1高考数学北师大理豫赣陕皖桂新素养备考大一轮讲义第二章函数的图像 含答案Word文档格式.docx
《1高考数学北师大理豫赣陕皖桂新素养备考大一轮讲义第二章函数的图像 含答案Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1高考数学北师大理豫赣陕皖桂新素养备考大一轮讲义第二章函数的图像 含答案Word文档格式.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（x），g（x）的关系是______________．
提示 g（x）＝2b－f
（2a－x）
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×
”）
（1）函数y＝f
（1－x）的图像，可由y＝f
（－x）的图像向左平移1个单位得到．（ ×
）
（2）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝|f
（x）|与y＝f
（|x|）的图像相同．（ ×
（3）函数y＝f
（x）的图像关于y轴对称即函数y＝f
（x）与y＝f
（－x）的图像关于y轴对称．（ ×
（4）若函数y＝f
（x）满足f
（1＋x）＝f
（1－x），则函数y＝f
（x）的图像关于直线x＝1对称．（ √ ）
题组二 教材改编
2．函数f
（x）＝x＋
的图像关于（ ）
A．y轴对称B．x轴对称
C．原点对称D．直线y＝x对称
答案 C
解 函数f
（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）且f
（－x）＝－f
（x），即函数f
（x）为奇函数，其图像关于原点对称，故选C.
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是________．（填序号）
答案 ③
解 小明匀速运动时，所得图像为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．
4．如图，函数f
（x）的图像为折线ACB，则不等式f
（x）≥log2（x＋1）的解集是__________．
答案 （－1,1]
解 在同一坐标系内作出y＝f
（x）和y＝log2（x＋1）的图像（如图）．
由图像知不等式的解集是（－1,1]．
题组三 易错自纠
5．函数f
（x）＝ln（x2＋1）的图像大致是（ ）
答案 A
解 依题意，得函数定义域为R，且f
（－x）＝ln（x2＋1）＝f
（x），所以函数f
（x）为偶函数，即函数f
（x）的图像关于y轴对称，故排除C.因为函数f
（x）过定点（0,0），排除B，D，故选A.
6．将函数f
（x）＝（2x＋1）2的图像向左平移一个单位后，得到的图像的函数解析式为________．
答案 y＝（2x＋3）2
作函数的图像
分别作出下列函数的图像：
（1）y＝|lg（x－1）|；
（2）y＝2x＋1－1；
（3）y＝x2－|x|－2；
（4）y＝
.
解
（1）首先作出y＝lgx的图像，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg（x－1）的图像，再把所得图像在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg（x－1）|的图像，如图①所示（实线部分）．
（2）将y＝2x的图像向左平移1个单位，得到y＝2x＋1的图像，再将所得图像向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图像，如图②所示．
（3）y＝x2－|x|－2＝
其图像如图③所示．
＝2＋
，故函数的图像可由y＝
的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．
思维升华 图像变换法作函数的图像
（1）熟练掌握几种初等函数的图像，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋
的函数．
（2）若函数图像可由某个基本初等函数的图像经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．
函数图像的辨识
例1
（1）（2019·
甘肃、青海、宁夏回族自治区联考）函数f
（x）＝（2x＋2－x）ln|x|的图像大致为（ ）
答案 B
解 ∵f
（x）定义域为{x|x≠0}，且
f
（－x）＝（2－x＋2x）ln|－x|＝（2x＋2－x）ln|x|＝f
（x），
∴f
（x）为偶函数，关于y轴对称，排除D；
当x∈（0,1）时，2x＋2－x>
0，ln|x|<
0，可知f
（x）<
0，排除A，C.
（2）已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f
（x）的图像如图所示，则y＝－f
（2－x）的图像为（ ）
解 y＝f
（－x）
（2－x）
（2－x）．选B.
