证明二经典讲义学生Word格式.docx
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,则△ABC为_______三角形;
(3)若∠B=60°
,则△ABC为_______三角形.
2、在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中,成轴对称图形的是__________.
3、底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴,等边三角形有__________条对称轴.请你在图
(1)中作出等腰△ABC,等边△DEF的对称轴.
4图5图6图
4、如图上右图,已知△ABC是等边三角形,AD∥BC,CD⊥AD,垂足为D,E为AC的中点,AD=DE=6cm
则∠ACD=_____°
AC=______cm,∠DAC=_______°
,△ADE是______三角形.
5、如左下图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别为D,E,如果AB=8cm,则BD=_______cm,∠BDE=_____°
BE=______cm.
6、如右上图,Rt△ABC中,∠A=30°
AB+BC=12cm,则AB=__________cm.
二、选择题
7、下列说法不正确的是()
A.等边三角形有三条对称轴B.线段AB只有一条对称轴
C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线
8、下列命题不正确的是()
A.等腰三角形的底角不能是钝角B.等腰三角形不能是直角三角形
C.若一个三角形有三条对称轴,那么它一定是等边三角形
D.两个全等的且有一个锐角为30°
的直角三角形可以拼成一个等边三角形
9、在Rt△ABC中,如右图所示,∠C=90°
,∠CAB=60°
,AD平分∠CAB,点D到AB的距离DE=3.8cm,则BC等于()
A.3.8cmB.7.6cm
C.11.4cmD.11.2cm
三、解答与证明
10、如下图,在△ABC中,∠A=20°
,D在AB上,AD=DC,∠ACD∶
∠BCD=2∶3,求:
∠ABC的度数.
11、如下图,在△ABC中,∠B=90°
,M是AC上任意一点(M与A不重合)MD⊥BC,交∠BAC的平分线于点D,求证:
MD=MA.
12、如右图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:
AE=CD.
2.直角三角形
1、直角三角形的有关知识。
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形;
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半;
在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。
2、互逆命题、互逆定理
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
二、典型例题分析
例1:
说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假:
(1)四边形是多边形;
(2)两直线平行,同旁内角互补;
(3)如果ab=0,那么a=0,b=0;
(4)在一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边相等
1、如图,Rt△ABC和Rt△DEF,∠C=∠F=90
(1)若∠A=∠D,BC=EF,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
(2)若∠A=∠D,AC=DF,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
(3)若∠A=∠D,AB=DE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
(4)若AC=DF,AB=DE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
(5)若AC=DF,CB=FE,则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
2、如右图,在Rt△ABC和Rt△DCB中,AB=DC,∠A=∠D=90°
,AC与BD交于点O,则有△__________≌△__________,其判定依据是__________,还有△__________≌△__________,其判定依据是__________.
3、已知:
如图下左图,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,AE=DF,AB=DC,则△_______≌△_______(HL).
4、已知:
如上中图,BE,CF为△ABC的高,且BE=CF,BE,CF交于点H,若BC=10,FC=8,则EC=__________.
5、已知:
如上右图,AB=CD,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,且DE=BF,∠D=60°
,则∠A=______°
.
6、如下左图,O是∠BAC内一点,且点O到AB,AC的距离OE=OF,则△AEO≌△AFO的依据是()
A.HLB.AASC.SSSD.ASA
7、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°
,如上右图,那么下列各条件中,不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是()
A.AB=A′B′=5,BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40°
C.AC=A′C′=5,BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40°
8、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是()
A.两条直角边对应相等面B.有两条边对应相等
C.一条边和一锐角对应相等D.一条边和一个角对应相等
三、证明题
9、如下图,CD⊥AD,CB⊥AB,AB=AD,求证:
CD=CB.
10、已知:
如下图,CD、C′D′分别是Rt△ABC,Rt△A′B′C′斜边上的高,且CB=
C′B′,CD=C′D′.求证:
△ABC≌△A′B′C′.
11、如下图,已知∠ABC=∠ADC=90°
,E是AC上一点,AB=AD,求证:
EB=ED.
