)的条件下
DE〃ABU/ABC、Z1CDE是等腰直角三角形;
DE1BE
如阿約延长线迂柏葫廷
©
EF3②
\0J
交AC于点F,
图形4:
如图,ZABC基本结论有:
屮,AB二AC,以
图1
(1)DE丄AC=DE
(2)在DE丄AC或DE切2:
下,有:
①/DFC是等腰三角形;
②EF二EC;
③。
是衬点。
④与基本图形1的结论重合。
BF
⑤连AD,产生母子三角形。
图形5:
:
以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于E,
基本结论有:
(1)如图1:
©
AD+BC=CD;
④AD・BC=42二R2;
②ZCOD二ZAEB二90°
“CD是©
0的切线”
③0D平分ZADC四个论断中,知一推
(或0C
三)
(2)如图2,连AE、C0,则有:
CO〃AE,CO?
AE二2R2(与基本图形2重合)
(3)如图3,若EF丄AB于F,交AC于G,贝归EG二FG.
图形6:
直线PR丄O0的半径0B于E,PQ切O0于Q,BQ交直线PQ于R。
基本结论有:
10
圆中多解问题
(1)PQ二PR3PQR是等腰三角形);
(2)在“PR丄0B”、“PQ切O0”、“PQ二PR”中,知二推一
(3)2PR・RE二BR•RQ二BE•2R二AB2图形7:
如图,
(1)如图1,
(2)如图2,
①BD二CD二1D;
②DI2
若ZBAC二600,贝
/ABC内接于G)0,
ACB;
AC
图
2
图形8:
已知,
于E.
AB是00的直径,C是中点,CD±
B?
Fc基本结论有:
恥;
BE二EF二CE;
GF=2DE
(1)CD二2仮之,由丄„
(2)0E二AF,0E/7AC;
ZODEs/AGF
(3)BE•BG二ED•BA
(4)若D是OB的中点,贝lj:
CEF是等边三角形;
②四、
范例讲解:
例题1:
AABP中,ZABP=90°
以AB为直径作00交AP作AF的垂线,垂足为M,MC的延长线交BP于D.
EF
AT-
求的值。
AB二AD+BC,AB
CD为。
0的切线;
(2)连BF交AP于E,若BE二6,EF二2,例题2:
直角梯形ABCD中,ZBCD二90°
OC、BD交于F.
BE3BF
⑴求证:
CD为00的切线
O■5DK
(2)若,求的值
例题3:
如图,AB为直径,PB为切线,点
(1)
(2)
求证:
PC为00的切线。
过D点作DE丄AB,
—屮点)
BG
C在O0±
E
•B
于图1DoBG交CD、
于C点,弧CF二CB,过C
为直径的圆交
BC于E,连
〃OP。
DG
P
例题4(2009调考):
如图,已知AABC中,以边BC为直径的G)0与边AB交于点D,圆中多解词•题11
BD/|a
点E为的中点,AF为△ABC的角平分线,且AF丄EC。
AC与00相切;
(2)若AC=6,BC=8,求EC的长
五、练习:
1.如图,RtAABC,以AB为直径作。
0交AC于点D,垂足.
DF为。
(2)若DF二3,Q0的半径为5,求tanZBAC的值.
BD=DE,过D作AE的垂线,F为
AD二DC
2•如图,AB为00的直径,C、D为上的两点,交直线AB于点E,F为垂足.
EF为O0的切线;
qinF
(2)若AC二6,BD二5,求的值.
3.如图,AB为00的直径,半径0C丄AB,D为AB线,E为切点,连结CE交AB于点F.
,过D作直线BC的垂线
延长线上一点,过D作O0的切
DE=DF;
(2)连结AE,若OF二1,BF二3,求一的值.
4.如图,RtAABC中,ZC=90°
BD平分ZABC,以作00,00交AB于点一点E,EF丄AC于点F.
0与AC相切;
(2)若EF二3,BC二4,求的值.
AB上一点0为圆心过B、D两点
5.如图,等腰Z\ABC中,AB二AC,以AB为直径作00
交BC于点D,DE丄AC于E.