思维升华 函数图像的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图像的左右位置；
从函数的值域，判断图像的上下位置；
（2）从函数的单调性，判断图像的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图像的对称性；
（4）从函数的周期性，判断图像的循环往复；
（5）从函数的特殊点，排除不合要求的图像．
跟踪训练1
（1）函数f
（x）＝
·
sinx的图像的大致形状为（ ）
sinx，
（－x）＝
sin（－x）
＝－
sinx＝
sinx＝f
且f
（x）的定义域为R，
∴函数f
（x）为偶函数，故排除C，D；
当x＝2时，f
（2）＝
sin2<
0，故排除B，只有A符合．
（2）（2019·
贵州七校联考）已知函数f
（x）的图像如图所示，则f
（x）的解析式可以是（ ）
A．f
B．f
C．f
－1
D．f
（x）＝x－
解 由函数图像可知，函数f
（x）为奇函数，应排除B，C.若函数为f
，则x→＋∞时，f
（x）→＋∞，排除D，故选A.
函数图像的应用
命题点1 研究函数的性质
例2
（1）已知函数f
（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是（ ）
（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）
（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）
（x）是奇函数，递减区间是（－1,1）
（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）
解 将函数f
（x）＝x|x|－2x
去掉绝对值，得f
画出函数f
（x）的图像，如图所示，观察图像可知，函数f
（x）的图像关于原点对称，故函数f
（x）为奇函数，且在（－1,1）上递减．
（2）定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设y＝max{2x,2x－3,6－x}，则y的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．6
解 画出y＝max{2x,2x－3,6－x}的示意图，如图所示．由图可知，y的最小值为22＝6－2＝4，故选C.
命题点2 确定零点个数、解不等式
例3 已知f
则函数y＝2f2（x）－3f
（x）＋1的零点个数是________．
答案 5
解 方程2f2（x）－3f
（x）＋1＝0的解为f
或1.
作出y＝f
（x）的图像，由图像知零点的个数为5.
对本例中函数f
（x），不等式f
（x）≤1的解集为________．
答案
解 由图像可知f
（0）＝1，当
≤x≤10时，f
（x）≤1.
∴不等式f
（x）≤1的解集为
命题点3 求参数的取值范围
例4 已知函数f
（x）＝|x－2|＋1，g（x）＝kx.若方程f
（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．
解 先作出函数f
（x）＝|x－2|＋1的图像，如图所示，当直线g（x）＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g（x）＝kx过A点时斜率为
，故f
（x）＝g（x）有两个不相等的实根时，k的取值范围为
若f
（x）>
g（x）恒成立，则实数k的取值范围是________．
解 如图作出函数f
（x）的图像，
当－1≤k<
时，
直线y＝kx的图像恒在函数y＝f
（x）的下方．
思维升华
（1）注意函数图像特征与性质的对应关系．
（2）方程、不等式的求解可转化为函数图像的交点和上下关系问题．
跟踪训练2
（1）已知f
（x）＝2x－1，g（x）＝1－x2，规定：
当|f
（x）|≥g（x）时，h（x）＝|f
（x）|；
（x）|<
g（x）时，h（x）＝－g（x），则h（x）（ ）
A．有最小值－1，最大值1
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值
D．有最大值－1，无最小值
解 画出y＝|f
（x）|＝|2x－1|与y＝g（x）＝1－x2的图像，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f
（x）|≥g（x），故h（x）＝|f
在A，B之间，|f
g（x），故h（x）＝－g（x）．综上可知，y＝h（x）的图像是图中的实线部分，因此h（x）有最小值－1，无最大值．
（2）使log2（－x）<
x＋1成立的x的取值范围是______．
答案 （－1,0）
解 在同一坐标系内作出y＝log2（－x），y＝x＋1的图像，知满足条件的x∈（－1,0）．
（3）设函数f
（x）＝|x＋a|，g（x）＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f
（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是__________．
答案 [－1，＋∞）
（x）＝|x＋a|与g（x）＝x－1的图像，
观察图像可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f
（x）≥g（x）恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞）.
1．函数y＝
的图像大致是（ ）
答案 D
解 从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x≠0，且当x>
0时，y＝xlnx，y′＝1＋lnx，可知函数在区间
上递减，在区间
上递增．由此可知应选D.
