离散数学期末复习题答案Word文件下载.docx
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,<
2,3>
3,2>
},<
3,3>
}
例5.2{<
1,1>
1,2>
1,3>
2,1>
2,2>
3,1>
,<
例5.3{<
}
例6.1
R=,
S={<
0,0>
0,1>
0,2>
0,3>
1,0>
1,2>
2,0>
3,0>
}
RS=,
R-1=,
S-1=S,
r(R)=IA.
例6.2{<
<
例7.1B
解析:
先要把R写出来,为{<
2,8>
3,7>
4,6>
5,5>
6,4>
7,3>
8,2>
例7.2B
如A中元素有{a,b,c},则R1和R2中肯定包含{<
a,a>
b,b>
c,c>
},所以R1∪R2,R1∩R2中也包含{<
},所以是自反的。
例7.3{<
2,2>
自反闭包R1是这样一个集合,RR1,而且R1具有自反性,且R1比R多的元素就是成为自反性的最小元素,不能多加其他元素。
对称闭包和传递闭包也是如此。
例7.4C
先写出R={<
3,3>
4,4>
},它是自反、对称和传递的
注意,判断对称只要是找不到一个反例,即<
a,b>
R,但{b,a}不属于R
例7.5
正确.
R1和R2是自反的,xA,<
x,x>
R1,<
R2,则<
R1R2,
所以R1R2是自反的.
xA,<
所以R1∪R2是自反的.
例7.6.
设x,yA,因为R对称,所以若<
x,y>
R,则<
y,x>
R.
因为S对称,所以若<
S,则<
S.
于是若<
R∩S则<
R且<
S
即<
也即<
R∩S,故R∩S是对称的.
例7.7
证明:
设xA,yB,则<
x,y>
AB,
因为AB=AC,故<
AC,则有yC,
所以BC.
设xA,zC,则<
x,z>
AC,
AB,则有zB,所以CB.
故得A=B.
例7.8<
例7.9<
例8.1B.
先可以画出哈斯图,然后再来分析
例8.2B
其实这一题和上面一题是一样的
例8.3判断下列各题正误,并说明理由:
1)
错误.集合A的最大元不存在,a是极大元.
(a,g是极大元,e,f,h是极小元)
2)
对于集合A的任意元素x,均有<
x,a>
R(或xRa),所以a是集合A中的最大元.
按照最小元的定义,在集合A中不存在最小元.
(e,f,h是极小元)
例9.1B
这一题是考函数概念中的第二点
例9.28
这一题是考函数概念中的第一点,即关系f的定义域是A。
因为A中元素个数大于B,所以最后的函数中肯定有三个有序对,而且左元素分别是a,b,c,右元素从1和2中挑选。
对于每个有序对来说,右元素有2种选择,所以共有2*2*2=8种选择,也可以列举出来看。
例9.3{<
1,a>
2,b>
}或{<
1,b>
2,a>
} .
例9.4
答:
正确.设x1,x2为自然数且x1x2,则有f(x1)=x1+6x2+6=f(x2),故f为单射.
例9.5
错误.
因为A中元素1有B中两个不同的元素与之对应,故f不是A到B的函数.
二、图论知识点及例题整理
例1.1C
例1.22|E|(或“边数的两倍”).
例1.3
证:
可以用反证法,假设在一个连通图中奇数度结点为奇数个,那么奇数度结点的总度数为奇数,偶数度结点的总度数为偶数个,所以总度数为奇数个。
而根据握手定理,总度数为边数的2倍,所以总度数为偶数,推出矛盾,所以假设错误,证明完毕。
例2.1D
无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵,矩阵的行数和列数是相同的,就是点数,其中为1的数目为总度数,也就是边数的2倍。
例2.2P101例3一定要掌握。
例3.1D
a是单侧连通的,b是弱连通的,c也是弱连通的
例4.1D
例4.2A
选择项B和C中都包含割点e,所以不符合点割集中的第2点。
例4.3C
这里边割集还有{(a,b),(a,c)}
例5.1
因为n是奇数,所以n阶完全图每个顶点度数为偶数,
因此,若G中顶点v的度数为奇数,则在
中v的度数一定也是奇数,
所以G与
中的奇数度顶点个数相等.
例6.1
(1)
错误.因为图G为中包含度数为奇数的结点.
上图中有两个奇数度结点,欧拉回路不存在,但欧拉通路是存在的,从b出发,经dcbac。
(2)
正确.因为图G为连通的,且其中每个顶点的度数为偶数.
