届高三数学文一轮阶段检测1《《集合与常用逻辑用语基本初等函数导数》人教A版Word文件下载.docx
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C．{m|m≥2}D．{－1}
P＝{x|x≥2或x≤－1}，又x∈P时，y＝
x2－1∈[－
，＋∞），故Q＝{y|y≥－
}，故P∩Q＝{m|m≥2}．
C
5．（2013·
山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2＋
，则f（－1）＝（ ）
A．2B．1
C．0D．－2
因f（x）为奇函数，故f（－1）＝－f
（1）＝－（1＋1）＝－2.
D
6．（2014·
广州综合测试）设全集I是实数集R，M＝{x|x2＞4}与N＝{x|
≥1}都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{x|x＜2}B．{x|－2≤x＜1}
C．{x|1＜x≤2}D．{x|－2≤x≤2}
M＝{x|x＞2或x＜－2}，N＝{x|
≥0}＝{x|1＜x≤3}，阴影部分所表示的集合为（∁RM）∩N＝{x|－2≤x≤2}∩{x|1＜x≤3}＝{x|1＜x≤2}．
7.（2013·
安徽）“（2x－1）x＝0”是“x＝0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
由（2x－1）x＝0可得x＝
或0，因为“x＝
或0”是“x＝0”的必要不充分条件，故答案选B.
8．（2014·
北京东城期末）有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则AB”的逆否命题．
其中真命题为（ ）
A．①②B．②③
C．④D．①②③
①中逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，为真命题．
②中否命题为“若两三角形面积不相等，则两三角形不全等”，为真命题．
③中x2－2x＋m＝0有实数解⇔Δ＝4－4m≥0⇔m≤1，
故原命题正确，其逆否命题为真命题．
④若A∩B＝B，则B⊆A，为假命题，故其逆否命题为假命题．
9．（2014·
辽宁大连期末）已知命题p：
∃x∈R，使sinx－cosx＝
，命题q：
集合{x|x2－2x＋1＝0，x∈R}有2个子集，下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧（綈q）”是假命题；
③命题“（綈p）∨（綈q）”是真命题，正确的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
sinx－cosx＝
sin（x－
）∈[－
，
]，而
∉[－
]，故命题p是假命题；
集合{x|x2－2x＋1＝0，x∈R}＝{1}，故其子集有Ø
与{1}两个，故命题q是真命题，所以命题“p∧q”是假命题，命题“p∧（綈q）”是假命题，命题“（綈p）∨（綈q）”是真命题，②③正确．
10．（2014·
浙江嘉兴第二次测试）已知函数f（x＋1）是偶函数，当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]·
（x2－x1）＞0恒成立，设a＝f（－
），b＝f
（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜a＜cB．c＜b＜a
C．b＜c＜aD．a＜b＜c
本题主要考查抽象函数的性质．由函数f（x＋1）为偶函数知f（x）的对称轴为x＝1.
当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]·
（x2－x1）＞0得到f（x）在（1，＋∞）上是递增的，
所以f（－
）＝f（
），所以f
（2）＜f（
）＜f（3）．即b＜a＜c.
11．（2014·
江苏苏北四市第一次调研）若函数y＝f（x）在R上可导且满足不等式xf′（x）＋f（x）＞0恒成立，且常数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A．af（a）＞bf（b）B．af（b）＞bf（a）
C．af（a）＜bf（b）D．af（b）＜bf（a）
由题意设F（x）＝xf（x），则F′（x）＝xf′（x）＋f（x），则F′（x）＞0，∴F（x）为单调增函数，
又a＞b，∴F（a）＞F（b）．
∴af（a）＞bf（b）．
12．（2014·
海口调研）定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝－f（x＋4），当x≥2时，f（x）单调递增，如果x1＋x2＞4，且（x1－2）（x2－2）＜0，则f（x1）＋f（x2）的值为（ ）
A．恒小于0B．恒大于0
C．可能为0D．可正可负
可以由f（x）＝－f（4－x）得函数图象关于点（2,0）成中心对称直观解答；
也可直接推理，由（x1－2）（x2－2）＜0不妨设x1＞2，x2＜2，由条件得f（x2）＝－f（4－x2），故f（x1）＋f（x2）＝f（x1）－f（4－x2），由x2＜2且x1＋x2＞4⇒x1＞4－x2＞2，由于函数在[2，＋∞）上为增函数，可得f（x1）＞f（4－x2），故选B.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2014·
苏、锡、常、镇四市第二次情况调查）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝lgx，则满足f（x）＞0的x的取值范围是________．
根据题意，画出y＝f（x）的草图如图所示，则f（x）＞0的x的取值范围是（－1,0）∪（1，＋∞）．
（－1,0）∪（1，＋∞）
14．（2014·
东北三校联考）曲线y＝xex＋2x＋1在点（0,1）处的切线方程为________．
∵f′（x）＝ex＋xex＋2，∴f′（0）＝3，
∴函数f（x）在点（0,1）处的切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1.
y＝3x＋1
15．（2014·
沈阳第二次质量监测）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x＋3）＋f（x）＝2，又当x∈[－3,0]时，f（x）＝
，则f（5）＝________.