DE为O0的切线;
4^5cos二
(2)若BC二—二1,求
AEO的值.C
6.如图,BD內O0的直径,
点、,且
圆中多解
的中点,AD交BC
BC
12
延氏线
点E
(2)若AE二2,DE二4,ABDF的面积为'
返,求^n^DF的值
7、如图,AB是00的直径,M是线段0A上一点,过M作AB的垂线交AC于点N,
交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且ZECF=ZE.
(1)
的长.
CF是。
(2)设00的半径为1,且AC二CE
8、如图,AB是。
0的直径,BC丄AB,
过点C作O0的切线CE,
点D是CE延长线上
求线段BC的长.
一点,连结AD,且AD+BC二CD.
AD是。
(2)设0E交AC于F,若0F二3,EF
9、如图,△ABC中,AB二BC,以AB为直径的00交AC于点D,且CD二BD.
BC是00的切线;
BN的延长线于H、F,若DH二2,求EF的长.
10、如图,AB是半上的直径,E是BC的中点,的平行线交0E的延长线于点F.ZADO二ZB.
CF为。
0的00切线;
BD、
0E交弦BC于点
D,过点C作交AD
11、如图,zdABC中,AB=AC,以AC为直径的占
八、、•
DF是。
0与AB相交于点
E,点F是BE的中
E作Uo的切线分别交AC,BD于点C,
N・
A,
B重合的点,过点
交AE,BE于点M
点E为圆上不与A,
D,连结0C,0D分别
已知点M、N分别是AD、CD的中点,BM延长线交。
0于E,EF〃AC,分别交
(1)若AC=4,BD=9,求U0的半径及弦AE的长;
(2)当点E在|JO上运动时,试判定四边形OMEN的形状,并给出证明.
BD
(1)Vac,bd,cd分别切Lo于a,b,e,ac4,b=d=9,CE=AC=4,DE=BD=9.
CD=13.
VAB为Uo的直径,「・ZBAC=ZABD=90°
.
过点C作CF丄BD于F,则四边形ABFC是矩形.
J
化FD=5,CF=V132-52=12・二AB=12,.■-U0的半径为6.连结0E.
+CA~CE,0A=0E,
「・0C垂直平分弦AE.
/0C=462+42=2x/T
AO恆C12J13
「・AM=
0C
13
二AE=2AM
24山3
(2)当点E在
□0上运动时,由
(1)知0C垂直平分AE.同理,0D垂直平分
BE
•AB为直径,
ZAEB=90.二四边形OMEN为矩形•
当动点E满足0E丄AB时,
7oA=0E,・•・ZOEA耳5G
二MO=ME.
「・矩形OMEN为正方形.
如图,ABCD是边长为1的正方形,其中DE、EF、FG的圆心依次
是A、B、C.
9Orx17T
•••DE的长1==—
1802
同理,
EF的长h=
FG
90cx2
=71,
180'
9ftx33
的长b==—兀
所以,点D运动到点G所经过的路线长1=11+b+班•
(2)直线GB丄DF.
理由如下:
延长GB交DF于H.
TCD二CB,ZDCF二ZBCG,CF二CG,/.AFDC^AGBC・
・・・ZF二ZG.
O
又・.・ZF+ZFDC二90,
即ZGHD二90°
故GB丄DF.
如图,在直角梯形ABCD中,AD〃BC,ZB=90°
AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,AB为O0的直径.动点P从A点开始沿
AD边向点D以lcm的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点
B以3cm的速度运动,P、Q两点同时岀发,当其中一点到
达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t(s),求:
(1)t分别为何值时,四边形PQCD为等腰梯形?
(2)t分别为何值时,直线PQ与相切。
BOEFC
解答:
图1
在直角梯形ABCD中,AD||BC,ZB=90°
AB=8cm,AD=24cm,
BC=26cm,AB为圆0直径,动点P从点A开始沿AD向点D以
lcmk的速度移动,动点Q从点C开始沿CB向B点以3cm的速度,
如果P,Q分别从A,C同时出发,设移动时间为t(s).
问:
t为何值时,直线PQ与00相交、相切、相离?
t为何值时PQCD为直角梯形为平行四边形