(3)
正确
因为图中结点a,b,d,f的度数都为奇数,所以不是欧拉图。
如果我们沿着(a,d,g,f,e,b,c,a),这样除起点和终点是a外,我们经过每个点一次仅一次,所以存在一条汉密尔顿回路,是汉密尔顿图
例6.2C
因为是完全图,所以每个点到其他n-1个点都有一条边,也就是度数为n-1;
如果要存在欧拉回路,必须所有结点度数为偶数,所以n-1一定要偶数,所以n为奇数。
例6.3所有结点的度数全为偶数.
例6.4
由定理3.1.2,任何图中度数为奇数的结点必是偶数,可知k是偶数.
又根据定理4.1.1的推论,图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点.因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边,使图G的所有结点的度数变为偶数,成为欧拉图.
故最少要加
条边到图G才能使其成为欧拉图.
例7.1W|S|
例7.2D
其实欧拉图、汉密尔顿图、平面图都是连通图。
例8.1v-e+r=2
例8.23
这题还是考欧拉公式v-e+r=2
例8.3
正确。
因为G是一个连通平面图,满足欧拉定理,有v-e+r=2,
所以r=2-(v-e)=2-(5-9)=6
不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图,若v≥3,则e≤3v-6.”
例9.1、e=v-1
例9.2、4.
例9.3、A
例9.4、3
这种题目最常考,根据树的定义,有6个结点,只需6-1=5条边即可,现有8条边,所以要删去8-5=3条边。
例9.5、4
这一题告诉的是总度数,根据握手定理,总度数=边数2倍,所以边数为18/2=9;
一共是6个结点,要成为树,只需6-1=5条边即可,所以要删去9-5=4条边。
例9.6、5
这一题考树的定义、握手定理等。
✧根据树的定义,8个结点,边数是8-1=7;
✧根据握手定理,总度数=边数*2=7*2=14;
✧设树叶数为X,且树叶就是度数为1的结点,总度数也是各个结点的度数之和,为4+3+2+X=14,解出X=5。
例9.7、t-1
例10.1
(3)构造连通无圈的图,即最小生成树,用克鲁斯克尔算法:
第1步:
取ac边=1;
第2步:
取ce边=1;
第3步:
取ab边=2;
第4步:
取bd边=3;
得到的最小生成树为粗线所示,权为1+1+2+3=7。
例10.2
(1)最小生成树为
(2)该生成树的权值为(1+2+3+5+7)=18
例11.1
最优二叉树如下所示
权为13+23+22+32+42=27
例11.2
最优二叉树为:
例11.3
权为23+33+32+42+52=39
例12.1
(1)G的图形表示为:
(2)邻接矩阵:
(3)v1,v2,v3,v4,v5结点的度数依次为1,2,4,3,2
(4)补图如下:
三.数理逻辑知识点及例题整理
例1.1、答案:
设P:
他是学生,则命题公式为:
P
例1.2、答案:
设P:
今天有人来,则命题公式为:
P
例1.3、答案:
今天下雨,则命题符号化为P
例1.4、答案:
他去学校,则命题符号化为P
例1.5、答案:
他接受了这个任务,Q:
他完成好了这个任务,
则命题符号化为PQ.
这两句话是并列的,从逻辑上说没有互相推出的关系。
例1.6、答案:
小王去旅游,Q:
小李去旅游,则命题符号化为PQ
例1.7.答案:
小张学习努力,Q:
小王取得好成绩,则命题符号化为PQ.
例1.8、答案:
他去旅游,Q:
他有时间,则命题符号化为PQ
只要他去旅游了,就说明他肯定有时间
例1.9、答案:
明天下雨,Q:
我们就去郊游,则命题公式为:
PQ
注意和上面仅当的不同
例1.10、答案:
你去,Q:
他去,则命题公式为:
PQ
例1.11、
答案:
所有人今天都去参加活动,Q:
明天的会议取消,则命题公式为:
PQ
例1.12、
小李学习努力,Q:
小李会取得好成绩,则命题公式符号化为PQ
例2.1、
设P(x):
x是人,Q(x):
x去工作,
则谓词公式为 (x)(P(x)Q(x)).
例2.2、
x学习努力,
例2.3、
x去上课,
则谓词公式为(x)(P(x)Q(x))
例2.4、C
也可写成(x)(A(x)┐B(x)),意思是存在一个人不是学生
因为┐(x)(A(x)→B(x))=┐(x)(┐A(x)B(x))=(x)(┐(┐A(x)B(x)))=(x)(A(x)┐B(x))
例2.5、A
例3.1、 A(a)∧A(b)∧A(c)
表示所有的,所以每个针对每个实例的谓词都是真
例3.2、A
(1)A
(2)
例3.3、A
(1)A
(2)
表示存在一个或多个,所以每个针对每个实例的谓词的关系是或
例3.4、(A(a)∧A(b))∧(B(a)∨B(b)).