由f（x＋3）＝2－f（x）得，
f（x＋6）＝f（x＋3＋3）＝2－f（x＋3）＝2－（2－f（x））＝f（x），
∴函数f（x）的周期为6，
∴f（5）＝f（5－6）＝f（－1）＝
＝
.
16．（2014·
辽宁重点中学协作体一模）已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x＋6）＝f（x）＋f（3）成立，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有
＞0，给出下列命题：
①f（3）＝0；
②直线x＝－6是函数y＝f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y＝f（x）在[－9，－6]上为增函数；
④函数y＝f（x）在[－9,9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为________．（把所有正确命题的序号都填上）
由已知f（x＋6）＝f（x）＋f（3），令x＝－3得f（3）＝f（－3）＋f（3），则f（－3）＝0，又函数为偶函数，故f（－3）＝f（3）＝0，故①正确．据此可得f（x＋6）＝f（x），即函数以6为周期，由条件还可知函数在[0,3]上递增，据此可作出满足题意的函数图象如图：
观察图象可知函数在[－9，－6]上递减，即③错，②④均正确，故应填①②④.
①②④
三、解答题（本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2014·
安徽皖南八校第二次联考）（本小题满分12分）
已知集合A＝{x|2＜x＜3}，集合B＝{x|kx2＋2x＋6k＞0}．
（1）若A＝B，求实数k的值；
（2）若B∩R＝R，求实数k的取值范围．
解：
（1）∵B＝A＝{x|2＜x＜3}，
∴kx2＋2x＋6k＝0有两个实数根2,3，且k＜0，
∴
∴k＝－
（2）∵B∩R＝R，∴B＝R，
解得k＞
∴k的取值范围是{k|k＞
}．
18．（2014·
北京西城抽样测试）（本小题满分12分）
设命题p：
函数f（x）＝lg（ax2－x＋
a）的定义域为R；
命题q：
不等式
＜1＋ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．
命题p为真命题⇔函数f（x）＝lg（ax2－x＋
a）的定义域为R⇔ax2－x＋
a＞0对任意实数x均成立．
当a＝0时，－x＞0，解集不为R，故a≠0，
所以
⇔a＞2.故命题p为真命题⇔a＞2.
命题q为真命题⇔
－1＜ax对一切正实数x均成立⇔a＞
对一切正实数x均成立，
由于x＞0，所以
＞1，所以
＋1＞2，
所以0<
＜1，所以命题q为真命题⇔a≥1.
根据题意知，命题p与q有且只有一个是真命题，当命题p为真命题且命题q为假命题时，a不存在；
当命题p为假命题且命题q为真命题时，a的取值范围是[1,2]．
综上，命题p或q为真命题，命题p且q为假命题时，实数a的取值范围是[1,2]．
19．（2014·
广东六校联考）（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b为实数），x∈R；
F（x）＝
（1）若f（－1）＝0，且函数f（x）的值域为[0，＋∞），求F（x）的表达式；
（2）在
（1）的条件下，当x∈[－2,2]时，g（x）＝f（x）－kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m＋n＞0，a＞0，且f（x）为偶函数，判断F（m）＋F（n）能否大于零？
（1）∵f（－1）＝0，∴a－b＋1＝0，
又x∈R，f（x）≥0恒成立，
∴b2－4（b－1）＝0，解得b＝2，a＝1，
∴f（x）＝x2＋2x＋1＝（x＋1）2，
（2）g（x）＝f（x）－kx＝x2＋2x＋1－kx
＝x2＋（2－k）x＋1＝（x＋
）2＋1－
当
≥2或
≤－2，即k≥6或k≤－2时，g（x）是单调函数，
∴k的取值范围是（－∞，－2]∪[6，＋∞）．
（3）∵f（x）是偶函数，∴f（x）＝ax2＋1，
∵mn＜0，m＋n＞0，设m＞n，则n＜0，
∴m＞－n＞0.∴|m|＞|n|，
于是有F（m）＋F（n）＝f（m）＋f（n）＝（am2＋1）－an2－1＝a（m2－n2）＞0，
∴F（m）＋F（n）能大于零．
20．（2014·
山东青岛质检）（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝alnx－ax－3（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）函数y＝f（x）的图象在x＝4处的切线的斜率为
，若函数g（x）＝
x3＋x2[f′（x）＋
]在区间（1,3）上不是单调函数，求m的取值范围．
（1）f′（x）＝
（x＞0），
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0,1]，单调减区间为（1，＋∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（1，＋∞），单调减区间为（0,1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数．
（2）由f′（4）＝－
得a＝－2，则f（x）＝－2lnx＋2x－3，∴g（x）＝
x3＋（
＋2）x2－2x，
∴g′（x）＝x2＋（m＋4）x－2.
