二次函数中的等腰三角形问题doc文档格式.docx
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1.一般地,如果y=ax2+bx+c(arbzc是常数且a^O),那么y叫做x的二次函数,它是关于自变量的二次式,二次项系数必须是非零实数时才是二次函数,这也是判断函数是不是二次函数的重要依据.当b=c=O时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,aHO)的三种表达形式分别为:
一般式:
y二ax?
+bx+c,通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式;
顶点式:
y=a(x-h)
2+k,通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式;
交点式:
y=a(x-xi)(x-x2)r通常要知道图像与x轴的两个交点坐标xiM才能求出此解析式;
对于y二ax4bx+c而言,b4gc—b,—
其顶点坐标为(■亍,一)・对于y=a(x-h)2+k而言其顶点坐标为(h,k),
2a4a
由于二次函数的图像为抛物线,因此关键要抓住抛物线的三要素:
开口方向,对称轴,顶点.
考点2等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成"
等边对等角"
)。
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成〃等腰三角形的三线合)。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
&
等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
7.等腰三角形是轴对称图形,(不是等边三角形的情况下)只有一条对称轴”顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形的腰与它的高的关系
直接的关系是:
腰大于高。
间接的关系是:
腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
考点3相似三角形的性质
1.相似三角形对应角相等,对应边成正比例。
2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、夕卜接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
3相似三角形周长的比等于相似比。
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同,内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
6若a/b=b/c,即b2=ac,b叫做a,c的比例中项
7.c/d=a/b等同于ad=bc.
8.不必是在同一平面内的三角形里
(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例.
(2)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
(3)相似三角形周长的比等于相似比
三.例题精析
【例题1]
如图,抛物线y二・tx2+y-x・4与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点M。
P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)。
分别过点A、B作直线CP的垂线,垂足分别为D、E,连接MD、ME。
(1)求点A、B的坐标(直接写出结果),并证明^MDE是等腰三角形;
(2)aMDE能否为等腰直角三角形?
若能,求此时点P的坐标,若不能,说明理由;
(3)若将"
P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)"
改为"
P是抛物线在x轴下方的一个动点"
,其他条件不变,DE能否为等腰直角三角形?
若能,求此时点P的坐标(直接写出结果),若不能,说明理由。
【答案】
(1)抛物线解析式为y=・卫x2+聖x・4,令y二0,
55
即-Jx2+^x・4二0,解得x=l或x=5,...A(1,O),B(5,O).
/AD丄PC,BE丄PC,/.ADIIBE,/.zMAF=zMBE;
在“AMF与aBME中,zMAF=zMBE,MA=MBzzAMF=zBME;
/.^AMF^BME(ASA),
••ME二MF,即点M为RfEDF斜边EF的中点,
.*.MD=ME,即aMDE是等腰三角形
(2)能;
抛物线解析式为y=-上X?
+型X・4二•上(x・3)2+兰,
5555
••対称轴是直线x=3,M(3ZO);
令x=0,得y=・4,.・.C(0,-4)
△MDE为等腰直角三角形,有3种可能的情形;
1若DE丄EM,
由DE丄BE,可知点E、M、B在一条直线上,
而点B、M在x轴上,因此点E必然在x轴上,
由DE丄BE,可知点E只能与点0重合,即直线PC与y轴重合,
不符合题意,故此种情况不存在;
2若DE丄DM,与①同理可知,此种情况不存在;
设直线PC与对称轴交于点N,
tEM丄DM,MN丄AM#/.zEMN=zDMA
在aADM与公NEM中,zEMN=zDMA,EM=DM,zADM=zNEM=135°
;
.•.△ADM妥aNEM(ASA),「.MN二MA
抛物线解析式为y=・按+单X・4二譚(x・3)2+芈,故对称轴是直线x=3,
/.M(3,0),MN=MA=2#
••N(3,2)
设直线PC解析式为y二kx+b八•点N(3,2),C(0,・4)在抛物线上,
严:
2,解得k=2,b=-4,.*.y=2x-4
b=-4将y=2x・4代入抛物线解析式得2x-4=-次+单x・4
解得x=0或,
2
当x=0时,交点为点C;
当x二丄时,y=2x-4=3
.叫,3)
综上所述,^MDE能成为等腰直角三角形,此时点P坐标为(g,3)
乙
(3)能;
如答题3所示”设对称轴与直线PC交于点N;
与
(2)同理,可知若WDE为等腰直角三角形,直角顶点只能是点M;
•/MD丄ME,MA丄MNr/.zDMN=zEMB
在eMN与"
MB中,zDMN=zEMB,MD=MB,zMDN=zMEB=45°
••.△DMN呂aEMB(ASA),
「.MN二MB;
「•N(3,・2)
设直线PC解析式为y二kx+b「点N(3,・2),C(0,・4)在抛物线上,
3k+b二-2oo
二,解得1<諾小二・4,."
二禺・4
2-433
将y=_2x・4代入抛物线解析式承x-4=-上x2+型x-4,
3355
解得x=0或x二卑,
6
当x二里时zy=^x-4=-总
639
.p(31_5\
综上所述,AMDE能成为等腰直角三角形,此时点P坐标为(牟,-2)
69
【解析】
(1)在抛物线解析式中,令y二0,解一元二次方程,可求得点A、点B的坐标;
如答图1所示,作辅助线,构造全等三角形AAMF^BME,得到点M为为RfEDF斜边EF的中点,从而得到MD=MEZ问题得证;
(2)首先分析,若aMDE为等腰直角三角形,直角顶点只能是点M;
如答图2所示,设直线PC与对称轴交于点N,首先证明aADM^NEM,得到MN=AM,从而求得点N坐标为(3,2);
其次利用点N、点C坐标,求出直线PC的解析式;
最后联立直线PC与抛物线的解析式,求出点P的坐标;
(3)当点P是抛物线在x轴下方的一个动点时,解题思路与
(2)完全相同;
【例题2]
如图,已知抛物线y=a^+bx+c与x轴一个交点A的坐标为(-1,0),对称轴为直线%=
・2.