2．已知函数f
则函数y＝f
（1－x）的大致图像是（ ）
解析 方法一 先画出函数f
的草图，令函数f
（x）的图像关于y轴对称，得函数f
（－x）的图像，再把所得的函数f
（－x）的图像，向右平移1个单位，得到函数y＝f
（1－x）的图像（图略），故选D.
方法二 由已知函数f
（x）的解析式，得y＝f
（1－x）＝
故该函数过点（0,3），排除A；
过点（1,1），排除B；
在（－∞，0）上递增，排除C.选D.
3．将函数f
（x）的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝ex关于y轴对称，则f
（x）等于（ ）
A．ex＋1B．ex－1
C．e－x＋1D．e－x－1
解 与曲线y＝ex关于y轴对称的图像对应的函数为y＝e－x，将函数y＝e－x的图像向左平移1个单位长度即得y＝f
（x）的图像，∴y＝f
（x）＝e－（x＋1）＝e－x－1.
4．（2019·
衡水中学调研卷）为了得到函数y＝lg
的图像，只需把函数y＝lgx的图像上所有的点（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
解 ∵y＝lg
＝lg（x＋3）－1.∴选C.
5．（2020·
合肥诊断）已知函数f
（x）是定义在R上的奇函数，当x>
0时，f
（x）＝1－2－x，则不等式f
－
的解集是（ ）
A．（－∞，－1）B．（－∞，－1]
C．（1，＋∞）D．[1，＋∞）
解 当x>
（x）＝1－2－x>
0.
又f
（x）是定义在R上的奇函数，
所以f
的解集和f
的解集关于原点对称，由1－2－x>
得2－x<
＝2－1，
即x>
1，则f
的解集是（－∞，－1）．故选A.
6．函数f
的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．a>
0，b>
0，c>
B．a<
C．a<
0，c<
D．a<
0，b<
解 由f
及图像可知，x≠－c，－c>
0，则c<
当x＝0时，f
（0）＝
>
0，所以b>
0，
当y＝0时，ax＋b＝0⇒x＝－
所以a<
0，选C.
7．已知偶函数y＝f
（x），x∈R满足f
（x）＝x2－3x（x≥0），若函数g（x）＝
则y＝f
（x）－g（x）的零点个数为________．
答案 3
（x）－g（x）的零点个数即为函数y＝f
（x）和y＝g（x）的图像交点个数，作出两函数图像，如图所示，共有三个交点．
8．已知函数f
若实数a，b，c互不相等，且f
（a）＝f
（b）＝f
（c），则a＋b＋c的取值范围是__________．
答案 （2,2021）
的图像如图所示，不妨令a<
b<
c，
由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1<
c<
2020，
所以2<
a＋b＋c<
2021.
9．函数f
（x）的定义域为[－1,1]，图像如图1所示，函数g（x）的定义域为[－1,2]，图像如图2所示，若集合A＝{x|f
（g（x））＝0}，B＝{x|g（f
（x））＝0}，则A∩B中元素的个数为________．
解 由图可知，当f
（x）＝0时，x＝－1，x＝0，x＝1，由g（x）＝－1，g（x）＝0，g（x）＝1得，x＝－1，x＝0，x＝1，x＝2，即A＝{－1,0,1,2}，当g（x）＝0时，x＝0，x＝2，由f
（x）＝0，f
（x）＝2得，x＝－1，x＝0，x＝1，所以B＝{－1,0,1}，所以A∩B＝{－1,0,1}，所以A∩B中有3个元素．
10．已知f
（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f
（x）＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f
（x）＝kx＋k＋1（k∈R，k≠－1）有四个实数根，则k的取值范围是__________．
解 由题意作出f
（x）在[－1,3]上的图像如图所示，记y＝k（x＋1）＋1，∴函数y＝k（x＋1）＋1的图像过定点A（－1,1）．
记B（2,0），由图像知，方程有四个实数根，
即函数f
（x）与y＝kx＋k＋1的图像在[－1,3]内有四个交点，
故kAB<
k<
0，kAB＝
，∴－
<
11．设a为实数，且1<
x<
3，试讨论关于x的方程x2－5x＋3＋a＝0的实数解的个数．
解 原方程即a＝－x2＋5x－3.