∵g（x）在区间（1,3）上不是单调函数，且g′（0）＝－2，
∴m∈（－
，－3）．
21．（2014·
天津十二区县重点中学第一次联考）（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝x2－alnx在区间（1,2]内是增函数，g（x）＝x－a
在区间（0,1）内是减函数．
（1）求f（x）、g（x）的表达式；
（2）求证：
当x＞0时，方程f（x）－g（x）＝x2－2x＋3有唯一解；
（3）当b＞－1时，若f（x）≥2bx－
在x∈（0,1]内恒成立，求b的取值范围．
（1）f′（x）＝2x－
，（x>
0）依题意f′（x）≥0，x∈（1,2]，即a≤2x2，x∈（1,2]．
∵上式恒成立，∴a≤2.①
又g′（x）＝1－
0）依题意g′（x）≤0，x∈（0,1），
即a≥2
，x∈（0,1）．
∵上式恒成立，∴a≥2.②
由①②得a＝2，∴f（x）＝x2－2lnx，g（x）＝x－2
（2）由
（1）可知，方程f（x）－g（x）＝x2－2x＋3，
即x＋2
－2lnx－3＝0.
设h（x）＝x＋2
－2lnx－3，则h′（x）＝1＋
－
令h′（x）＞0，并由x＞0，得x＋
－2＞0，解得x＞1；
令h′（x）＜0，并由x＞0，解得0＜x＜1.
列表分析：
x
（0,1）
1
（1，＋∞）
h′（x）
＋
h（x）
递减
极小值0
递增
知h（x）在x＝1处取得最小值0，
当x＞0且x≠1时，h（x）＞0，
∴h（x）＝0在（0，＋∞）上只有一个解，
即当x＞0时，方程f（x）－g（x）＝x2－2x＋3有唯一解．
（3）由题意知f（x）≥2bx－
，即x2－2lnx－2bx＋
≥0，
设φ（x）＝x2－2lnx－2bx＋
则φ′（x）＝2[（x－
）－（b＋
）]．
∵x∈（0,1]，b＞－1，∴φ′（x）＜0，
∴φ（x）在（0,1]上为减函数，
∴φ（x）min＝φ
（1）＝2－2b≥0.
又b＞－1，∴－1＜b≤1，∴b的取值范围为（－1,1]．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．（2014·
乌鲁木齐地区高三第一次测验）（本小题满分10分）
已知函数f（x）＝
x3－x2＋ax－a（a∈R）．
（1）当a＝－3时，求函数f（x）的极值；
当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．
（1）当a＝－3时，f′（x）＝x2－2x－3，令f′（x）＝0得x1＝－1，x2＝3.分区间讨论函数的单调性知f（x）的极大值为
，极小值为－6.
（2）求导得f′（x）＝x2－2x＋a，由a≥1，得Δ＝4－4a≤0，易知原命题成立．
23．（2014·
安徽江南十校素质测试）（本小题满分10分）
已知函数f（x）的图象与函数h（x）＝x＋
＋2的图象关于点A（0,1）对称．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）＝f（x）＋
，且g（x）在区间（0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
（1）任取f（x）上一点B（x，y），其关于A（0,1）对称的点为B′（－x,2－y），又点B′在函数h（x）上，代入可得f（x）＝x＋
（2）代入求导得g′（x）＝
，由1＋a＞0或1＋a≤0分类讨论易得a的取值范围为[3，＋∞）．
24．（2014·
长沙模考
（一））（本小题满分10分）
已知向量a＝（x2，x＋1），b＝（1－x，t），若函数f（x）＝a·
b在区间（－1,1）上是增函数，求t的取值范围．
利用向量乘法得f（x）＝－x3＋x2＋tx＋t，求导令f′（x）≥0⇔t≥3x2－2x在（－1,1）上恒成立，易得t的取值范围为[5，＋∞）．
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