3.线段的垂直平分线
1、线段的垂直平分线。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
2、角平分线。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。
3、逆命题、互逆命题的概念,及反证法
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
一、判断题
1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点()
2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心,以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆,必经过另外两个顶点()
3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等()
4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称()
二、填空题
5、如图,点P为△ABC三边中垂线交点,则PA__________PB__________PC.
5图6图7图8图
6、如图,在锐角三角形ABC中,∠A=50°
,AC、BC的垂直平分线交于点O,则∠1_______∠2,∠3______∠4,∠5______∠6,∠2+∠3=________度,∠1+∠4=______度,∠5+∠6=_______度,∠BOC=_______度.
7、如图,D为BC边上一点,且BC=BD+AD,则AD__________DC,点D在__________的垂直平分线上.
8、如图,在△ABC中,DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线,则∠B__________∠1,∠C__________∠2;
若∠BAC=126°
,则∠EAG=__________度.
9、如左下图,AD是△ABC中BC边上的高,E是AD上异于A,D的点,若BE=CE,则△__________≌△__________(HL);
从而BD=DC,则△________≌△_________(SAS);
△ABC是__________三角形.
10、如右上图,∠BAC=120°
,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D,则∠ADB=_______度.
三、作图题
11、
(1)分别作出点P,使得PA=PB=PC
(2)观察各图中的点P与△ABC的位置关系,并总结规律:
当△ABC为锐角三角形时,点P在△ABC的__________;
当△ABC为直角三角形时,点P在△ABC的__________;
当△ABC为钝角三角形时,点P在△ABC的__________;
反之也成立,且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.
四、类比联想
12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点,那三角形的三边上的中线是否也交于一点;
三个角的平分线是否也交于一点;
试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.
4.角平分线
1、在同一平面内,到三角形三边距离相等的点只有一个()
2、在同一平面内,到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个()
3、三角形三条角平分线交于一点()
4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等()
5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形()
6、如图
(1),点P为△ABC三条角平分线交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD__________PE__________PF.
7、如图
(2),P是∠AOB平分线上任意一点,且PD=2cm,若使PE=2cm,则PE与OB的关系是__________.
8、如图(3),CD为Rt△ABC斜边上的高,∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F,FG⊥AB,垂足为G,则CF__________FG,∠1+∠3=__________度,∠2+∠4=__________度,∠3__________∠4,CE__________CF.
9、如右图,E、D分别是AB、AC上的一点,∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M,∠BED、∠EDC的角平分线交于N.求证:
A、M、N在一条直线上.
证明:
过点N作NF⊥AB,NH⊥ED,NK⊥AC
过点M作MJ⊥BC,MP⊥AB,MQ⊥AC
∵EN平分∠BED,DN平分∠EDC
∴NF__________NH,NH__________NK∴NF__________NK∴N在∠A的平分线上
又∵BM平分∠ABC,CM平分∠ACB
∴__________=__________,__________=__________∴__________=__________
∴M在∠A的__________上∴M、N都在∠A的__________上
∴A、M、N在一条直线上
10、利用角平分线的性质,找到△ABC内部距三边距离相等的点.
11、在下图△ABC所在平面中,找到距三边所在直线距离相等的点.
12、如下图,一个工厂在公路西侧,在河的南岸,工厂到公路的距离与到河岸的距离相等,且与河上公路桥南首(点A)的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.
四、解答题
13、已知:
如下图在△ABC中,∠C=90°
,AD平分∠BAC,交BC于D,若BC=32,且BD∶CD=9∶7,求:
D到AB边的距离.
单元测试
1.一个等腰三角形有一角是70°
,则其余两角分别为_________.
2.一个等腰三角形的两边长为5和8,则此三角形的周长为_________.
3.如下左图,△ABC中,∠C=90°
,AM平分∠CAB,CM=20cm,则点M到AB的距离是_________.
4.如上右图,等边△ABC中,F是AB中点,EF⊥AC于E,若△ABC的边长为10,则AE=_________,AE∶EC=_________.