(1)求抛物线与x轴的另一个交点3的坐标;
(2)点Q是抛物线与p轴的交点,点U是抛物线上的另一点.已知以力3为一底边的梯形
/3G的面积为9.求此抛物线的解析式,并指出顶点F的坐标;
(3)点P是
(2)中抛物线对称轴上一动点,且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E
向上运动.设点P运动的时间为f秒・
1当r为—秒时,'
PAD的周长最小?
当r为或秒时,'
PAD是以ZQ为腰
的等腰三角形?
(结果保留根号)
2点P在运动过程中,是否存在一点P.使△乡I。
是以力Q为斜边的直角三角形?
若存在,求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)由抛物线的轴对称性及A(・1,0),可得B(-3,0).
(2)设抛物线的对称轴交CD于点M,交AB于点N,由题意可知ABIICD,由抛物线的轴对称性可得CD二2DM.*/MNlly轴,ABllCD,
•••四边形ODMN是矩形.
.•.DM二ON二2r••.CD二2x2二4.
•・A(・1,O),B(30),••・AB二2#
•.梯形ABCD的面积二丄(AB+CD)・OD二9,
/.y=X2+4x+3•
△PAD是以
将y二X2+4X+3化为顶点式为y=(x+2)2-l/得E(・2,-1).
(3)①当t为2秒时,aRAD的周长最小;
当t为4或4•旋或4+侗少时,
AD为腰的等腰三角形・vzAPD=90°
zPMD=zPNA=90°
/.zPDM+zAPN=90°
zDPM+zPDM二90。
r/.zPDM=zAPN,vzPMD=zANP,
•••△APN-aPDM,
.AN=PN
・1_PN
.\PN2・3PN+2二0,
••.PN=1或PN=2.
.・.P(・2,1)或(-2Z2).
故答案为:
2;
4或4・低或4+旋.
(1)根据抛物线的轴对称性可得抛物线与X轴的另一个交点B的坐标;
(2)先根据梯形ABCD的面积为9,可求c的值,再运用待定系数法可求抛物线的解析式,转化为顶点式可求顶点E的坐标;
(3)①根据轴对称•最短路线问题的求法可得△PAD的周长最小时t的值;
根据等腰三角形的性质可分三种情况求得△PAD是以AD为腰的等腰三角形时t的值;
②先证明,根据相似三角形的性质求得PN的值,从而得到点P的坐标.
四.课堂运用
【基础】
如图,二次函数y=ax^+bx+c的图象的顶点U的坐标为(0,-2),交x轴于4B两点,
其中4(・1,0),直线/:
小/77(力>1)与x轴交于Do
(1)求二次函数的解析式和夕的坐标;
(2)在直线/上找点P(P在第一象限),使得以只D、3为顶点的三角形与以5CO为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含力的代数式表示);
(3)在
(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使△弘Q是以P为直角顶点的等腰直角三角形?
如果存在,请求出点Q的坐标;
如果不存在,请说明理由。
力点的坐标为力(・2,0).
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程;
(2)求点U的坐标,连接/4C3U并求线段所在直线的解析式;
(3)试判断△/OU与△UO3是否相似?
并说明理由;
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q.使为等腰三角形?
若不存在,求出符合条
件的Q点坐标;
若不存在,请说明理由•
【拔高】
如图,已知抛物线经过A(1,0),8(0,3)两点,对称轴是x二・1.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)动点Q从点0岀发,以每秒1个单位长度的速度在线段0A上运动,同时动点M从M从0点岀发以每秒3个单位长度的速度在线段0B上运动,过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒.
①当t为何值时,四边形OMPQ为矩形;
②aAON能否为等腰三角形?
若能,求出t的值;
若不能,请说明理由.
课程小结
本节课主要硏究了二次函数和等腰三角形的点存在性问题,考查了学生是否能够灵活运用二
次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、相似三角形的性质、等腰
三角形的性质等知识点解决实际问题,注重数形结合思想及分类思想的运用。
课后作业
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a^bx-2与x轴交于点0)、3(4,0).点
M、/V在x轴上,点/V在点〃右侧,MN=2・以M/V为直角边向上作等腰直角三角
形CMN,乙CMN=90。
・设点M的横坐标为m.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式.
(2)求点U在这条抛物线上时m的值.
(3)将线段GV绕点/V逆时针旋转90。
后z得到对应线段DN.
1当点Q在这条抛物线的对称轴上时,求点Q的坐标.
2以QA/为直角边作等腰直角三角形DNE,当点F在这条抛物线的对称轴上时,
直接写出所有符合条件的加值.
【参考公式:
抛物线尸屁+bx+c(丟0)的顶点坐标为(丄严"
)】2a4。
【巩固】
如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于
另一点C(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使MBQ是等腰三角形?
若存在,求出符合条
【拔高】已知抛物线与x轴只有一个交点,且与y轴交于A点
如图,设它的顶点为B⑴求力的值;
(2)过Z作x轴的平行线,交抛物线于点U,求证是是等腰直角三角形;
⑶将此抛物线向下平移4个单位后,得到抛物线「且与x轴的左半轴交于F点,与y轴交于F点,如图.请在抛物线U上求点P,使得是以FF为直角边的直角三角形.