这里是1和2题的复合
例3.5、假
x可取1,2,3,x小于2显然对3是不成立的,所以为假。
例4.1
(1)
(2)应为F(y)→G(x),F(x)中的x为约束变元,G(x)中的x为自由变元,换名时,约束变元与自由变元不能混淆.
(1)(x)(P(x)∧R(x))P 解析:
这是前提,故标为P
(2)P(a)∧R(a)ES
(1)解析:
书P204的ES规则,且由
(1)推出
(3)P(a)T
(2)I解析:
书P170的蕴含式,故最后用I
(4)(x)P(x)EG(3)解析:
书P204的EG规则,且由(3)推出
(5)R(a)T
(2)I 解析:
(6)(x)R(x)EG(5)解析:
书P204的EG规则,且由(5)推出
(7)(x)P(x)∧(x)R(x)T(4)(6)I解析:
合取引入
分步给分,如是用书P170的蕴含式,最后有个I,如用P167的等价式,最后有个E。
例5.11
P(QP)=P(QP)=PPQ=1Q=1
例5.2.0
例5.3.C
例5.4B
A中应是(PQ)(PQ),C中Q(PQ)Q(PQ)QQP1
D中P(PQ)(PP)(PQ)1(PQ)PQ
例6.1.C
也就是真值为1的,可以用真值表,但答题效率不高。
所以还是用书P167的等价式
C:
左边:
(P(QP))P(QP)1Q1
右边:
(P(PQ))P(PQ)1Q1
例6.2.B
例6.3.
┐P∧(P→┐Q)∨P┐P∧(┐P∨Q)∨P(┐P∧┐P)∨(┐P∧Q)∨P
┐P∨(┐P∧Q)∨P┐P∨P∨(┐P∧Q)1∨(┐P∧Q)1
例7.1.D
例7.2.D
例7.3.
(P∨Q)→(R∨Q)
(P∨Q)∨(R∨Q)
(P∧Q)∨(R∨Q)
(P∨R∨Q)∧(Q∨R∨Q)
(P∨R∨Q)∧R合取范式
例7.4.
(P∨Q)→(R∨Q)┐(P∨Q)∨(R∨Q)
(┐P∧┐Q)∨(R∨Q)
(┐P∧┐Q)∨R∨Q(析取范式)
例7.5.
(P∨Q)→R(P∨Q)∨R
(P∧Q)∨R(析取范式)
(P∨R)∧(Q∨R)(合取范式)
例7.6.
(P∨Q)→R┐(P∨Q)∨R(┐P∧┐Q)∨R (析取范式)
(┐P∨R)∧(┐Q∨R) (合取范式)
((┐P∨R)∨(Q∧┐Q))∧((┐Q∨R)∨(P∧┐P))(添齐命题变元)
(┐P∨R∨Q)∧(┐P∨R∨┐Q)∧(┐Q∨R∨P)
∧(┐Q∨R∨┐P)(∧对∨分配)
(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨┐Q∨R)∧(P∨┐Q∨R)
(主合取范式)
在求主合取范式时分别∨一个(Q∧┐Q)和(P∧┐P),如果是主析取范式则∧(Q∨┐Q)和(P∨┐P)
例7.7.
PQRPQR(析取范式、合取范式、主合取范式)
(P(QQ)(RR))((PP)Q(RR))((PP)(QQ)R)
(补齐命题变项)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(对的分配律)
(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式)
或真值表法:
求主析取范式和主合取范式
P
Q
R
QR
PQR
1
真值为1的指派所对应的小项的析取为为主析取范式:
(小项的析取)(小项中的每个变元的真值都必须是1)
主析取范式:
(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)
真值为0的指派所对应的大项的合取为主合取范式:
(大项的合取)(大项中每个变元的真值都必须为0)
主合取范式:
PQRPQR
例8.1.R(x,y)中的y.
例8.2.z,y.
例8.3.
(1)x量词的辖域为
,
z量词的辖域为
y量词的辖域为
.
(2)自由变元为
与
中的y,以及
中的z
约束变元为x与
中的z,以及
中的y.
例8.4.
中的z
约束变元为
中的x与
中的z,
以及
中的y