5.如下左图,△ABC中,DE垂直平分BC,垂足为E,交AB于D,若AB=10cm,AC=6cm,则△ACD的周长为_________.
6.如上右图,∠C=90°
,∠ABC=75°
,∠CDB=30°
,若BC=3cm,则AD=_________cm.
7.如下左图,B在AC上,D在CE上,AD=BD=BC,∠ACE=25°
,∠ADE=_________.
8.等腰直角三角形一条边长是1cm,那么它斜边上的高是_________cm.
9.如上右图,在∠AOB的两边OA、OB上分别取OQ=OP,OT=OS,PT和QS相交于点C,则图中共有_________对全等三角形.
10.等腰三角形两腰上的高相等,这个命题的逆命题是________________,这个逆命题是_________命题.
11.三角形三边分别为a、b、c,且a2-bc=a(b-c),则这个三角形(按边分类)一定是_________三角形.
12.等边三角形的高为2
,则它的边长为()A.4B.3C.2D.5
13.等腰三角形的顶角是n°
,那么它的一腰上的高与底边的夹角等于()
A.
B.90-
C.
D.90°
-n°
14.下列由线段a、b、c组成的三角形,不是直角三角形的是()
A.a=3,b=4,c=5B.a=1,b=
,c=
C.a=9,b=12,c=15D.a=
,b=2,c=
15.直角三角形的三边长为连续自然数,则它的面积为()
A.6B.7.5C.10D.12
16.△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最小边BC=4cm,最长边AB的长是()
A.5cmB.6cmC.
cmD.8cm
17.如右图,△ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB,则∠A的度数为()
A.55°
B.45°
C.36°
D.30°
18.等腰△ABC中,AC=2BC,周长为60,则BC的长为()
A.15B.12C.15或12D.以上都不正确
19.直角三角形两直角边分别是5cm、12cm,其斜边上的高是()
A.13cmB.
cmC.
cmD.9cm
20.直角三角形中,以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20,则以斜边为边长的正方形的面积为()
A.25B.50C.100D.60
21.等腰三角形的底边为a,顶角是底角的4倍,则腰上的高是()
A.
aB.
aC.
aD.
a
22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点,则此三角形一定是()
A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形
23.等腰三角形ABC中,∠A=120°
,BC中点为D,过D作DE⊥AB于E,AE=4cm,则AD等于()
A.8cmB.7cmC.6cmD.4cm
24.下列说法中,正确的是()
A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等
C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
25.如右图,AB⊥CD,△ABD、△BCE都是等腰三角形,如果CD=8,BE=3,
那么AC长为()
A.8B.5C.3D.
26.将两个全等的有一个角为30°
的直角三角形拼成下右图,其中两条长直角边在同一直线上,则图中等腰三角形的个数是()
A.4B.3C.2D.1
27.下列定理中逆定理不存在的是()
A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等
B.在一个三角形中,如果两边相等,那么它们所对的角也相等
C.同位角相等,两直线平行D.全等三角形的对应角相等
*28.已知一个直角三角形的周长是4+2
,斜边上中线长为2,则这个三角形的面积为()
A.5B.2C.
D.1
三、解答题
29.已知:
如图,AB=AC,DE∥AC,求证:
△DBE是等腰三角形.
30.已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠BAD=
∠BAC,过点D作DE⊥AB,DE恰好是∠ADB的平分线,求证:
CD=
DB.
31.已知三角形的三边分别是n2+n,n+
和n2+n+
(n>0),求证:
这个三角形是直角三角形.
32.如图,△ABC中,AB=AC,∠1=∠2,求证:
AD平分∠BAC.
33.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD,连结DC,以DC当边作等边△DCE,B、E在C、D的同侧,若AB=
,求BE的长.
*34.①在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于N,交BC的延长线于M,∠A=30°
,求∠NMB的大小.
②如果将①中的∠A的度数改为70°
,其余条件不变,再求∠NMB的大小.
③你感到存在什么样的规律性?
试证明.(请同学们自己画图)
④将①中的∠A改为钝角,对这个问题规律性的认识是否需要加以修改?