作出函数y＝－x2＋5x－3＝－
2＋
（1<
3）的图像，得当a>
或a≤1时，原方程的实数解的个数为0；
当a＝
或1<
a≤3时，原方程的实数解的个数为1；
当3<
a<
时，原方程的实数解的个数为2.
综上，a>
或a≤1时有0个解；
a＝
a≤3时有1个解；
3<
时有2个解．
12．已知函数f
（x）＝2x，x∈R.
（1）当实数m取何值时，方程|f
（x）－2|＝m有一个解？
两个解？
（2）若不等式f2（x）＋f
（x）－m>
0在R上恒成立，求实数m的取值范围．
解
（1）令F
（x）＝|f
（x）－2|＝|2x－2|，G（x）＝m，画出F
（x）的图像如图所示．
由图像可知，当m＝0或m≥2时，函数F
（x）与G（x）的图像只有一个交点，即原方程有一个实数解；
当0<
m<
2时，函数F
（x）与G（x）的图像有两个交点，即原方程有两个实数解．
（2）令f
（x）＝t（t>
0），H（t）＝t2＋t，t>
因为H（t）＝
2－
在区间（0，＋∞）上是增函数，
所以H（t）>
H（0）＝0.
因此要使t2＋t>
m在区间（0，＋∞）上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为（－∞，0]．
13．已知函数f
（x－1）是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞）上是增函数，则函数f
（x）的图像可能是（ ）
（x－1）的图像向左平移1个单位长度，即可得到函数f
（x）的图像；
∵函数f
（x－1）是定义在R上的奇函数，
（x－1）的图像关于原点对称，
（x）的图像关于点（－1,0）对称，排除A，C，D，选B.
14．已知函数f
（x）的定义域为R，且f
若方程f
（x）＝x＋a有两个不同实根，则实数a的取值范围为________．
答案 （－∞，1）
解 当x≤0时，f
（x）＝2－x－1,0<
x≤1时，－1<
x－1≤0，f
（x－1）＝2－（x－1）－1.
故x>
（x）是周期函数，
如图所示．
（x）＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f
（x）的图像与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a<
1，即a的取值范围是（－∞，1）．
15．函数y＝f
（x）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞），其图像上任一点P（x，y）满足x2－y2＝1，则给出以下四个命题：
①函数y＝f
（x）一定是偶函数；
②函数y＝f
（x）可能是奇函数；
③函数y＝f
（x）在（1，＋∞）上递增；
④若y＝f
（x）是偶函数，其值域为（0，＋∞）．
其中正确的序号为________．
答案 ②
解 由题意可得，函数y＝f
（x）的图像是双曲线x2－y2＝1的一部分．
由函数的定义可知，该函数的图像可能是如图所示的四种情况之一．
其中，图
（1）（4）表示的函数为偶函数，图
（2）（3）表示的函数是奇函数，所以命题②正确，命题①错误；
由图
（2）（4）可知函数y＝f
（x）可以在区间（1，＋∞）上递减，故命题③错误；
由图（4）可知，该函数的值域也可能为（－∞，0），所以命题④错误．
综上可知，填②.
16．已知函数f
g（x）＝|x－k|＋|x－2|，若对任意的x1，x2∈R，都有f
（x1）≤g（x2）成立，求实数k的取值范围．
解 对任意的x1，x2∈R，都有f
（x1）≤g（x2）成立，即f
（x）max≤g（x）min.
观察f
的图像可知，
当x＝
时，函数f
（x）max＝
因为g（x）＝|x－k|＋|x－2|≥|x－k－（x－2）|＝|k－2|，
所以g（x）min＝|k－2|，所以|k－2|≥
，
解得k≤
或k≥
故实数k的取值范围是
∪
升级会员 